数学必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.2 不等式的解集学案

这是一份数学必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.2 不等式的解集学案，共13页。学案主要包含了一元一次不等式的解法，含一个绝对值的不等式的解法，含两个绝对值的不等式的解法等内容，欢迎下载使用。

2.2.2　不等式的解集
学习目标　1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式.3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．
导语
通过学习方程的解法，我们知道在解方程过程中主要应用了等式的性质，那么我们是否可以应用不等式的性质解不等式呢？通过学习方程组的解法，我们知道方程组的解集是各个方程解集的交集，那么不等式组的解集是否与各个不等式解集的交集有关呢？
带着疑问，我们开始今天的学习．
一、一元一次不等式(组)的解法
问题1　 x＝2满足不等式2x＋3>5吗？x＝0呢？
提示　 x＝2满足，x＝0不满足，所以2是不等式2x＋3>5的解，0不是它的解．
知识梳理
不等式的解
能够使不等式成立的未知数的值
不等式的解集
不等式的所有解组成的集合
不等式组的解集
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集

例1　解下列关于x的不等式(组)：
(1)
(2)3x＋a>0.
解　(1)不等式组
将①式移项、合并同类项，得x>2.
将②式移项、合并同类项，得3x>9.
系数化为1，得x>3.
所以不等式组的解集为(3，＋∞)．
(2)3x>－a，x>－，
所以不等式的解集为.

反思感悟　不等式组的解集的求解步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集．
(2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)．
(3)写出不等式组的解集．
跟踪训练1　解下列关于x的不等式(组)：
(1)
(2)ax>0.
解　(1)解不等式①，得x<－6，解不等式②，得x≥2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅.
(2)①当a>0时，x∈(0，＋∞)；
②当a＝0时，x∈∅；
③当a<0时，x∈(－∞，0)．
二、含一个绝对值的不等式的解法
问题2　我们知道，数a的绝对值是指数轴上表示数a的点与原点的距离，比如|a|＝3表示数轴上表示数a的点与原点的距离为3，即a＝3或－3，那么|a|>3的意义是什么呢？
提示　|a|>3表示数轴上表示数a的点与原点的距离大于3，即a>3或a<－3.我们常用这个思路解含绝对值的不等式．
知识梳理
概念
含有绝对值的不等式称为绝对值不等式
绝对值不等式的解法
|x|＝
当m>0时，|x|>m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，|x|≤m的解集为[－m，m]
数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式
如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|
如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝

例2　解下列不等式：
(1)|2x＋5|<7；
(2)2≤|x－2|≤4.
解　(1)原不等式等价于－7<2x＋5<7.
∴－12<2x<2，
∴－6 ∴原不等式的解集为(－6,1)．
(2)原不等式等价于
由①得x－2≤－2或x－2≥2，
∴x≤0或x≥4.
由②得－4≤x－2≤4，
∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为[－2,0]∪[4,6]．
反思感悟　 |ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c>0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b| (3)当c<0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.
跟踪训练2　解下列不等式：
(1)|4－3x|>5；
(2)4<|3x－2|<8.
解　(1) 由|4－3x|>5可得4－3x>5或4－3x<－5，
所以x<－或x>3，
即原不等式的解集为∪(3，＋∞)．
(2)由4<|3x－2|<8，得
⇒⇒
∴－2 ∴原不等式的解集为∪.
三、含两个绝对值的不等式的解法
例3　解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
解　 分段讨论法：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①当x<－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，
∴x<－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，
∴－7≤x≤－1.
③当x>2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，
∴x∈∅.
∴原不等式的解集为(－∞，－1].
延伸探究　你能用数轴上两点之间的距离(几何法)解答本题吗？
解　|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为(x))到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．

反思感悟　|x－a|±|x－b|≥c和|x－a|±|x－b|≤c型不等式的两种解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义．
(2)利用x－a＝0，x－b＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而求解．
跟踪训练3　(1)不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(　　)
A．[－5,7]
B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
答案　D
解析　方法一　当x＝0时，|x－5|＋|x＋3|＝8≥10不成立，可排除A，B，
当x＝－4时，|x－5|＋|x＋3|＝10≥10成立，可排除C，
故选D.
方法二　当x<－3时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为－(x－5)－(x＋3)≥10，
解得x≤－4；
当－3≤x≤5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为－(x－5)＋(x＋3)＝8≥10不成立；
当x>5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为
(x－5)＋(x＋3)≥10，
解得x≥6.
故不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
故选D.
(2)解不等式|2x－1|<|x|＋1.
解　当x<0时，原不等式可化为－2x＋1<－x＋1，
解得x>0，
又因为x<0，所以不等式无解；
当0≤x<时，原不等式可化为－2x＋1 解得x>0，
又因为0≤x<，
所以0 当x≥时，原不等式可化为2x－1 又因为x≥，所以≤x<2.
综上所述，原不等式的解集为{x|0
1．知识清单：
(1)解一元一次不等式(组)．
(2)解含有一个或两个绝对值的不等式．
(3)数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式.
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：含两个绝对值的不等式时的讨论，忽略是不是带等号．

1．不等式组的解集为(　　)
A．(－3,0] B．(－3,2]
C．∅ D.
答案　B
解析　解不等式组
将①式移项，得x>－3.
将②式去括号，得3x－3≤2x－1.
移项、合并同类项，得x≤2.
所以不等式组的解集为(－3,2]．
2．不等式1≤|2x－1|<2的解集为(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
答案　B
解析　由1≤|2x－1|<2，
得
由①得2x－1≥1或2x－1≤－1，
∴x≥1或x≤0.
由②得－2<2x－1<2，
∴－ ∴原不等式的解集为∪.
3．关于x的不等式|x|＋|x－1|≥3的解集是(　　)
A．(－∞，－1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．[－1,2]
答案　C
解析　当x≥1时，x＋x－1≥3，解得x≥2，
当0 当x≤0时，－x＋1－x≥3，解得x≤－1，
综上，不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
4．已知数轴上，A(2)，B(x)，C(－8)．若A与C关于点B对称，则x＝________.
答案　－3
解析　由数轴上的中点坐标公式可得x＝＝－3.
5．不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．
答案　[0,4]
解析　原不等式可转化为－1≤|x－2|－1≤1，
故0≤|x－2|≤2，解得0≤x≤4，
故所求不等式的解集为[0,4]．


1．(多选)不等式<1的正整数解有(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　ABC
解析　由<1，得x<4，
又x∈N＋，∴x＝1,2,3.
2．不等式组的解集在数轴上表示为(　　)


答案　C
解析　解不等式2x－1≥5，得x≥3，
解不等式8－4x<0，得x>2，
故不等式组的解集为[3，＋∞)．
3．设不等式|x－a| A．1,3 B．－1,3
C．－1，－3 D．，
答案　D
解析　由|x－a| 由题意得(a－b，a＋b)＝(－1,2)，
∴∴
4．(多选)不等式组的解集为(2，＋∞)，则m的值可以是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　ABC
解析　由>1，得x>2.
由题意的解集为(2，＋∞)，
即(2，＋∞)∩(m，＋∞)＝(2，＋∞)，
∴(2，＋∞)⊆(m，＋∞)，
∴m≤2，又m∈N，
故m＝0,1,2.
5．不等式|x－1|＋|x－2|≥5的解集为(　　)
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，1]∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[2，＋∞)
答案　A
解析　当x＝－1或x＝4时，有|x－1|＋|x－2|＝5.
由绝对值的几何意义，
画出数轴可得：

当x≤－1或x≥4时，|x－1|＋|x－2|≥5，故选A.
6．已知数轴上A(－1)，B(x)，C(6)，若线段AB的中点到C的距离小于5，则x的取值范围是________．
答案　{x|3 解析　设AB的中点为D，
则D，
由D到C的距离小于5，
可得<5，∴1<<11，∴3 7．不等式1≤|x－1|≤2的解集为________．
答案　[－1,0]∪[2,3]
解析　方法一　|x－1|表示数x的点与表示1的点的距离，这个距离大于等于1且小于等于2，如图所示：

由图可知所求解集为[－1,0]∪[2,3]．
方法二　∵1≤|x－1|≤2，
∴1≤x－1≤2或－2≤x－1≤－1，
解得2≤x≤3或－1≤x≤0，所求解集为[－1,0]∪[2,3]．
8．不等式组的解集是________，所有正整数解的和为________．
答案　　6
解析　解原不等式组，得不等式组的解集是，
所以不等式组的正整数解是1,2,3，
故它们的和为1＋2＋3＝6.
9．解下列不等式：
(1)|x－1|>|2x－3|；
(2)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x.
解　(1)|x－1|>|2x－3|可化为
|x－1|－|2x－3|>0，
当x<1时，－x＋1＋2x－3>0，
解得x>2，∴x∈∅；
当1≤x≤时，x－1＋2x－3>0，
解得x>，∴ 当x>时，x－1－2x＋3>0，
解得x<2，∴ 即原不等式的解集为.
(2)原不等式⇔
或或
⇔或或
⇔x<－2或x>0.
所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
10．已知数轴上，A(3)，B(x)，C(9)．
(1)若A，B关于点C对称，求x的值；
(2)若线段AB的中点到C的距离大于7，求x的取值范围．
解　(1)由数轴上中点坐标公式得9＝，
∴x＝15.
(2)AB的中点对应的数为，
由题意得>7，
即>7，|x－15|>14，
∴x<1或x>29，
即x的取值范围是(－∞，1)∪(29，＋∞)．

11．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　　)
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，3]
答案　A
解析　由条件p：|x＋1|>2，解得x>1或x<－3，故綈p：－3≤x≤1，
由条件q：x>a得綈q：x≤a，
∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴a≥1.
12．(多选)对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k能取到的下列整数可以是(　　)
A．－8 B．－5 C．－4 D．－3
答案　ABC
解析　|x＋1|，|x－2|的几何意义分别为数轴上的点x到－1和2对应点的距离，
|x＋1|－|x－2|的几何意义为两距离之差，
由图可得其最小值为－3，故k<－3.

13．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是________．
答案　(2,3]
解析　不等式组有3个整数解，
则其整数解为0,1,2，所以2 14．已知关于x的不等式组的解集是(5,22)，则a＝________，b＝________.
答案　3　5
解析　记原不等式组为
解不等式①，得x<.
解不等式②，得x>.
因为原不等式组的解集为(5,22)，
所以
解这个关于a，b的二元一次方程组，得

15．已知集合A＝{x||x－4|＋|x－1|<5}，B＝{x|a 答案　7
解析　|x－4|＋|x－1|<5等价于或或
解得0 ∴A＝{x|0 且A∩B＝(2，b)，
∴a＝2，b＝5，
∴a＋b＝7.
16．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，求出满足下列条件的m的取值范围．
(1)不等式有解；
(2)不等式的解集为R；
(3)不等式的解集为∅.
解　因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝PA－PB.
又(PA－PB)max＝1，
(PA－PB)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值范围为(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．