高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式示范课课件ppt

第2课时　诱导公式(二)

学习目标　1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简．

导语

回顾前面的学习，我们利用单位圆定义了三角函数，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘．

一、公式五、六

问题1　回顾上节课我们推导公式二的过程．

提示　利用了单位圆的对称性，作了点P1关于原点对称的点．

问题2　观察下图，我们作了点P1关于直线y＝x的对称点P5，你能发现这两点有什么关系吗？

提示　如图，过点P1向x轴作垂线，垂足为A，过点P5向y轴作垂线，垂足为B，由图象的对称性可知，∠AOP1＝∠BOP5＝α，故OP5为－α的终边，以OP5为终边的角γ可以表示为γ＝2kπ＋(k∈Z)，在Rt△AOP1和Rt△BOP5中，OP1＝OP5，故△AOP1≌△BOP5，即P1的横坐标与P5的纵坐标相同，P1的纵坐标与P5的横坐标相同，若点P1的坐标为(x，y)，则点P5的坐标为(y，x)(同学们还记得我们当初学习对数函数时，提到过反函数是关于y＝x对称的，定义域和值域的范围互换，是不是和此处有相似之处)，现在我们知道了两角的终边与单位圆的交点，根据三角函数的定义，于是我们可以得到sin α＝y，cos α＝x；cos＝y，sin＝x.大家自己动手，如果我们作P5关于y轴的对称点P6，此时它和P1，P5这两点有什么关系？

知识梳理

1．公式五

sin＝cos α，

cos＝sin α.

2．公式六

sin＝cos α，

cos＝－sin α.

注意点：

(1)名称发生了变化，实现了正弦和余弦的相互转化．

(2)运用公式时，把α“看成”锐角．

(3)符号的变化要看把α看成锐角时所在的象限．

二、化简求值

例1　(教材193页例4改编)已知f(α)＝

，化简f(α)．

解　由题意得f(α)

＝

＝＝－cos α，

故f(α)＝－cos α.

反思感悟　利用诱导公式化简、求值的策略

(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．

(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．

(3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等．

跟踪训练1　化简：等于(　　)

A．－sin θ   B．sin θ

C．cos θ   D．－cos θ

答案　A

解析　原式＝

＝＝－sin θ.

三、诱导公式的综合应用

例2　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)

A.   B.

C．－   D．－

答案　B

解析　sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)

＝－sin 59°(－tan 31°)

＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)

＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31°

＝＝.

(2)(教材193页例5改编)已知sin＝，则cos的值为________．

答案　

解析　cos＝cos

＝sin＝.

延伸探究

1．将本例(2)的条件改为sin＝，求cos的值．

解　cos＝cos

＝－sin＝－.

2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin的值．

解　因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，

又sin＝，

所以－α是第二象限角，

所以cos＝－，

所以sin＝sin

＝－sin＝－cos＝.

反思感悟　诱导公式综合应用要“三看”

一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．

二看函数名称：一般是弦切互化．

三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．

跟踪训练2　(1)已知cos＝，求sin的值．

解　∵α＋＝＋，

∴sin＝sin＝cos

＝.

(2)已知cos＝，求下列各式的值：

①sin；②sin.

解　①sin＝sin

＝cos＝.

②sin＝sin

＝－sin＝－cos＝－.

 1.知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明．

2．方法归纳：公式法、角的构造．

3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．

1．已知sin α＝，则cos等于(　　)

A.   B.

C．－   D．－

答案　C

解析　cos＝－sin α＝－.

2．已知sin＝，则cos等于(　　)

A．－   B．－

C.   D．±

答案　D

解析　sin＝cos α＝，而cos＝sin α＝±.

3．已知sin＝，则cos的值等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　∵sin

＝－sin

＝－sin

＝－cos

＝，

∴cos＝－.

4．化简：＝______.

答案　－tan θ

解析　原式＝

＝

＝

＝－tan θ.

1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　)

A．a  B．－a  C．a2  D.

答案　A

解析　cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.

2．已知sin(π＋α)＝，则cos等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

答案　B

解析　∵sin(π＋α)＝－sin α＝，

∴cos＝－sin α＝.

3．若sin＝，则cos等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　因为＋＝，

所以＝－，

所以cos＝cos

＝sin＝.

4．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　C

解析　∵sin＝cos θ<0，

cos＝－sin θ>0，

∴sin θ<0，

∴角θ是第三象限角．

5．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　∵cos＝－sin φ＝，

∴sin φ＝－<0，

∵|φ|<，∴－<φ<0，

∴cos φ＝＝，

∴tan φ＝＝－.

6．(多选)设α是三角形的一个内角，则下列哪些值可能为负值(　　)

A．sin α   B．cos α

C．tan α   D．sin

答案　BC

解析　因为α是三角形的一个内角，

所以α∈(0，π)，所以sin α＞0恒成立，故A错误；

当α∈时，cos α＜0，tan α＜0，故BC正确；

∈，所以sin ＝sin＝cos ＞0，故D错误．

所以可能为负值的为cos α，tan α.

7．已知cos(π－α)＝，则sin＝________.

答案　－

解析　∵cos(π－α)＝，

∴－cos α＝，sin＝cos α＝－.

8．化简：＝________.

答案　cos α

解析　＝

＝＝cos α.

9．已知＝2，计算下列各式的值：

(1)cos2α－2sin αcos α－1；

(2).

解　∵＝2，

∴＝2，

解得tan α＝3.

(1)原式＝

＝

＝＝－.

(2)原式＝

＝－tan α＝－3.

10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求：

的值．

解　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2(舍)或x＝－，

所以sin α＝－，

又因为α为第三象限角，

所以cos α＝－＝－.

所以tan α＝.

原式＝

＝tan α＝.

11．函数y＝loga(x＋4)＋4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cos等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　C

解析　令x＋4＝1，所以x＝－3，所以函数y＝loga(x＋4)＋4的图象过定点A(－3,4)．因为点A在角θ的终边上，所以sin θ＝＝，即cos＝－sin θ＝－.

12．若θ为第二象限角，且tan(θ－π)＝－，则－的值是(　　)

A．4  B．－4  C.  D．－

答案　B

解析　由tan(θ－π)＝－得tan θ＝－，而θ为第二象限角，则有sin θ＞0，

因此，－

＝－＝－＝－＝＝＝－4.

13．已知sin(x＋φ)＝sin(－x＋φ)，则φ可能是(　　)

A．0  B.  C．π  D．2π

答案　B

解析　对于A，当φ＝0时，左边＝sin x，

右边＝sin(－x)＝－sin x，不满足条件；

对于B，当φ＝时，左边＝sin＝cos x，右边＝sin＝cos x，满足条件；

对于C，当φ＝π时，左边＝sin(x＋π)＝－sin x，右边＝sin(－x＋π)＝sin x，不满足条件；

对于D，当φ＝2π时，左边＝sin(x＋2π)＝sin x，右边＝sin(－x＋2π)＝－sin x，不满足条件．

14．已知sin＝，且－π＜α＜－，则sin＝________.

答案　－

解析　由－π＜α＜－，可得＜－α＜，所以cos＜0，

所以cos＝－＝－.

由sin＝sin＝cos＝－.

15．在平面直角坐标系中，已知点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为－，现将点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的坐标为________．

答案　

解析　设点A是角α的终边与单位圆的交点，

因为点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为－，

所以sin α＝－，cos α＝－＝－，

因为点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，

所以∠AOB＝＝，

所以点B的横坐标为cos＝－sin α＝，

纵坐标为sin＝cos α＝－，

即点B的坐标为.

16．已知f(α)＝.

(1)若α∈(0,2π)，且f(α)＝－，求α的值；

(2)若f(α)－f ＝，且α∈，求tan α的值．

解　(1)f(α)＝

＝

＝＝sin α.

所以f(α)＝sin α＝－，因为α∈(0,2π)，则α＝，或α＝.

(2)由(1)知，f(α)＝sin α，

所以f(α)－f ＝sin α－sin＝sin α＋cos α＝，

所以sin α＝－cos α，

所以cos2α＋2＝1，即(5cos α－4)(10cos α＋6)＝0，

可得cos α＝或cos α＝－.

因为α∈，则cos α＝－，所以sin α＝－cos α＝－＝.

所以tan α＝＝×＝－.