高中数学4.1.1 实数指数幂及其运算导学案及答案

这是一份高中数学4.1.1 实数指数幂及其运算导学案及答案，共14页。学案主要包含了n次方根，根式，数式的条件求值问题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.3.掌握根式与分数指数幂的互化.4.掌握有理数指数幂的运算性质．
导语
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数eq \r(2)的诞生，这就是本节课我们要学习的根式．
一、n次方根
问题1 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎样表示？
提示 这样的x有2个，它们叫做3的平方根，表示为eq \r(3)，－eq \r(3).
问题2 如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？
提示 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，当a>0时，这样的x有两个；当a＝0时，a只有一个平方根；当a<0时，a在实数范围内没有平方根．如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有且只有一个．
问题3 类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根的定义，你认为n次方根应该是什么？
提示 比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根．
知识梳理
1．a的n次方根的概念
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．
2．根式的意义和性质
当eq \r(n,a)有意义时，eq \r(n,a)称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
根式的性质：
(1)(eq \r(n,a))n＝a.
(2)eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，当n为奇数时，,|a|，当n为偶数时.))
注意点：
(1)对于(eq \r(n,a))n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0.
(2)(eq \r(n,a))n与eq \r(n,an)意义不同，比如eq \r(3,－33)＝－3，eq \r(4,－34)＝3，而(eq \r(4,－3))4没有意义，故(eq \r(n,a))n≠eq \r(n,an).
(3)当a≥0时，(eq \r(n,a))n＝eq \r(n,an)；当a<0且n为奇数时，(eq \r(n,a))n＝eq \r(n,an)；当a<0且n为偶数时，对于eq \r(n,an)要注意运算次序．
例1 (1)化简下列各式：
①eq \r(5,－25)＋(eq \r(5,－2))5；
②eq \r(6,－26)＋(eq \r(6,2))6；
③eq \r(4,x＋24).
解 ①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
②原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
③原式＝|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))
(2)已知－3解 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－3延伸探究 在本例(2)中，若将“－3解 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思感悟 正确区分eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n
(1)eq \r(n,an)中的a可以是全体实数，eq \r(n,an)的值取决于n的奇偶性．
(2)(eq \r(n,a))n已暗含了eq \r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．
跟踪训练1 化简下列各式：
(1)eq \r(7,－27)；
(2)eq \r(π－42)＋eq \r(3,π－43)；
(3)eq \r(4,3a－34)(a≤1)；
(4)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4).
解 (1)eq \r(7,－27)＝－2.
(2)eq \r(π－42)＋eq \r(3,π－43)＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.
(3)∵a≤1，
∴eq \r(4,3a－34)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(4)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))
二、根式、分数指数幂的化简与求值
问题4 被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如eq \r(3,a2)，eq \r(4,a2)，eq \r(3,a5)，eq \r(9,a3)，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？
提示 eq \r(3,a2)＝，eq \r(4,a2)＝＝，eq \r(3,a5)＝，eq \r(9,a3)＝＝.
问题5 根据所学知识，猜测23，2π，24之间的大小关系．
提示 23<2π<24.
知识梳理
1．分数指数幂的意义
2.有理数指数幂的运算法则
(1)asat＝as＋t(s，t∈Q)；
(2)(as)t＝ast(s，t∈Q)；
(3)(ab)s＝asbs(s∈Q)．
3．实数指数幂
无理数指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．因此当a>0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理数指数幂的运算法则仍然成立．
注意点：
(1)分数指数幂不可理解为eq \f(m,n)个a相乘，它是根式的一种写法．
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
例2 (1)若有意义，则实数x的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
答案 C
解析 由负分数指数幂的意义可知，
＝eq \f(1,\r(4,x－23))，
所以x－2>0，即x>2，
所以x的取值范围是(2，＋∞)．
(2)根式eq \r(\f(1,a)·\r(\f(1,a)))(a>0)的分数指数幂的形式为( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 eq \r(\f(1,a)·\r(\f(1,a)))＝.
(3)(多选)下列各式正确的是( )
A.eq \r(3,m2＋n2)＝
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝a－2b2
C.eq \r(6,－32)＝
D.eq \r(\r(3,4))＝
答案 BD
解析 选项A中，＝eq \r(3,m＋n2)，因此不正确；
选项B中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝a－2b2，因此正确；
选项C中，eq \r(6,－32)＝eq \r(6,32)＝，因此不正确；
选项D中，eq \r(\r(3,4))＝，因此正确．
反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律及技巧
(1)规律：根指数分数指数幂的分母．
被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
跟踪训练2 将下列各式化为分数指数幂的形式：
(1)eq \f(1,\r(3,x·\r(5,x2)2))(x>0)；
(2)eq \r(ab3\r(ab5))(a>0，b>0)．
解 (1)原式＝
＝.
(2)原式＝＝
＝.
例3 计算与化简：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))0＋2－2×－0.010.5；
(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,8)))0＋＋16－0.75；
(3)(a>0，b>0)．
解 (1)原式＝1＋eq \f(1,4)×
＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3
＝eq \f(5,2)－1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＝eq \f(27,16).
(3)原式＝
＝eq \f(4,25)a0b0＝eq \f(4,25).
反思感悟 利用指数幂的运算法则化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3 计算与化简：
(1)＋－10(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(3)－eq \r(2))0；
(2)(x>0，y>0，z>0)．
解 (1)原式＝－eq \f(10,\r(5)－2)＋1＝－10(eq \r(5)＋2)＋1
＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9).
(2)原式＝
＝
三、数式的条件求值问题
例4 已知＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
解 (1)∵＝3，
∴＝9，
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
(2)∵a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
(3)
＝(a－1＋a－1)＝3×(7－1)＝18.
反思感悟 条件求值问题的常用方法
(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
跟踪训练4 设＝m，则eq \f(a2＋1,a)等于( )
A．m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
答案 C
解析 将＝m平方得＝m2，
即a－2＋a－1＝m2，
所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋eq \f(1,a)＝m2＋2，
得eq \f(a2＋1,a)＝a＋eq \f(1,a)＝m2＋2.
1．知识清单：
(1)n次方根的概念．
(2)根式与分数指数幂的化简与求值．
(3)数式的条件求值问题．
2．方法归纳：转化化归、整体代换法．
3．常见误区：
(1)对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，a≥0.
(2)在运用分数指数幂的运算法则化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
(3)条件求值问题，一般先化简，再代入求值．有时通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
1.eq \r(4,a－2)＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥2 B．2≤a<4或a>4
C．a≠2 D．a≠4
答案 B
解析 要使原式有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥0，,a－4≠0，))
解得2≤a<4或a>4.
2．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
答案 C
解析 原式＝|2－a|＋|3－a|，
∵23．化简的结果为( )
A．5 B.eq \r(5) C．－eq \r(5) D．－5
答案 B
解析 ＝eq \r(5).
4.的化简结果是( )
A．1 B．a C． D．
答案 D
解析 原式＝.
5．计算：＋(1.5)－2＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 原式＝
＝eq \f(3,2)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2＝eq \f(1,2).
1．若eq \r(a－1)＋eq \r(3,a－2)有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a≥1
C．a≥2 D．a∈R
答案 B
解析 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≥0，,a－2∈R，))∴a≥1.
2.eq \r(4,－34) 的值是( )
A．3 B．－3 C．±3 D．81
答案 A
解析 eq \r(4,－34)＝|－3|＝3.
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1\f(1,2)))0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
答案 D
解析 原式＝1－(1－22)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2
＝1－(－3)×eq \f(4,9)＝eq \f(7,3).
4．(多选)下列各式，其中正确的是( )
A．若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
B.eq \r(3,x4＋y3)＝x＋y
C.eq \r(3,－5)＝eq \r(6,－52)
D．若eq \r(n,a)＝－eq \r(n,a)，则a＝0
答案 AD
解析 A项，因为a2－a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
所以(a2－a＋1)0＝1成立；
B项，eq \r(3,x4＋y3)无法化简；
C项，eq \r(3,－5)<0，eq \r(6,－52)>0，故不相等；
D项，因为eq \r(n,a)与－eq \r(n,a)互为相反数，所以a＝0成立．
5．已知ab＝－5，则aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))的值是( )
A．2eq \r(5) B．0 C．－2eq \r(5) D．±2eq \r(5)
答案 B
解析 由题意知ab＝－5，
所以b＝－eq \f(5,a)，a＝－eq \f(5,b)，且ab<0，
aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))
＝aeq \r(\f(5,a2))＋beq \r(\f(5,b2))＝aeq \f(\r(5),|a|)＋beq \f(\r(5),|b|)＝0.
6．已知3a－1＋3a－2＋3a－3＝117，则(a＋1)(a＋2)·(a＋3)等于( )
A．120 B．210 C．336 D．504
答案 C
解析 3a－1＋3a－2＋3a－3＝(9＋3＋1)×3a－3＝117，得3a－3＝9，解得a＝5，
所以(a＋1)(a＋2)(a＋3)＝336.
7．已知3a＝2,3b＝eq \f(1,5)，则32a－b＝________.
答案 20
解析 32a－b＝eq \f(32a,3b)＝eq \f(3a2,3b)＝eq \f(22,\f(1,5))＝20.
8．计算：＋eq \f(－40,\r(2))＋eq \f(1,\r(2)－1)－eq \r(1－\r(5)0)·＝________.
答案 2eq \r(2)－3
解析 原式＝eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(2))＋eq \r(2)＋1－22＝2eq \r(2)－3.
9．化简与计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))0.5＋0.1－2＋－3π0＋eq \f(37,48)；
(2)(a>0，b>0)．
解 (1)原式＝＋eq \f(1,0.12)＋－3＋eq \f(37,48)
＝eq \f(5,3)＋100＋eq \f(9,16)－3＋eq \f(37,48)＝100.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
10．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))的值．
解 因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,ab＝4，))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))))2＝eq \f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab))＝eq \f(6－2\r(4),6＋2\r(4))＝eq \f(1,5).
因为a>b>0，所以eq \r(a)>eq \r(b)>0，
所以eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝eq \r(\f(1,5))＝eq \f(\r(5),5).
11．计算eq \f(2n＋12·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2n＋1,4n·8－2)(n∈N＋)的结果为( )
A.eq \f(1,64) B．22n＋5
C．2n2－2n＋6 D．27－2n
答案 D
解析 原式＝eq \f(22n＋2·2－2n－1,22n·23－2)＝eq \f(2,22n－6)＝27－2n.
12．已知a＋eq \f(1,a)＝7，则a2＋a－2＝________，a－a－1＝________.
答案 47 ±3eq \r(5)
解析 因为a＋eq \f(1,a)＝7，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))2＝a2＋eq \f(1,a2)＋2＝49，
变形可得a2＋a－2＝a2＋eq \f(1,a2)＝49－2＝47，
(a－a－1)2＝(a＋a－1)2－4＝49－4＝45，
所以a－a－1＝±3eq \r(5).
13．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
答案 eq \f(1,4)
解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝eq \f(1,5).
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq \f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝.
14．化简：＝________.
答案 1
解析 原式＝＝eq \r(a0b0)＝1.
15．化简：＝________.
答案
解析 原式＝
＝＝.
16．(1)已知2x＋2－x＝a(a为常数)，求8x＋8－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x解 (1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2
＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴8x＋8－x＝23x＋2－3x
＝(2x)3＋(2－x)3
＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)
＝a(a2－2－1)＝a3－3a.
(2)
＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x将②③代入①，得＝－eq \f(\r(3),3).分数指数幂
正分数指数幂
当a＞0时，规定＝eq \r(n,a)，＝(eq \r(n,a))m＝eq \r(n,am)(n，m∈N＋，且eq \f(m,n)为既约分数)
负分数指数幂
当a＞0时，规定＝(n，m∈N＋)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义