高中人教B版 (2019)1.1.1 集合及其表示方法第1课时学案

这是一份高中人教B版 (2019)1.1.1 集合及其表示方法第1课时学案，共11页。学案主要包含了集合概念的理解，元素特点的应用，几种常见的数集等内容，欢迎下载使用。

第1课时 集合的概念
学习目标 1.了解集合和元素的含义，体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系.2.理解集合中元素的特点，理解集合相等的概念.3.记住常用数集的表示符号并会应用．
导语
在体育课上，体育老师常说的一句话就是“集合”，这个时候，同学们从四面八方集合到一起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子．
一、集合概念的理解、元素与集合的关系
问题1 看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？
(1)1～10之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)所有正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；
(6)地球上的四大洋．
提示 以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等．
问题2 如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？
提示 是男生就去，不是男生就不去．
知识梳理
1．集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．
2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．
3．元素与集合之间的关系
4.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
注意点：
元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写．
例1 (1)设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系中正确的是( )
A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M
C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M
答案 B
解析 本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.
(2)设集合B是小于eq \r(11)的所有实数的集合，则2eq \r(3)________ B,1＋eq \r(2)________B．(用符号“∈”或“∉”填空)
答案 ∉ ∈
解析 ∵2eq \r(3)＝eq \r(12)>eq \r(11)，
∴2eq \r(3)∉B，
∵(1＋eq \r(2))2＝3＋2eq \r(2)<3＋2×4＝11，
∴1＋eq \r(2)∴1＋eq \r(2)∈B.
反思感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练1 (1)用符号“∈”或“∉”填空．设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____A，美国____A，印度____A，英国____A.
答案 ∈ ∉ ∈ ∉
解析 中国、印度为亚洲国家，美国、英国不是亚洲国家．
(2)若集合Q由可表示为n2＋1(n∈N＋)的实数构成，则3________Q,5________Q．(用符号“∈”或“∉”填空)
答案 ∉ ∈
解析 5＝22＋1,2∈N＋，
∴5∈Q，但3不能表示成n2＋1(n∈N＋)的形式，
故3∉Q.
二、元素特点的应用
问题3 我们班“个子比较高的同学”能不能构成一个集合？
提示 不能，因为“个子比较高的同学”没有明确的标准．
问题4 问题1中的几个集合的元素分别是什么？
提示 (1)2,4,6,8,10；(2)立德中学今年入学的每一位高一学生；(3)正方形；(4)到直线l的距离等于定长d的点；(5)1,2；(6)太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．
知识梳理
1．集合元素的特点
(1)确定性：集合的元素必须是确定的．
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列．
2．给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B.
3．集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．
注意点：
(1)集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关．
(2)利用集合相等求参时，已知元素是突破口．
(3)空集为有限集．
例2 (1)下列对象能构成集合的是( )
A．高一年级全体较胖的学生
B．sin 30°，sin 45°，cs 60°，1
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
答案 D
解析 对于A，较胖学生不确定，不满足集合元素的确定性，故A错误；对于B，由于sin 30°＝cs 60°＝eq \f(1,2)，不满足集合元素的互异性，故B错误；对于C，很大的自然数不确定，不满足集合元素的确定性，故C错误；对于D，平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是△ABC外接圆的圆心，满足集合的定义，故D正确．
(2)已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－eq \f(3,2).
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去；
当a＝－eq \f(3,2)时，a－2＝－eq \f(7,2)，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性．
∴a＝－eq \f(3,2).
延伸探究 若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．
解 由a∈A，可得a－2＝a或2a2＋5a＝a或12＝a，
当a－2＝a时，无解，
当2a2＋5a＝a时，a＝0或a＝－2，
若a＝0，三个元素分别为－2,0,12，符合集合中元素的互异性；
若a＝－2，三个元素分别为－4，－2,12，符合集合中元素的互异性．
当12＝a时，这三个元素是10,348,12，符合集合中元素的互异性．
综上所述，a的值为0或－2或12.
反思感悟 (1)判断一组对象能构成集合的条件：确定性，互异性，无序性．
(2)集合中元素求参数时要注意
①分类讨论思想的应用．
②根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验．
跟踪训练2 (1)下列对象能够组成集合的是( )
A．与2非常接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数π相差很小的数
答案 C
解析 A项，与2非常接近的数不确定，不能构成集合；B项，怎么算“很著名”不确定，不能构成集合；C项，某教室内的桌子是确定的，可构成集合；D项，怎么算“相差很小”是不确定的，不能构成集合．
(2)已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
解 ∵－3∈A，
∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，a＝0或a＝－1.
三、几种常见的数集
知识梳理
例3 (1)(多选)下列关系中正确的为( )
A.eq \r(2)∈Q B．－1∉N
C．π∉R D．|－4|∈Z
答案 BD
解析 ∵eq \r(2)是无理数，∴eq \r(2)∉Q，故A错误；－1∉N，故B正确；∵π是实数，∴π∈R，故C错误；∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故D正确．
(2)下列结论中，不正确的是( )
A．若a∈N，则－a∉N
B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则a3∈R
答案 A
解析 A中，当a＝0时，显然不成立．
反思感悟 求解此类问题必须要做到以下两点：
①熟记常见的数集的符号．
②正确理解元素与集合之间的“属于”关系.
跟踪训练3 (1)给出下列关系：①eq \f(1,4)∈R；②|－1|∉N；③|－3|∈Q；④0∉N.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①③正确；②④不正确．
(2)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－2 C.eq \f(7,8) D.eq \r(7)
答案 D
解析 由题意知a应为无理数，故a可以为eq \r(7).
1．知识清单：
(1)元素与集合的概念及关系．
(2)集合中元素的特点及应用．
(3)常用数集的表示．
2．方法归纳：分类讨论、检验法．
3．常见误区：
(1)不注意讨论或讨论不全．
(2)忽视集合中元素的互异性．
1．(多选)下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有质数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．周长为10 cm的三角形
答案 BD
解析 A中“难题”的标准不确定，因而不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合．
2．若x满足x－1A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈A
C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A
答案 D
解析 ∵3－1＝2>eq \r(3)，∴3∉A.
又－3－1＝－43．已知1，x，x2三个实数构成一个集合，则x满足的条件是( )
A．x≠0 B．x≠1
C．x≠±1 D．x≠0且x≠±1
答案 D
解析 根据集合中元素的互异性，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≠x，,x≠x2，,x2≠1，))解得x≠0且x≠±1.
4．下列说法中：
①集合N与集合N＋是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________．(填序号)
答案 ②④
解析 因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
5．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2答案 6
解析 由x∈N,21．(多选)考察下列每组对象，能构成集合的是( )
A．中国各地的美丽的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．参加2022年北京冬奥会的中国运动员
答案 BCD
解析 A中“美丽”标准不明确，不符合确定性，BCD中的元素标准明确，均可构成集合．
2．下列关系中，正确的是( )
A．－2∈N＋ B.eq \f(3,2)∈Z
C．π∉Q D．5∉N
答案 C
解析 对于A，－2是负整数，则－2∉N＋，A错误；对于B，eq \f(3,2)是分数，则eq \f(3,2)∉Z，B错误；对于C，π是无理数，则π∉Q，C正确；对于D,5是正整数，则5∈N，D错误；故选C.
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
4．(多选)下面几个说法中正确的是( )
A．N＋中最小的数是1
B．若－a∉N＋，则a∈N＋
C．若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b的最小值是2
D．x2＋4＝4x的实数解构成的集合中含有2个元素
答案 AC
解析 N＋是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N＋，且a∉N＋，故B错误；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．
5．(多选)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a可以为( )
A．2 B．6 C．4 D．0
答案 AC
解析 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.
6．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________．
答案 a<2
解析 由题意知a不满足不等式x≥2，即a<2.
7．下列集合中，是空集的是________，是有限集的是________．(填序号)
①集合A中元素是既满足x>8，又满足x<5的实数；
②集合B中的元素是方程x2＋1＝0在R内的根；
③集合C中只有一个元素0；
④集合D中有0个元素．
答案 ①②④ ①②③④
8．已知集合A是由m＋2,2m2＋m两个元素组成的，且3∈A，则实数m的值为________．
答案 －eq \f(3,2)
解析 由3∈A，可得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
由集合元素的互异性，得m＋2≠2m2＋m，
所以可得m＝－eq \f(3,2).
9．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)2，eq \f(3,2)，eq \f(6,4)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))，eq \f(1,3)这些数组成的集合有5个元素；
(2)方程(x－3)(x＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素．
解 (1)不正确．∵eq \f(3,2)＝eq \f(6,4)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(1,3)，
∴这个集合有3个元素．
(2)不正确．方程(x－3)(x＋1)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素．
10．由三个数a，eq \f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合相等，求a2 022＋b2 022的值．
解 由a，eq \f(b,a)，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,a＝a＋b，,\f(b,a)＝0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝a，,a＋b＝1，,\f(b,a)＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0))(不满足集合元素的互异性，舍去)．
所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
11．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
答案 D
解析 由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等．
12．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．小于或等于1
答案 C
解析 由y∈N且y＝－x2＋1≤1，所以y＝0或y＝1.
又因为t∈A，所以t＝0或t＝1.
13．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
答案 3
解析 当a>0且b>0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝2；
当ab<0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝0；
当a<0且b<0时，eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＝－2.
所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3.
14．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”)
答案 ∉ ∈
解析 因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.
15．已知集合A是由所有形如3a＋eq \r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，则可以断定－6＋2eq \r(2)________集合A中的元素．(填“是”或者“不是”)
答案 是
解析 因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2eq \r(2)＝3×(－2)＋eq \r(2)×2是形如3a＋eq \r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数，即－6＋2eq \r(2)是集合A中的元素．
16．设集合A中的元素是实数，且满足1∉A，且若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A.若2∈A，写出集合A中的元素．
解 因为2∈A，所以eq \f(1,1－2)＝－1∈A，
所以eq \f(1,1－－1)＝eq \f(1,2)∈A，所以eq \f(1,1－\f(1,2))＝2，
再求下去仍然只得到2，－1，eq \f(1,2)这三个数，
所以集合A中的元素为－1，eq \f(1,2)，2.知识点
关系
概念
记法
读法
元素与集合的关系
属于
如果a是集合A的元素
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A的元素
a∉A
a不属于集合A
名称
非负整数集
(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N＋或N*
Z
Q
R