高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式课文内容课件ppt

第3课时　公式的综合应用

学习目标　1.熟练掌握六组诱导公式的结构特征.2.会利用六组诱导公式求值、证明．

导语

同学们，经过前两节课的学习，我们掌握了三角函数的诱导公式一～六，你掌握记忆的技巧了吗？其实，它们可以统一概括为α＋k·(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值，前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号，简称为“奇变偶不变，符号看象限”．

一、利用诱导公式证明恒等式

例1　求证：＝.

证明　∵右边＝

＝

＝

＝

＝＝

＝左边，∴原等式成立．

反思感悟　三角恒等式的证明策略

对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

跟踪训练1　求证：＋＝.

证明　∵左边＝＋

＝＋＝

＝＝＝右边，

∴原等式成立．

二、诱导公式在实际问题中的应用

问题1　三角形中其中一个角与另外两角的和是什么关系？

提示　互补．

问题2　直角三角形中，两锐角是什么关系？

提示　互余．

例2　在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状．

解　因为A＋B＋C＝π，

所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.

又因为sin ＝sin ，

所以sin ＝sin ，

所以sin＝sin，

所以cos C＝cos B.

又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，

所以△ABC为等腰三角形．

反思感悟　利用诱导公式解决实际问题时，需注意公式四和公式五中的互补和互余，是广义上的互补和互余．在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值．

跟踪训练2　在△ABC中，下列各表达式为常数的是(　　)

A．sin(A＋B)＋sin C   B．cos(B＋C)－cos A

C．sin2＋sin2   D．sin sin

答案　C

解析　在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A项，sin(A＋B)＋sin C＝2sin C，不为常数；

B项，cos(B＋C)－cos A＝－2cos A，不为常数；

C项，sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1为常数；

D项，sin sin ＝cos sin ，不为常数．

三、三角函数的综合应用

例3　已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到的，求5sin β－5cos β＋3tan β的值．

解　(1)根据题意，得sin α＝＝，

cos α＝＝，tan α＝＝，

∴sin(α＋π)＝－sin α＝－.

(2)根据题意，得β＝α－，

∴5sin β－5cos β＋3tan β

＝5sin－5cos＋3tan

＝5cos α＋5sin α－

＝5×＋5×－3×＝－.

反思感悟　用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．

(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．

跟踪训练3　若角α的终边上有一点P(m，－8)，且cos α＝－.

(1)求m的值；

(2)求的值．

解　(1)由勾股定理得，点P到原点的距离为r＝＝，

根据三角函数的定义可得cos α＝＝－，

解得m＝－6，m＝6(舍去)．

(2)原式＝＝－sin α，

由(1)可得r＝＝10，

所以sin α＝＝－，

所以原式＝－sin α＝.

1．知识清单：

(1)识记诱导公式．

(2)三角形角的特点．

(3)结合三角函数定义进行化简、求值、证明．

2．方法归纳：公式法．

3．常见误区：实际问题中角的范围．

1．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于(　　)

A．cos C   B．－cos C

C．sin C   D．－sin C

答案　B

解析　由于A＋B＋C＝π，

所以A＋B＝π－C.

所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.

2．已知sin 40°＝a，则cos 130°等于(　　)

A．a   B．－a

C.   D．－

答案　B

3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则等于(　　)

A.  B．1  C.  D．－

答案　A

解析　由题意知，sin α＝，cos α＝－，

原式＝

＝

＝.

4．计算：sin211°＋sin279°＝________.

答案　1

解析　因为sin 79°＝sin(90°－11°)＝cos 11°，

所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.

1．sin 75°＋cos 195°的值为(　　)

A．－1   B．0

C.   D．1

答案　B

解析　sin 75°＋cos 195°＝sin(90°－15°)＋cos(180°＋15°)＝cos 15°－cos 15°＝0.

2．已知角θ的终边过点(－3,4)，则cos(π－θ)等于(　　)

A．－   B. 

C．－   D.

答案　D

解析　因为角θ的终边过点(－3,4)，

所以cos θ＝－，所以cos(π－θ)＝－cos θ＝.

3．若cos 57°＝m，则cos 213°等于(　　)

A．－   B．－

C．－   D．－m

答案　C

解析　cos 213°＝cos(180°＋33°)＝－cos 33°

＝－sin 57°＝－.

4．若角7π－α的终边与单位圆的交点坐标是，则cos(α－2 022π)等于(　　)

A．±  B．±  C.  D．－

答案　A

解析　依题意知，sin(7π－α)＝，即sin α＝，

则cos α＝±，

故cos(α－2 022π)＝cos α＝±.

5．(多选)已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是(　　)

A．tan＝tan

B．sin＝cos

C．tan2αsin2α＝tan2α－sin2α

D．sin4α－cos4α＝2sin2α－1

答案　BCD

解析　对于A，tan＝tan＝－tan，故A错误；

对于B，sin＝sin

＝cos，故B正确；

对于C，tan2αsin2α＝sin2α＝·sin2α

＝sin2α＝－sin2α＝tan2α－sin2α，故C正确；

对于D，sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1，故D正确．

6．角α的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点，则tan α等于(　　)

A.  B．－  C．±  D．±

答案　B

解析　角α的终边绕原点逆时针旋转后得到角α＋，

由题意可知cos＝－，sin＝－，化简得－sin α＝－，cos α＝－，

即sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝＝－.

7．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 022)＝2，则f(2 023)＝________.

答案　－2

解析　∵f(2 022)＝asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)＝asin α＋bcos β＝2，

∴f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)

＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)

＝－(asin α＋bcos β)＝－2.

8．已知sin＝，则sin＋sin2＝________.

答案　

解析　因为sin＝，

所以sin＋sin2

＝sin＋sin2

＝sin＋cos2

＝sin＋1－sin2

＝＋1－2

＝.

9．求证：＝cos α.

证明　因为左边＝

＝＝cos α＝右边，

所以等式成立．

10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

解　由题意得sin A＝sin B，cos A＝cos B，

两边平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，

又因为A∈(0，π)，所以A＝或.

当A＝时，cos B＝－<0，

所以B∈，所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去．

所以A＝，cos B＝，

所以B＝，所以C＝.

综上所述，A＝，B＝，C＝.

11.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos 144°等于(　　)

A.  B．－  C．－  D．－

答案　C

解析　∵∠ABC＝108°，

∴∠BAC＝×(180°－108°)＝36°，

∵cos 36°＝＝×＝，

∴cos 144°＝－cos 36°＝－.

12．(多选)已知sin＝，则角α的终边可能在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．x轴的负半轴上

答案　BCD

解析　原等式可化为－cos α＝，

∴－cos α＝，

∴|cos α|＝－cos α，

∴cos α≤0，

∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上．

13．已知cos＝，且－π＜α＜－，那么

cos等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

答案　A

解析　∵－＝，∴α－＝－，

又∵－π＜α＜－，∴－＜＋α＜－，

∵cos＝，

∴sin＝－＝－，

∴cos＝cos＝sin＝－.

14．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°等于(　　)

A．89  B．90  C.  D．45

答案　C

解析　∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，

sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，

∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.

15．对于函数f(x)＝asin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)

A．4和6   B．3和1

C．2和4   D．1和2

答案　D

解析　 ∵sin(π－x)＝sin x，

∴f(x)＝asin x＋bx＋c，

则f(1)＝asin 1＋b＋c，

f(－1)＝asin(－1)＋b×(－1)＋c＝－asin 1－b＋c，

∴f(－1)＝－f(1)＋2c.①

把f(1)＝4，f(－1)＝6代入①式，得c＝5∈Z，故排除A；

把f(1)＝3，f(－1)＝1代入①式，得c＝2∈Z，故排除B；

把f(1)＝2，f(－1)＝4代入①式，得c＝3∈Z，故排除C；

把f(1)＝1，f(－1)＝2代入①式，得c＝∉Z，故选D.

16．化简：，其中k∈Z.

解　当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则

原式＝

＝＝＝1.

当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则

原式＝

＝

＝＝1，

故原式＝1.