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数学必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系课文课件ppt
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这是一份数学必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系课文课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了反函数的概念，任意一个，唯一的，y＝f－1x，注意点，反思感悟，求反函数，定义域，y＝x，互为反函数等内容，欢迎下载使用。
1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系.
2.会求简单函数的反函数.
3.利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.
在研究函数问题的过程中，我们经常遇到同底数的指数函数和对数函数，例如函数y＝2x与y＝lg2x，它们究竟有着怎样的关系呢？今天我们从它们的图像、性质等方面一起去探讨这一类函数.
问题1 在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝lg2x的图像，观察两函数图像的关系.
反函数的概念一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中 y的值，只有______x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数.此时，称y＝f(x)存在反函数.(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数记作_________.
(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数图像关于y＝x对称.
判定下列函数是否存在反函数？(1)
∵f(x)＝0时，x＝1或x＝2，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.
(2)函数y＝f(x)的图像是如图所示的三点A，B，C.
由图可知函数y＝f(x)的定义域为{－1,1,2}，值域为{－1,1，－2}，且对值域中的任一个值，在定义域中都有唯一的x值与之对应，∴y＝f(x)存在反函数.
判定存在反函数的方法(1)用定义：若函数y＝f(x)值域中任意一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在.(2)用单调性：若函数y＝f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在.
判定下列函数的反函数是否存在？(1)
因为对g(x)的值域{－1,0,1，－2,5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的反函数g－1(x)存在.
由y＝f(x)的图像知，当y＝1时，与之对应的x＝－1或x＝3，即与y＝1对应的x的值不唯一，所以此函数的反函数不存在.
求下列函数的反函数：(1)f(x)＝lg2x；
令y＝lg2x，得x＝2y，y∈R，∴f－1(x)＝2x，x∈R.
∴f－1(x)＝ (x>0).
(3)f(x)＝5x＋1.
(1)求反函数时，要先确定原函数的值域.(2)求反函数的两种方法：①用y表示出x，然后写出反函数的形式；②x，y先互换，然后用x表示出y即可.(3)最后要注明反函数的定义域.
求下列函数的反函数：(1)f(x)＝ ＋1(x≥0)；
∴y≥1且x＝(y－1)2.
(2)f(x)＝ (x≠1).
互为反函数的图像与性质的应用
问题3 函数y＝2x的定义域和值域与y＝lg2x的定义域和值域关系如何？
提示 y＝2x的定义域与y＝lg2x的值域相同，y＝2x的值域与y＝lg2x的定义域相同.
1.反函数的性质(1)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的 与y＝f－1(x)的 相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线 对称.(2)如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在，此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1) .(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图像关于直线 对称.
(1) 原函数与反函数定义域与值域的关系.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(3)互为反函数的图像关于直线y＝x对称；图像关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数.
(1)若函数y＝f(x)的图像位于第一、二象限，则它的反函数y＝f－1(x)的图像位于A.第一、二象限 B.第三、四象限C.第二、三象限 D.第一、四象限
结合函数与反函数关于直线y＝x对称，即可得出反函数位于第一、四象限.
(2)已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为___________.
∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，∴y＝f(x)的图像过点(0,2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，∴f(x)＝ax＋1.又∵y＝f(x)的图像过点(1,3)，∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上.
(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，则f(x)的解析式为A.f(x)＝4x＋3 B.f(x)＝3x＋4C.f(x)＝5x＋2 D.f(x)＝2x＋5
∵f(x)的反函数图像过点(4,0)，∴f(x)的图像过点(0,4)，又f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，
∴a＝4且b＝3，故f(x)＝4x＋3.
(2)若函数y＝ 的图像关于直线y＝x对称，则a的值为________.
1.知识清单： (1)反函数的图像与原函数图像之间的关系. (2)求函数的反函数. (3)反函数性质的应用.2.方法归纳：数形结合、转化与化归.3.常见误区：不是所有函数都有反函数，只有自变量与因变量一一对应的函数 才有反函数.若y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，则y＝f－1(x)的反函数是y＝f(x)，即y ＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数.
1.函数y＝ 的反函数是A.y＝ ，x>0 B.y＝ ，x∈RC.y＝x2，x∈R D.y＝2x，x∈R
互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.
2.已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是
由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝lg3x＋1，∴图像为C.
3.函数f(x)＝x2(x>0)的反函数为________________.
对调函数y＝x2中的x，y，得x＝y2.
又∵y＝x2(x>0)，∴y>0，
4.函数y＝2x(x≥0)的反函数的定义域为__________.
根据反函数的性质：y＝f－1(x)的定义域为y＝2x(x≥0)的值域，∵当x≥0时，2x∈[1，＋∞).∴所求定义域为[1，＋∞).
5.已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像过点Q(5,2)，则b＝________.
f－1(x)的图像过Q(5,2)，则f(x)的图像过点(2,5)，则f(2)＝5，即22＋b＝5，解得b＝1.
∴x0＝ ＝2.
2.(多选)函数y＝1＋ax(a>0且a≠1)的反函数的图像可能是
方法一 先画出y＝1＋ax的图像，由反函数的图像与原函数的图像关于直线y＝x对称可画出反函数的图像.方法二 因为函数y＝1＋ax(a>0且a≠1)过(0,2)，所以它的反函数必过(2,0)点.
3.已知函数f(x)＝1＋2lg x，则f(1)＋f－1(1)等于A.0 B.1 C.2 D.3
根据题意，f(1)＝1＋2lg 1＝1，若f(x)＝1＋2lg x＝1，解得x＝1，则f－1(1)＝1，故f(1)＋f－1(1)＝1＋1＝2.
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝ .
5.设函数f(x)＝lga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于A.3 B.4 C.5 D.6
f(x)＝lga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b，又f(x)的图像过点(2,1)，∴f－1(x)的图像过点(1,2)，
6.设函数f(x)＝lg2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是___________.
f－1(x)的定义域为f(x)的值域，∵x≥1，∴lg2x≥0，∴lg2x＋3≥3，∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞).
7.已知f(x)的图像经过点(2,3)，f(x)的反函数为f－1(x)，则f－1(x－2)的图像必经过点________.
由题意可得f(2)＝3，则f－1(3)＝2，即f－1(5－2)＝2，故函数f－1(x－2)的图像必过点(5,2).
9.求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数.
∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝lg3(y＋4)，∴y＝lg3(x＋4)，又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定义域为[5，＋∞).∴函数y＝3x－4的反函数为y＝lg3(x＋4)(x≥5).
10.已知函数f(x)＝lga(2－x)(a>1).(1)求函数f(x)的定义域、值域；
要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
由y＝lga(2－x) ，得2－x＝ay，即x＝2－ay.∴f－1(x)＝2－ax(x∈R).
(3)判断并证明f－1(x)的单调性.
f－1(x)在R上是减函数.证明如下：任取x1，x2∈R且x11，x1
方法一 ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1.∵g(x)＝－lgbx的定义域是(0，＋∞)，∴排除A；若a>1，则01，此时f(x)＝ax是减函数，g(x)＝－lgbx是减函数.结合图像知选B.
∴g(x)＝ ＝lgax，∴f(x)与g(x)互为反函数，图像关于y＝x对称，故选B.
12.将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得到函数y＝lg2(x＋1)的图像A.先向上平移一个单位B.先向右平移一个单位C.先向左平移一个单位D.先向下平移一个单位
将y＝2x的图像向下平移一个单位得到y＝2x－1的图像，再作关于直线y＝x对称的图像即可得到.
∴f(x2＋2x)＝ ，
13.已知函数f(x)与函数g(x)＝ 的图像关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调递增区间是____________.
∵f(x)在R上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调递增区间即为t＝x2＋2x的单调递减区间，即(－∞，－1].
当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1.
15.已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤ 的解集是
当－1≤x<0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，
16.已知函数f(x)＝lga(8－2x)(a>0且a≠1).(1)求定义域；
由8－2x>0，得2x<8，∴x<3，∴函数的定义域为(－∞，3).
(2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；
由f(x)＝lga(8－2x)(a>0且a≠1)，解得x＝lg2(8－ay)，对调x，y，得y＝lg2(8－ax).由于函数f(x)的反函数是其本身，∴a＝2.
(3)求函数y＝f(x)＋f(－x)的值域.
y＝f(x)＋f(－x)＝lga(8－2x)＋lga(8－2－x)＝lga[65－8(2x＋2－x)].
∴函数y＝lga[65－8(2x＋2－x)]的定义域为(－3,3).
∴0<65－8(2x＋2－x)≤49，故65－8(2x＋2－x)的取值范围为(0,49].故当a>1时，函数y＝f(x)＋f(－x)的值域为(－∞，lga49]；当0
1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系.
2.会求简单函数的反函数.
3.利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.
在研究函数问题的过程中，我们经常遇到同底数的指数函数和对数函数，例如函数y＝2x与y＝lg2x，它们究竟有着怎样的关系呢？今天我们从它们的图像、性质等方面一起去探讨这一类函数.
问题1 在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝lg2x的图像，观察两函数图像的关系.
反函数的概念一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中 y的值，只有______x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数.此时，称y＝f(x)存在反函数.(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数记作_________.
(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数图像关于y＝x对称.
判定下列函数是否存在反函数？(1)
∵f(x)＝0时，x＝1或x＝2，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.
(2)函数y＝f(x)的图像是如图所示的三点A，B，C.
由图可知函数y＝f(x)的定义域为{－1,1,2}，值域为{－1,1，－2}，且对值域中的任一个值，在定义域中都有唯一的x值与之对应，∴y＝f(x)存在反函数.
判定存在反函数的方法(1)用定义：若函数y＝f(x)值域中任意一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在.(2)用单调性：若函数y＝f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在.
判定下列函数的反函数是否存在？(1)
因为对g(x)的值域{－1,0,1，－2,5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的反函数g－1(x)存在.
由y＝f(x)的图像知，当y＝1时，与之对应的x＝－1或x＝3，即与y＝1对应的x的值不唯一，所以此函数的反函数不存在.
求下列函数的反函数：(1)f(x)＝lg2x；
令y＝lg2x，得x＝2y，y∈R，∴f－1(x)＝2x，x∈R.
∴f－1(x)＝ (x>0).
(3)f(x)＝5x＋1.
(1)求反函数时，要先确定原函数的值域.(2)求反函数的两种方法：①用y表示出x，然后写出反函数的形式；②x，y先互换，然后用x表示出y即可.(3)最后要注明反函数的定义域.
求下列函数的反函数：(1)f(x)＝ ＋1(x≥0)；
∴y≥1且x＝(y－1)2.
(2)f(x)＝ (x≠1).
互为反函数的图像与性质的应用
问题3 函数y＝2x的定义域和值域与y＝lg2x的定义域和值域关系如何？
提示 y＝2x的定义域与y＝lg2x的值域相同，y＝2x的值域与y＝lg2x的定义域相同.
1.反函数的性质(1)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的 与y＝f－1(x)的 相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线 对称.(2)如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在，此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1) .(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图像关于直线 对称.
(1) 原函数与反函数定义域与值域的关系.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(3)互为反函数的图像关于直线y＝x对称；图像关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数.
(1)若函数y＝f(x)的图像位于第一、二象限，则它的反函数y＝f－1(x)的图像位于A.第一、二象限 B.第三、四象限C.第二、三象限 D.第一、四象限
结合函数与反函数关于直线y＝x对称，即可得出反函数位于第一、四象限.
(2)已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为___________.
∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，∴y＝f(x)的图像过点(0,2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，∴f(x)＝ax＋1.又∵y＝f(x)的图像过点(1,3)，∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上.
(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，则f(x)的解析式为A.f(x)＝4x＋3 B.f(x)＝3x＋4C.f(x)＝5x＋2 D.f(x)＝2x＋5
∵f(x)的反函数图像过点(4,0)，∴f(x)的图像过点(0,4)，又f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，
∴a＝4且b＝3，故f(x)＝4x＋3.
(2)若函数y＝ 的图像关于直线y＝x对称，则a的值为________.
1.知识清单： (1)反函数的图像与原函数图像之间的关系. (2)求函数的反函数. (3)反函数性质的应用.2.方法归纳：数形结合、转化与化归.3.常见误区：不是所有函数都有反函数，只有自变量与因变量一一对应的函数 才有反函数.若y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，则y＝f－1(x)的反函数是y＝f(x)，即y ＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数.
1.函数y＝ 的反函数是A.y＝ ，x>0 B.y＝ ，x∈RC.y＝x2，x∈R D.y＝2x，x∈R
互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.
2.已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是
由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝lg3x＋1，∴图像为C.
3.函数f(x)＝x2(x>0)的反函数为________________.
对调函数y＝x2中的x，y，得x＝y2.
又∵y＝x2(x>0)，∴y>0，
4.函数y＝2x(x≥0)的反函数的定义域为__________.
根据反函数的性质：y＝f－1(x)的定义域为y＝2x(x≥0)的值域，∵当x≥0时，2x∈[1，＋∞).∴所求定义域为[1，＋∞).
5.已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像过点Q(5,2)，则b＝________.
f－1(x)的图像过Q(5,2)，则f(x)的图像过点(2,5)，则f(2)＝5，即22＋b＝5，解得b＝1.
∴x0＝ ＝2.
2.(多选)函数y＝1＋ax(a>0且a≠1)的反函数的图像可能是
方法一 先画出y＝1＋ax的图像，由反函数的图像与原函数的图像关于直线y＝x对称可画出反函数的图像.方法二 因为函数y＝1＋ax(a>0且a≠1)过(0,2)，所以它的反函数必过(2,0)点.
3.已知函数f(x)＝1＋2lg x，则f(1)＋f－1(1)等于A.0 B.1 C.2 D.3
根据题意，f(1)＝1＋2lg 1＝1，若f(x)＝1＋2lg x＝1，解得x＝1，则f－1(1)＝1，故f(1)＋f－1(1)＝1＋1＝2.
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝ .
5.设函数f(x)＝lga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于A.3 B.4 C.5 D.6
f(x)＝lga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b，又f(x)的图像过点(2,1)，∴f－1(x)的图像过点(1,2)，
6.设函数f(x)＝lg2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是___________.
f－1(x)的定义域为f(x)的值域，∵x≥1，∴lg2x≥0，∴lg2x＋3≥3，∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞).
7.已知f(x)的图像经过点(2,3)，f(x)的反函数为f－1(x)，则f－1(x－2)的图像必经过点________.
由题意可得f(2)＝3，则f－1(3)＝2，即f－1(5－2)＝2，故函数f－1(x－2)的图像必过点(5,2).
9.求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数.
∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝lg3(y＋4)，∴y＝lg3(x＋4)，又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定义域为[5，＋∞).∴函数y＝3x－4的反函数为y＝lg3(x＋4)(x≥5).
10.已知函数f(x)＝lga(2－x)(a>1).(1)求函数f(x)的定义域、值域；
要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
由y＝lga(2－x) ，得2－x＝ay，即x＝2－ay.∴f－1(x)＝2－ax(x∈R).
(3)判断并证明f－1(x)的单调性.
f－1(x)在R上是减函数.证明如下：任取x1，x2∈R且x1
方法一 ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1.∵g(x)＝－lgbx的定义域是(0，＋∞)，∴排除A；若a>1，则0
∴g(x)＝ ＝lgax，∴f(x)与g(x)互为反函数，图像关于y＝x对称，故选B.
12.将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得到函数y＝lg2(x＋1)的图像A.先向上平移一个单位B.先向右平移一个单位C.先向左平移一个单位D.先向下平移一个单位
将y＝2x的图像向下平移一个单位得到y＝2x－1的图像，再作关于直线y＝x对称的图像即可得到.
∴f(x2＋2x)＝ ，
13.已知函数f(x)与函数g(x)＝ 的图像关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调递增区间是____________.
∵f(x)在R上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调递增区间即为t＝x2＋2x的单调递减区间，即(－∞，－1].
当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1.
15.已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤ 的解集是
当－1≤x<0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，
16.已知函数f(x)＝lga(8－2x)(a>0且a≠1).(1)求定义域；
由8－2x>0，得2x<8，∴x<3，∴函数的定义域为(－∞，3).
(2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；
由f(x)＝lga(8－2x)(a>0且a≠1)，解得x＝lg2(8－ay)，对调x，y，得y＝lg2(8－ax).由于函数f(x)的反函数是其本身，∴a＝2.
(3)求函数y＝f(x)＋f(－x)的值域.
y＝f(x)＋f(－x)＝lga(8－2x)＋lga(8－2－x)＝lga[65－8(2x＋2－x)].
∴函数y＝lga[65－8(2x＋2－x)]的定义域为(－3,3).
∴0<65－8(2x＋2－x)≤49，故65－8(2x＋2－x)的取值范围为(0,49].故当a>1时，函数y＝f(x)＋f(－x)的值域为(－∞，lga49]；当0
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