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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用教课ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用教课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了对均值不等式的理解，方法二分析法，知识梳理，a＝b，正方形，注意点，反思感悟，利用均值不等式求最值，∵x0，∴1－3x0等内容，欢迎下载使用。
1.掌握均值不等式及其推导过程.
2.理解均值不等式的几何意义.
3.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值.
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
问题1 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？
故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立.
问题3 上述不等式是在a2＋b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.
提示 方法一 (作差法)
方法三 (几何法)如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，
由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
问题4 探索均值不等式的几何意义.
(2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
下列命题中正确的是
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数.(2)“当且仅当”的含义：
(多选)下列结论不正确的是
命题角度1 直接求最值
∵x<0，∴－x>0.
在利用均值不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备.
(1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为A.16 B.25C.9 D.36
因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.
当x<0时，－x>0，
命题角度2 拼凑法求最值
因为x>2，所以x－2>0，
即x＝4时，等号成立.
因为x<2，所以2－x>0，
即x＝0时，等号成立.
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
∵x>－1，∴x＋1>0，
利用均值不等式证明不等式
∵a，b，c都是正数，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型.
已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)·(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
∵a，b，c都是正实数，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
1.知识清单： (1) (a，b都是正数). (2)利用均值不等式求最值. (3)利用均值不等式证明.2.方法归纳：拼凑法.3.常见误区：忽视a，b都是正数的条件，忽视等号成立的条件；多次使用 均值不等式忽略等号同时成立的条件.
1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是A.s≥t B.s>tC.s≤t D.s
2.不等式 ＋(x－2)≥6(x>2)中等号成立的条件是A.x＝3 B.x＝－3C.x＝5 D.x＝－5
即x＝5(x＝－1舍去).
3.(多选)下列不等式成立的是
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
由均值不等式可知C是其变形，故C正确.
即x＝1时，等号成立.故当x＝1时，y的最大值为1.
1.若a>b>0，则下列不等式成立的是
∵a>1，∴a－1>0，
A.3 B.－3 C.4 D.－4
∵x>1，∴x－1>0，
即(x－1)2＝1时，等号成立，∴当x＝2时，y的最小值为4.
5.(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是
由a2＋b2≥2ab知B，C正确，
∴x20，y>0，∴x
当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立.
9.已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
由均值不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，当且仅当a2＝b2＝c2时等号成立.
因为x<3，所以3－x>0.
即x＝1时，等号成立.
11.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有
设矩形的长和宽分别为x，y，
对于(1,4)，则x＋y＝2，xy＝1，
对于(6,8)，则x＋y＝4，xy＝6，
对于(7,12)，则x＋y＝6，xy＝7，
13.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝8，b＋c＝10，则此三角形面积的最大值为______.
当且仅当b＝c＝5时，等号成立.故该三角形面积的最大值为12.
14.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值 的大小关系为________.
用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b).
当且仅当a＝b时，等号成立.
15.(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，
也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为
由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2＝DE·OD，
(1)求a2＋b2的最小值；
所以a2＋b2的最小值为1.
1.掌握均值不等式及其推导过程.
2.理解均值不等式的几何意义.
3.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值.
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
问题1 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？
故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立.
问题3 上述不等式是在a2＋b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.
提示 方法一 (作差法)
方法三 (几何法)如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，
由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
问题4 探索均值不等式的几何意义.
(2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
下列命题中正确的是
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数.(2)“当且仅当”的含义：
(多选)下列结论不正确的是
命题角度1 直接求最值
∵x<0，∴－x>0.
在利用均值不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备.
(1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为A.16 B.25C.9 D.36
因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.
当x<0时，－x>0，
命题角度2 拼凑法求最值
因为x>2，所以x－2>0，
即x＝4时，等号成立.
因为x<2，所以2－x>0，
即x＝0时，等号成立.
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
∵x>－1，∴x＋1>0，
利用均值不等式证明不等式
∵a，b，c都是正数，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型.
已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)·(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
∵a，b，c都是正实数，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
1.知识清单： (1) (a，b都是正数). (2)利用均值不等式求最值. (3)利用均值不等式证明.2.方法归纳：拼凑法.3.常见误区：忽视a，b都是正数的条件，忽视等号成立的条件；多次使用 均值不等式忽略等号同时成立的条件.
1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是A.s≥t B.s>tC.s≤t D.s
2.不等式 ＋(x－2)≥6(x>2)中等号成立的条件是A.x＝3 B.x＝－3C.x＝5 D.x＝－5
即x＝5(x＝－1舍去).
3.(多选)下列不等式成立的是
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
由均值不等式可知C是其变形，故C正确.
即x＝1时，等号成立.故当x＝1时，y的最大值为1.
1.若a>b>0，则下列不等式成立的是
∵a>1，∴a－1>0，
A.3 B.－3 C.4 D.－4
∵x>1，∴x－1>0，
即(x－1)2＝1时，等号成立，∴当x＝2时，y的最小值为4.
5.(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是
由a2＋b2≥2ab知B，C正确，
∴x2
当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立.
9.已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
由均值不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，当且仅当a2＝b2＝c2时等号成立.
因为x<3，所以3－x>0.
即x＝1时，等号成立.
11.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有
设矩形的长和宽分别为x，y，
对于(1,4)，则x＋y＝2，xy＝1，
对于(6,8)，则x＋y＝4，xy＝6，
对于(7,12)，则x＋y＝6，xy＝7，
13.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝8，b＋c＝10，则此三角形面积的最大值为______.
当且仅当b＝c＝5时，等号成立.故该三角形面积的最大值为12.
14.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值 的大小关系为________.
用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b).
当且仅当a＝b时，等号成立.
15.(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，
也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为
由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2＝DE·OD，
(1)求a2＋b2的最小值；
所以a2＋b2的最小值为1.
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