2023广州高三上学期8月阶段测试数学含答案

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数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集，，，则（）A.  B.  C.  D. 【答案】C2. 已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【答案】D3. 记“方程表示椭圆”，“函数无极值”，则p是q的（）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B4. 2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是（）
 A.  B.  C.  D. 【答案】C5. 四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）．A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8【答案】C6. 的展开式中的系数是（）A. 45 B. 84 C. 120 D. 210【答案】C7. 若空间中经过定点O的三个平面，，两两垂直，过另一定点A作直线l与这三个平面的夹角都相等，过定点A作平面和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线l的条数为m，所作平面的个数为n，则（）A. 4 B. 8 C. 12 D. 16【答案】B 8. 设，，，，则（）A.  B.  C.  D. 【答案】B 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（）A. 若，则或B. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+iC. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为【答案】BCD10. 若，则下列说法正确的有（）A. 的最小正周期是B. 方程是的一条对称轴C. 的值域为D. ，，对都满足，（a，b是实常数）【答案】BC11. 已知抛物线上的四点，，，，直线，是圆的两条切线，直线、与圆分别切于点、，则下列说法正确的有（）A. 当劣弧的弧长最短时， B. 当劣弧的弧长最短时，C. 直线的方程为 D. 直线的方程为【答案】BD12. 已知函数及其导函数的定义域均为R，对任意的，，恒有，则下列说法正确的有（）A.  B. 必为奇函数C.  D. 若，则【答案】BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，满足，，则___________.【答案】14. 若角的终边经过点，且，则实数___________.【答案】15. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________.【答案】16. 折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm.【答案】 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知集合，，将A与B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列）为1，3，3，5，7，9，9，11，….,设数列的前n项和为.（1）若，求m的值；（2）求的值.【答案】（1）或17（2） 18. 某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目；“1”由考生在物理､历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物学4门中选考2门科目.（1）为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750位学生中随机抽样调查了100位学生，得到如下部分数据分布： 选物理方向选历史方向合计男生30 40女生   合计50 100请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；（2）记已选物理方向的甲､乙两同学在“4选2”的选科中所选的相同的选科门数为，求的分布列及数学期望.附：，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】（1）填表答案见解析，有99.9%把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关（2）分布列见解析，数学期望：【解析】【分析】（1）根据题意即可填表，得到列联表，计算的值，即可得到结论；（2）确定变量的取值，计算每个值对应的概率，可得其分布列，根据期望的计算公式可得答案.【小问1详解】根据题意可得列联表，如图： 选物理方向选历史方向合计男生301040女生204060合计5050100则，由于，故而有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关【小问2详解】可能取值为0，1，2，则；；（或），；分布列如下表：012所以. 19. 在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.（1）求证：；（2）求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得，即可证明结论；（2）利用（1）的结论将边化角，结合三角恒等变换可得，由基本不等式可求得答案.【小问1详解】证明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴∵，∴，故.【小问2详解】由（1）得，∴，，由（1），得，当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为. 20. 如图，在直三棱柱中，平面侧面A1ABB1．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．【答案】（Ⅰ）证明见解析．（Ⅱ），证明见解析．【解析】【详解】（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B，得AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，所以AD⊥BC．因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC．（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，是二面角A1—BC—A的平面角，即于是在中，在中，，由，得，又，所以．解法2：由（1）知，以点为坐标原点，以、、所在的直线分轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，于是，．设平面的一个法向量为，则由得可取，于是与的夹角为锐角，则与互为余角．所以，，所以．于是由，得，即，又所以．第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形．若用向量方法，关键在求法向量． 21. 设.（1）求在上的极值；（2）若对，，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，极大值为（2） 22. 已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.（1）求双曲线的方程；（2）过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，定值为