高中人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念课文内容课件ppt

这是一份高中人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念课文内容课件ppt，文件包含552第1课时简单的三角恒等变换一pptx、552第1课时简单的三角恒等变换一docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
5.5.2　简单的三角恒等变换第1课时　简单的三角恒等变换(一)学习目标　1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明．导语同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切，它们都属于三角变换．对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换．一、半角公式问题1　余弦的二倍角展开有几种形式？请写出．提示　三种形式：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.知识梳理半角公式sin ＝±，cos  ＝±，tan ＝±.注意点：半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号．例1　已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值．解　∵π<α<，sin α＝－，∴cos α＝－，且<<，∴sin ＝＝，cos ＝－＝－，tan ＝＝－2.反思感悟　利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．跟踪训练1　已知sin α＝－，则tan ＝______.答案　－或－2解析　因为sin α＝－，所以cos α＝±.若cos α＝，则tan ＝＝＝－；若cos α＝－，则tan ＝＝＝－2.二、和差化积、积化和差问题2　请写出两角和、差的正弦、余弦公式．提示　sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 知识梳理1．积化和差sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]；cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2．和差化积sin θ＋sin φ＝2sin cos ；sin θ－sin φ＝2cos sin ；cos θ＋cos φ＝2cos cos ；cos θ－cos φ＝－2sin sin .例2　求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．解　方法一　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin(－30°)]＝＋(cos 100°－cos 40°＋sin 70°)＝＋(－2sin 70°sin 30°＋sin 70°)＝＋(－sin 70°＋sin 70°)＝.方法二　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝(1－cos 40°)＋cos 50°(cos 50°＋sin 20°)＝(1－cos 40°)＋cos 50°(sin 40°＋sin 20°)＝(1－cos 40°)＋cos 50°·2sin 30°cos 10°＝(1－cos 40°)＋cos 50°cos 10°＝(1－cos 40°)＋(cos 60°＋cos 40°)＝.方法三　令A＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，B＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°.则A＋B＝2＋sin 70°，A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°)＝－sin 70°－，两式相加得2A＝，即A＝，故sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝.反思感悟　积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式．或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想．跟踪训练2　求下列各式的值：(1)cos 29°cos 31°－cos 2°；(2)cos ＋cos －2sin cos .解　(1)cos 29°cos 31°－cos 2°＝[cos(29°＋31°)＋cos(29°－31°)]－cos 2°＝cos 60°＋cos(－2°)－cos 2°＝.(2)cos ＋cos －2sin cos ＝2cos  ·cos －cos ＝2cos cos －cos ＝cos －cos ＝0.   三、三角函数式的化简、证明例3　求证：＝sin 2α.证明　因为左边＝＝＝＝＝cos αsin cos ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，所以原式成立．反思感悟　三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．跟踪训练3　化简：2＋.解　原式＝2＋＝2＋＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|.由于π<4<，∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4. 1．知识清单：(1)半角公式．(2)积化和差、和差化积．(3)三角函数式的化简、证明．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：半角公式符号的判断．1．已知cos α＝－，<α<π，则sin 等于(　　)A．－   B.C．－   D.答案　D解析　由<α<π可知<<，故sin ＝＝＝.2．已知cos θ＝－，－180°<θ<－90°，则cos 等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　B解析　由－180°<θ<－90°可知－90°<<－45°，故cos ＝＝.3．化简的结果是(　　)A．－cos 1   B．cos 1C.cos 1   D．－cos 1答案　C解析　原式＝＝，因为0<1<，故原式＝cos 1.4．化简：＝________.答案　tan 解析　原式＝＝＝＝tan .1．下列各式与tan α相等的是(　　)A.    B.C.   D.答案　D解析　＝＝＝tan α.2．已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于(　　)A．2－   B．2＋C.－2   D．±(－2)答案　C解析　方法一　因为sin α＝，cos α＝，所以tan ＝＝－2.方法二　因为sin α＝>0，cos α＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，所以tan >0，故tan ＝＝＝－2.3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)A．c<b<a   B．a<b<cC．a<c<b   D．b<c<a答案　C解析　a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，∵y＝sin x在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a<c<b.4．设－3π<α<－，化简的结果是(　　)A．sin ＋cos    B．－cos －sin C．cos －sin    D．sin －cos 答案　D解析　∵－3π<α<－，∴－<<－.∴sin >0，cos <0，＝＝＝＝sin －cos .5．设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是(　　)A.   B．(0,1)C.   D.答案　A解析　直角三角形中两锐角为A和B，则A＋B＝C＝，则cos Acos B＝[cos(A－B)＋cos(A＋B)]＝cos(A－B)，再结合A－B∈，可得cos(A－B)∈(0,1]，∴cos(A－B)∈.6．(多选)已知2sin α＝1＋cos α，则tan 的可能取值为(　　)A.  B．1  C．2  D．不存在答案　AD解析　由题意知4sin cos ＝1＋2cos2－1，故有2sin cos －cos2＝0，若2sin －cos ＝0，则tan ＝；若cos ＝0，则tan 不存在．7．tan 20°＋4sin 20°＝________.答案　解析　原式＝＋4sin 20°＝＝＝＝＝.8．sincos化为和差的结果是______．答案　[cos(A＋B)＋sin(A－B)]解析　sincos＝＝[cos(A＋B)＋sin(A－B)]．9．已知<α<3π，试化简：＋cos .解　因为<α<3π，所以<<，所以cos α<0，sin <0.故原式＝＋cos ＝＋cos＝＋cos ＝－sin ＋cos .10．求证：＝.证明　左边＝＝＝＝＝右边，所以原等式成立． 11．sin 20°·cos 70°＋sin 10°·sin 50°的值为(　　)A．－   B.C.   D．－答案　B解析　sin 20°·cos 70°＋sin 10°·sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.12．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)等于(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　D解析　∵cos α＋cos β＝，∴2cos cos ＝.∵α－β＝，∴＝，∴cos ＝.∴cos ＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.13．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　D解析　因为sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，所以2sin ·cos ＝×(－2)sin sin ，所以tan ＝.又α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以0<<，所以＝，即α－β＝.14．化简：··＝_____________________________________.答案　tan 解析　原式＝··＝·＝·＝＝tan .15.＋32cos212°的值为(　　)A．4  B．8  C．16  D．32答案　C解析　原式＝＋16·(2cos212°－1)＋16＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16＝16.16．已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝.证明　由已知，得sin A＋sin B＝－sin C，①cos A＋cos B＝－cos C．②所以2sin cos ＝－sin C，③2cos cos ＝－cos C．④因为当cos ＝0时，sin C＝cos C＝0不成立，所以cos ≠0.③÷④，得tan ＝tan C.所以cos(A＋B)＝＝＝cos 2C.①2＋②2，得2＋2cos(A－B)＝1，即cos(A－B)＝－，所以cos2A＋cos2B＋cos2C＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B＋1＋cos 2C)＝＋[2cos(A＋B)cos(A－B)＋cos 2C]＝＋＝.