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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)集体备课课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)集体备课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了指数型函数模型，常见的函数模型，注意点，反思感悟，对数型函数模型，即声强级为60分贝，函数模型的选择问题，随堂演练，课时对点练，设至少需要过滤n次等内容，欢迎下载使用。
1.掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用.
2.能够选择合适的数学模型分析解决实际问题.
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资 100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，假设存入的本金为 1 000元，每期的利率为2.25%.五期后的本利和是多少？
建立函数模型应把握的三个关口(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题.
某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%).经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2.∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N＋.
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像，如图.
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值.∵8
(1)设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________ kPa.
y与x的函数关系可近似表示为y＝ ，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.
(2)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb
声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝ 给出，其中I为声强(单位：W/m2).(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
当I＝10－6W/m2时，
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
则能听到的最低声强为10－12 W/m2.
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
当声强I＝5×10－7W/m2时，
＝50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息.
(1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义.(2)对数型函数模型的一般表达式为f(x)＝mlgax＋n(m，n，a为常数，a>0且a≠1).
我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝ ，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量.(1)当燕子静止时，它的耗氧量是多少个单位？
由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝ ，解得O＝10.所以燕子静止时耗氧量是10个单位.
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
将耗氧量O＝80代入题中公式，
当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示.观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型
进行模拟，如图(1)所示.取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示.设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元.
建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
某公司为了实现60万元的销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到5万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图像(如图所示).
观察图像可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图像都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图像始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合该公司的要求.
1.知识清单： (1)指数型函数模型. (2)对数型函数模型. (3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.方法归纳：数学建模.3.常见误区： (1)实际应用题易忘定义域和作答. (2)忽视指数与对数的运算方法而致错.
1.某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了a km，休息了一段时间，又沿原路返回b km(b
2.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是
设月平均增长率为x,1月份产量为a，
3.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2016年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2022年冬有越冬白鹤A.4 000只 B.5 000只C.6 000只 D.7 000只
当x＝1时，由3 000＝alg3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2022年冬，即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000(只).
4.据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2018年的湖水量为m，从2018年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系式为____________.
设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，解得q%＝ ，即x年后的湖水量为 .
5.为绿化生活环境，某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵树y与x之间的解析式是_____________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________.
经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x，由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，
y＝6.4(1＋a)x
1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N＋)，该产品的产量y满足A.y＝a(1＋5%x) B.y＝a＋5%C.y＝a(1＋5%)x－1 D.y＝a(1＋5%)x
经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
2.研究人员发现某种物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律是：y＝2·2x＋21－x(x≥0)，当物质温度为5摄氏度时，需经过A.1分钟 B.2分钟C.4分钟 D.8分钟
某种物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律是：y＝2·2x＋21－x(x≥0)，当y＝5时，2·2x＋21－x＝5，由x≥0，解得x＝1.所以经过1分钟，该物质温度为5摄氏度.
3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)A.8 B.9 C.10 D.11
又n∈N，所以n≥9，所以至少过滤9次才能使产品达到市场要求.
4.(多选)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像.由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示.则根据图像判断下列说法错误的是A.图2的建议为减少运营成本B.图2的建议可能是提高票价C.图3的建议为减少运营成本D.图3的建议可能是提高票价
根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；
由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得A，D正确，B，C错误.
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
根据题意，设第n年开始超过400万元，则130×(1＋12%)n－2 010>400，化为(n－2 010)lg 1.12>2lg 2－lg 1.3，
6.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则 ＝________.
因为lg E＝4.8＋1.5M，所以lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8＋1.5×7.5＝16.05，
7.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元.
解得a＝2，b＝－2.∴y＝2lg4x－2，当y＝8时，2lg4x－2＝8，解得x＝1 024.故他的销售额应为1 024万元.
8.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数型函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为 .现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝______________.
从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝ .
9.家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝ ，其中Q0是臭氧的初始量.(1)随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
所以Q＝ 为减函数，所以随着时间的增加，臭氧的含量减少.
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？(精确到年，参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)
设x年以后将会有一半的臭氧消失，则
所以278年以后将会有一半的臭氧消失.
10.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？
设第x天所得回报是y元，则方案一可用函数f1(x)＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可用函数f2(x)＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可用函数f3(x)＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述.作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示.由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多.
我们再看累计回报数，列表如下：
从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案.
＋b(a，b为常数)，通常这种热饮在40 ℃时，口感最佳，某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A.35 min B.30 min C.25 min D.20 min
11.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为y＝
由题意，当0≤t≤5时，函数图像是一条线段，当t≥5时，函数的解析式为y＝ ＋b，点(5,100)和点(15,60)，代入解析式，有
解得a＝5，b＝20，故函数的解析式为y＝ ＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，∴最少需要的时间为25 min.
12.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝ ，若l＝6.05，则最大车流量为________辆/时.
13.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过___小时才能开车.(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，
将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，
14.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.24t求得，且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于________.(结果保留三位有效数字.参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693)
所以0.24t＝ln 3≈1.099，所以t≈4.58.
由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，
15.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图像如图所示，假设其关系为指数函数，并给出了下列说法：①此指数函数的底数为2； ②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3.其中正确的说法有________.(请把正确说法的序号都填在横线上)
该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以①正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以②正确；由f(x1)＝ ＝4和f(x2)＝ ＝12，得x1＝2，x2＝lg212＝2＋lg23，所以x2－x1＝lg23>1.5，所以③错误；设 ＝2, ＝3, ＝6，则t1＝1，t2＝lg23，t3＝lg26，则t1＋t2＝1＋lg23＝lg2(2×3)＝lg26＝t3，所以④正确.
16.20世纪90年代，气候变化专业委员会向政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2体积分数增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x(即当年数与1989的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝abx＋c(其中a，b，c为常数，且b>0，b≠1).(1)根据题中的数据，求f(x)和g(x)的解析式；
(2)如果1994年大气中的CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.
∵f(5)＝15，g(5)＝17.25，f(5)更接近于16，
1.掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用.
2.能够选择合适的数学模型分析解决实际问题.
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资 100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，假设存入的本金为 1 000元，每期的利率为2.25%.五期后的本利和是多少？
建立函数模型应把握的三个关口(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题.
某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%).经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2.∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N＋.
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像，如图.
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值.∵8
(1)设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________ kPa.
y与x的函数关系可近似表示为y＝ ，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.
(2)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb
声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝ 给出，其中I为声强(单位：W/m2).(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
当I＝10－6W/m2时，
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
则能听到的最低声强为10－12 W/m2.
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
当声强I＝5×10－7W/m2时，
＝50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息.
(1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义.(2)对数型函数模型的一般表达式为f(x)＝mlgax＋n(m，n，a为常数，a>0且a≠1).
我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝ ，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量.(1)当燕子静止时，它的耗氧量是多少个单位？
由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝ ，解得O＝10.所以燕子静止时耗氧量是10个单位.
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
将耗氧量O＝80代入题中公式，
当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示.观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型
进行模拟，如图(1)所示.取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示.设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元.
建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
某公司为了实现60万元的销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到5万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图像(如图所示).
观察图像可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图像都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图像始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合该公司的要求.
1.知识清单： (1)指数型函数模型. (2)对数型函数模型. (3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.方法归纳：数学建模.3.常见误区： (1)实际应用题易忘定义域和作答. (2)忽视指数与对数的运算方法而致错.
1.某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了a km，休息了一段时间，又沿原路返回b km(b
2.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是
设月平均增长率为x,1月份产量为a，
3.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2016年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2022年冬有越冬白鹤A.4 000只 B.5 000只C.6 000只 D.7 000只
当x＝1时，由3 000＝alg3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2022年冬，即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000(只).
4.据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2018年的湖水量为m，从2018年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系式为____________.
设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，解得q%＝ ，即x年后的湖水量为 .
5.为绿化生活环境，某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵树y与x之间的解析式是_____________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________.
经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x，由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，
y＝6.4(1＋a)x
1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N＋)，该产品的产量y满足A.y＝a(1＋5%x) B.y＝a＋5%C.y＝a(1＋5%)x－1 D.y＝a(1＋5%)x
经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
2.研究人员发现某种物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律是：y＝2·2x＋21－x(x≥0)，当物质温度为5摄氏度时，需经过A.1分钟 B.2分钟C.4分钟 D.8分钟
某种物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律是：y＝2·2x＋21－x(x≥0)，当y＝5时，2·2x＋21－x＝5，由x≥0，解得x＝1.所以经过1分钟，该物质温度为5摄氏度.
3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)A.8 B.9 C.10 D.11
又n∈N，所以n≥9，所以至少过滤9次才能使产品达到市场要求.
4.(多选)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像.由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示.则根据图像判断下列说法错误的是A.图2的建议为减少运营成本B.图2的建议可能是提高票价C.图3的建议为减少运营成本D.图3的建议可能是提高票价
根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；
由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得A，D正确，B，C错误.
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
根据题意，设第n年开始超过400万元，则130×(1＋12%)n－2 010>400，化为(n－2 010)lg 1.12>2lg 2－lg 1.3，
6.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则 ＝________.
因为lg E＝4.8＋1.5M，所以lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8＋1.5×7.5＝16.05，
7.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元.
解得a＝2，b＝－2.∴y＝2lg4x－2，当y＝8时，2lg4x－2＝8，解得x＝1 024.故他的销售额应为1 024万元.
8.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数型函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为 .现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝______________.
从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝ .
9.家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝ ，其中Q0是臭氧的初始量.(1)随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
所以Q＝ 为减函数，所以随着时间的增加，臭氧的含量减少.
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？(精确到年，参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)
设x年以后将会有一半的臭氧消失，则
所以278年以后将会有一半的臭氧消失.
10.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？
设第x天所得回报是y元，则方案一可用函数f1(x)＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可用函数f2(x)＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可用函数f3(x)＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述.作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示.由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多.
我们再看累计回报数，列表如下：
从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案.
＋b(a，b为常数)，通常这种热饮在40 ℃时，口感最佳，某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A.35 min B.30 min C.25 min D.20 min
11.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为y＝
由题意，当0≤t≤5时，函数图像是一条线段，当t≥5时，函数的解析式为y＝ ＋b，点(5,100)和点(15,60)，代入解析式，有
解得a＝5，b＝20，故函数的解析式为y＝ ＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，∴最少需要的时间为25 min.
12.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝ ，若l＝6.05，则最大车流量为________辆/时.
13.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过___小时才能开车.(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，
将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，
14.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.24t求得，且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于________.(结果保留三位有效数字.参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693)
所以0.24t＝ln 3≈1.099，所以t≈4.58.
由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，
15.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图像如图所示，假设其关系为指数函数，并给出了下列说法：①此指数函数的底数为2； ②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3.其中正确的说法有________.(请把正确说法的序号都填在横线上)
该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以①正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以②正确；由f(x1)＝ ＝4和f(x2)＝ ＝12，得x1＝2，x2＝lg212＝2＋lg23，所以x2－x1＝lg23>1.5，所以③错误；设 ＝2, ＝3, ＝6，则t1＝1，t2＝lg23，t3＝lg26，则t1＋t2＝1＋lg23＝lg2(2×3)＝lg26＝t3，所以④正确.
16.20世纪90年代，气候变化专业委员会向政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2体积分数增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x(即当年数与1989的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝abx＋c(其中a，b，c为常数，且b>0，b≠1).(1)根据题中的数据，求f(x)和g(x)的解析式；
(2)如果1994年大气中的CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.
∵f(5)＝15，g(5)＝17.25，f(5)更接近于16，
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