2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级（上）入学数学试卷（Word解析版）

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2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级（上）入学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若平行四边形中两内角的度数比为：，则其中较小的内角是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考分以上，一半的学生考不到分，”张老师：“我班大部分的学生都考在分到分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对(    )

A. 平均数、众数 B. 中位数、众数 C. 中位数、方差 D. 平均数、中位数

3. 已知一次函数，那么下列结论正确的是(    )

A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象必经过点 D. 当时，

4. 一组数据，，，，对该组数据描述正确的是(    )

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是

5. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 某商场销售某种水果，第一次降价，第二次又降价，则这两次平均降价的百分比是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 根据表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知二次函数为常数的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D. 或

9. 已知，，且，令，则函数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 设、是方程的两个实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点连接，，当最大时，点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在矩形中，是的中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作▱，且点、分别在、上在动点运动的过程中，▱的面积(    )

A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，再减小

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 将一次函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象表达式为______．
14. 中国贵州省省内的射电望远镜是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径为米，最低点到口径面的距离是米，若按如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是______ ．

15. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是______．
16. 如图，在平行四边形中，，，，作对角线的垂直平分线，分别交对边、于点和点，则的长为______．

17. 对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是______ ．
18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
    ；；；；，的实数．
    其中正确的结论有______填序号

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解一元二次方程：
    ；用配方法
    ．
20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于，且与正比例函数图象交于点．
    求一次函数的解析式；
    直接写出时，的取值范围．

21. 本小题分
    甲乙两组各有名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：
    收集数据
    各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：

分析数据
两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：

得出结论
直接写出，的值：______，______；
求和的值；
请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩至少从两个角度进行评价．

22. 本小题分
    如图，在中，，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

23. 本小题分
    已知关于的方程
    求证：无论取何值，此方程总有实数根；
    若此方程有两个整数根，求正整数的值；
    若一元二次方程满足，求的值．
24. 本小题分
    某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了元，第二批花了元，第一批每个挂件的进价是第二批的倍，且第二批比第一批多购进个．
    求第二批每个挂件的进价；
    两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个元时，每周能卖出个，若每降价元，每周多卖个，由于货源紧缺，每周最多能卖个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
25. 本小题分
    如图，已知二次函数的图象的顶点为，且过点．
    求这个二次函数的关系式；
    若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，以为直径作圆交直线于点设点的横坐标为，问：当为何值时，线段的长取得最小值？最小值为多少？

26. 本小题分
    已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．
    求抛物线的解析式及顶点的坐标；
    过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；
    若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图，设，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得：，
，
即其中较小的内角是，
故选：．
设，，根据平行四边形性质得出，推出，则，解得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：有一半的学生考分以上，一半的学生考不到分，
分是这组数据的中位数，
大部分的学生都考在分到分之间，
众数在此范围内．
故选：．
根据两位老师的说法中的有一半的学生考分以上，一半的学生考不到分，可以判断分是中位数，大部分的学生都考在分到分之间，可以判断众数．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．
 

3.【答案】 

【解析】解：、由于一次函数的，所以的值随的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数的，，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将代入中得，等式成立，所以在上，故该选项符合题意；
D、一次函数的，所以的值随的值增大而减小，所以当时，，故该选项不符合题意．
故选：．
根据一次函数的性质逐项进行分析即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，
所以这组数据的众数为，故选项C不合题意；
中位数为，故选项B不合题意；
平均数为，故选项A符合题意；
方差为，，故选项D不合题意；
故选：．
将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象可知：正比例函数和一次函数的图象的交点是，
不等式的解集是，
一次函数的图象与轴的交点坐标是，
不等式的解集是，
不等式的解集是，
故选：．
根据图象知正比例函数和一次函数的图象的交点，即可得出不等式的解集，根据一次函数的图象与轴的交点坐标即可得出不等式的解集是，即可得出答案．
本题考查一次函数和一元一次不等式的的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

6.【答案】 

【解析】解：设这两次平均降价的百分比是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
这两次平均降价的百分比是．
故选：．
设这两次平均降价的百分比是，利用经过两次降价后的价格原价这两次平均降价的百分比，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察表格可知：当时，；当时，，
方程为常数的一个解的范围是．
故选：．
利用二次函数和一元二次方程的性质．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数为常数的图象与轴有交点，
．
．
解得：．
，
二次函数的图象的对称轴为直线．
当时，随的增大而增大，
．
．
故选：．
利用抛物线与轴有交点，则，解不等式即可得到的范围；，则抛物线的开口向下，利用题意得到抛物线的对称轴的位置，利用抛物线的性质可得的范围，综合以上信息即可得出结论．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，解一元一次不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
当时，有最小值，
，
当时，有最大值，
函数的取值范围是，
故选：．
首先根据题意确定关于的函数关系式，然后根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围即可．
考查了二次函数的最值的方法，解题的关键是根据题意确定函数解析式，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，，
，
．
故选：．
根、是方程的两个实数根，求出，，，得出，把变形后进行计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：当、、三点共线时，最大，则直线与对称轴的交点即为点．
由线可知，，，
对称轴
设直线为．
，
解得
直线解析式为，
当时，，
，
故选：．
当、、三点共线时，最大，则直线与对称轴的交点即为点根据待定系数法求得直线的解析式，求得对称轴与直线的交点坐标即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，轴对称最短路线问题，明确的位置是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，，，，
连接，

四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，

，，
≌，
同理≌，

，
是的中点，
，
，
，
故选：．
设，，，，根据，由是的中点可得，进而判断．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据平移，得，
化简，得，
故答案为：．
根据平移可得平移后的函数表达式．
本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
设抛物线解析式为：，
则，
解得：，
故抛物线解析式为：．
故答案为：．
直接利用抛物线解析式结合已知点坐标得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据实际问题列二次函数解析式，正确设出函数解析式是解题关键．
 

15.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
所以实数的取值范围是且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作，交的延长线于，
平行四边形中，，，
，，
又，
，
，
设，则，
垂直平分，
，
在中，，
，
解得，
的长为．
故答案为：．
连接，过点作，交的延长线于，设，则，，再根据勾股定理，即可得到的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
 

17.【答案】 

【解析】解：对于任意实数，抛物线与轴都有交点，
，则，
整理得，
，
的最小值为，
，
故答案为．
根据题意得到，即，求得的最小值，即可得到的取值范围．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的最值，根据题意得到是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．
【解答】
图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，，
，
，
错误；
当时，由图象知，
把代入解析式得：，
，
错误；
图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，
能得到：，，，
所以，
所以．
正确；
由知且，
，正确；
时，最大值，
时，，
的实数，
，
成立．
正确．
故正确结论的序号是．  

19.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

20.【答案】解：图象交于点，
，解得：，
与轴交于，与图象交于点，
，
解得：，
一次函数的解析式为：；
根据图象得：当时，有． 

【解析】根据函数图象的定义求解；
根据一次函数与不等式的关系，结合数形结合思想求解．
本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合思想是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：甲组的众数；
乙组中位数是；
故答案为：，；
甲组的平均数；
乙组的方差；
从中位数看，甲组每分钟输入字以上的人数比乙组多，甲组成绩更好一些；
从方差看，，甲组成绩波动小，比较稳定．
根据众数、中位数的定义分别进行解答即可；
根据平均数、方差的计算公式分别进行解答即可；
从中位数看，甲组每分钟输入字以上的人数比乙组多；从方差看，；甲组成绩波动小，比较稳定．
本题考查频数分布表、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
 

22.【答案】证明：点是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：由得：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
． 

【解析】证≌，得，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再证是等边三角形，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，，
方程有实数根．
综上可知：无论取何值，此方程总有实数根．
方程有两个整数根，
，，且，
为整数，为正整数，
或．
由得，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故的值为或． 

【解析】分和两种情况考虑：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，根的判别式，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
由方程有两个实数根，可得出，利用求根公式求出、的值，由和为整数以及为正整数，即可求出的值；
结合的结论即可得出关于的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．
本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：分和两种情况考虑；找出，；找出关于的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．
 

24.【答案】解：设第二批每个挂件的进价为元，则第一批每个挂件的进价为元，
根据题意可得，，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
．
第二批每个挂件的进价为元．
设每个售价定为元，每周所获利润为元，
根据题意可知，，
，
当时，随的增大而减小，
，
，
当时，取最大，此时．
当每个挂件售价定为元时，每周可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】设第二批每个挂件的进价为元，则第一批每个挂件的进价为元，根据题意列出方程，求解即可；
设每个售价定为元，每周所获利润为元，则可列出关于的函数关系式，再根据“每周最多能卖个”得出的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．
本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
 

25.【答案】解：设这个二次函数的关系式为．
把，代入得，解得．
故这个二次函数的关系式为或写成．

由题意知， 
 
当时，取得最小值为．
易证∽，
，
．
当时，取得最小值，为． 

【解析】根据函数的顶点坐标为，则设函数的解析式是：，把的坐标代入解析式即可求得函数的解析式；
由题意知， 根据两点之间的距离公式得到当时，取得最小值为再根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，两点之间的距离公式，函数的最值，相似三角形的性质，综合性较强，有一定的难度．
 

26.【答案】解：函数的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
，
顶点；

证明：，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，
四边形为正方形；

解：存在，理由：
如图，过点作与轴夹角为的直线，作，垂足为，交于点，

则，最小值，
，
直线所在表达式中的值为，
直线的表达式为：，
则直线所在表达式中的值为，
则直线的表达式为：，将点的坐标代入并解得：，
则直线的表达式为：，
联立并解得：，
故点，
点，
则，
即：的最小值为． 

【解析】由得，可得函数的表达式为：，将代入即可求解；
，则四边形为菱形，而，即可求解；
过点作与轴夹角为的直线，过点作，垂足为，则，最小值，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、锐角三角函数，正方形的性质，含角的直角三角形的性质，作辅助线确定点的位置是解题的关键，也是本题的难点．