人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.3 平面向量的坐标及其运算授课课件ppt

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.3 平面向量的坐标及其运算授课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了平面向量的坐标，a⊥b，正交分解，e1⊥e2，注意点，反思感悟，λxλy，2D点的坐标，向量平行的坐标表示，x2y1＝x1y2等内容，欢迎下载使用。

1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？
问题1　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？
提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.
平面向量的坐标1.向量垂直平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相 ，我们就称向量a与b垂直，记作______.规定零向量与任意向量都垂直.2.正交基底如果平面向量的基底{e1，e2}中，______，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的 .3.向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝ .
求平面上向量的坐标，可选如下两种方法中的任何一种：(1)将向量用单位向量e1，e2表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.
(1)求向量a，b的坐标；
如图，作AM⊥x轴于点M，
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
(2)求向量 的坐标.
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
平面上向量的运算与坐标的关系
问题2　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？
提示　a＋b＝(x1e1＋y1e2)＋(x2e1＋y2e2)＝(x1＋x2)e1＋(y1＋y2)e2，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2).
问题3　已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？
提示　λa＝λ(xe1＋ye2)＝λxe1＋λye2，即λa＝(λx，λy).
问题4　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求 的坐标？
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
　　(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标；
a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11).
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
∴点C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，
＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3).
平面内两点间的距离、中点坐标
问题5　直线l上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能写出这两点之间的距离吗？ 若P点位于P1P2中点位置，你能写出P点的坐标吗？
平面上两点之间的距离公式与中点坐标公式
　　已知点A(0,1)，B(3,2)，向量　 ＝(－4，－3)，点M为BC的中点.(1)求点M的坐标；
(2)求BC＋2BM的长.
利用平面内两点间的距离公式及中点坐标公式时，关键是确定线段两个端点的坐标.
　　　已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2,1)，B(2,2)，C(3,6)，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求：(1)AB，AD；
由两点间的距离公式，得
问题6　已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？
提示　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ .
　　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于
方法一　a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，
方法二　假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，
(2)已知A(0，－3)，B(3,3)，C(x，－1)，若　　　 共线，则x等于A.5 　　　　　B.1 　　　　　C.－1 　　　　　D.－5
向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，b∥a(a≠0)推出b＝λa(λ有唯一实数).(2)利用向量共线的坐标表达式x2y1＝x1y2直接求解.
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，故a＋b＝2.
∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
即点C的坐标为(5，－3).
1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量坐标的运算. (3)两点间的距离公式与中点坐标公式. (4)向量平行的坐标表示.2.方法归纳：转换法.3.常见误区：向量的坐标不一定是终点的坐标；向量平行的坐标表示.
1.若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a－2b的坐标是A.(5,3) B.(4,3)C.(8,3) D.(0，－1)
3a－2b＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3).
2.设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是
3.已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为
∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.
5.已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为________.
∴1×(m－2)－2×2＝0，∴m＝6.
1.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于A.(7,3) 　　　B.(7,7) 　　　C.(1,7) 　　　D.(1,3)
a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3).
2.(多选)已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面四个结论，其中正确的有
点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，
3.已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则|b|等于
4.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为A.(2,6) B.(－2,6)C.(2，－6) D.(－2，－6)
由题意得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6).
5.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为A.－2,1 B.1，－2C.2，－1 D.－1,2
∵c＝λ1a＋λ2b，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
7.设向量a，b满足|a|＝　 ，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为___________.
因为b＝(2,1)，且a与b的方向相反，所以设a＝(2λ，λ)(λ<0).因为|a|＝ ，所以4λ2＋λ2＝20，解得λ2＝4，λ＝－2，所以a＝(－4，－2).
8.已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为________.
因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
(1)求线段BD的中点M的坐标；
设点B的坐标为(x1，y1).
∴B(3,1).同理可得D(－4，－3).设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
10.已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(8，－7).∵(λa－b)∥(a＋2b)，∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝ .
11.已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么A.k＝1且c与d同向B.k＝1且c与d反向C.k＝－1且c与d同向D.k＝－1且c与d反向
∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A，B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向.
12.已知在正方形网格中的向量a，b，c如图所示，则“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”是“λ＋μ＝3”的___________条件.(填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)
设三个向量都在平面直角坐标系内，正方形网格长度为1，则a＝(1,1)，b＝(0，－1)，c＝(2,1)，由c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，得(2,1)＝λ(1,1)＋μ(0，－1)，
∴由“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”可以推出“λ＋μ＝3”，当λ＝1，μ＝2时，λa＋μb＝(1，－1)≠c，∴由“λ＋μ＝3”推不出“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”，故“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”是“λ＋μ＝3”的充分不必要条件.
由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ).设B(x，y)，则 ＝(x－1，y－2)＝b.
14.已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为______________.
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
15.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是A.(1,5)或(5,5)B.(1,5)或(－3，－5)C.(5，－5)或(－3，－5)D.(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，
②若这个平行四边形为▱ACDB，
③若这个平行四边形为▱ACBD，
综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5).
16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2).
设点P的坐标为(x，y)，
设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
又因为点P在函数y＝x＋1的图像上，所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.