人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案，共11页。学案主要包含了一元二次方程根的分布的应用等内容，欢迎下载使用。

提升课　一元二次方程的根的分布
二次函数根的分布是二次函数中的重要内容．这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用．下面我们将主要结合二次函数图像的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用．
一、一元二次方程根的基本分布——零分布
例1　若一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0有两个正根，求m的取值范围．
解　∵一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0有两个正根，
∴
即得0 ∴m的取值范围为(0,1)．
反思感悟　所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧，这种分布一般利用判别式和根与系数的关系即可解决．
跟踪训练1　(1)若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有一个正根和一个负根，则实数k的取值范围为________．
答案　(0,3)
解析　依题意知
解得0 (2)若一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个负根，则实数m的取值范围为________．
答案　[9，＋∞)
解析　由题意知
解得m≥9.
二、一元二次方程根的非零分布——k分布
例2　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解　令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出图像如图所示．

由图像得
即
所以－ 延伸探究　若将问题改为“若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围”．
解　令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，根据函数图像与x轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出图像如图所示．

由图像得
即
所以－ 即m的取值范围是.
反思感悟　设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根分别为x1，x2，且x1≤x2，一元二次方程根的k分布，即x1，x2相对于常数k的位置，解此类问题一般从四个方面考虑：①抛物线的开口方向；②一元二次方程根的判别式；③对应区间端点函数值的符号；④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．此类问题有时也可转化为根与系数的关系来解决．另外，零分布可以理解成k分布的特殊形式．
跟踪训练2　方程x2－2ax＋4＝0.
(1)两根均大于1，求实数a的取值范围；
(2)两根一者大于1，一者小于1，求实数a的取值范围；
(3)两根一者在(0,1)内，一者在(6,8)内，求实数a的取值范围．
解　令f(x)＝x2－2ax＋4，根据函数图像(图略)，可得
(1)由，
得2≤a<.
(2)由f(1)<0，得a>.
(3)由得 三、一元二次方程根的分布的应用
例3　已知抛物线C：y＝－x2＋mx－1，点A(0,3)，B(3,0)，试确定m的取值范围，使抛物线C恒与线段AB有两个交点．
解　设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵A(0,3)，B(3,0)，
∴解得
∴线段AB的方程为y＝－x＋3(0≤x≤3)，
∵二次函数图像和线段AB有两个不同的交点，
∴方程组有两个不同的实数根．消元得
x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，
设f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，
则
解得3 所以m的取值范围为.
反思感悟　一元二次方程根的分布的应用问题，大多是一元二次方程根的分布与其他知识结合问题，或能转化为一元二次方程根的分布问题，需注意恰当的转化时机．
跟踪训练3　已知A＝{x∈R|x2＋2x＋p＝0}且A∩{x∈R|x>0}＝∅，求实数p的取值范围．
解　∵A∩{x∈R|x>0}＝∅，
∴若A＝∅，则Δ＝4－4p<0，解得p>1；
若A≠∅，则A＝{x|x≤0}，
即方程x2＋2x＋p＝0的根都小于或等于0.
设两根分别为x1，x2，则
∴0≤p≤1.
综上所述，p≥0.
所以实数p的取值范围为[0，＋∞)．

1．知识清单：
(1)一元二次方程根的分布．
(2)一元二次方程根的分布的应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：对根的分布各种情况考虑不全．

1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是(　　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
答案　B
解析　∵ax2－2x＋1＝0中，a<0，
∴Δ＝(－2)2－4a＝4－4a>0，
∴有两个不相等的实数根．
2．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，则m的值应为(　　)
A．2 B．－2 C．2或－2 D．1
答案　B
解析　∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一根为0，
∴m2－4＝0且m－2≠0，解得m＝－2.
3．若关于x的方程x2－x＋m＝0的两个不等的实根都在区间(0,2)内，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为关于x的方程x2－x＋m＝0的两个不等的实根都在区间(0,2)内，且对称轴为x＝，
所以解得0 4．关于x的方程3x2－5x＋a＝0的两根分别满足－2 答案　(－12,0)
解析　设f(x)＝3x2－5x＋a，由题意，得⇒－12 5．一元二次方程x2－4x＋5－m＝0有两个大于1的实数根的充要条件是________．
答案　1≤m<2
解析　x2－4x＋5－m＝0有两个大于1的实数根⇔
解得1≤m<2.


1．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是(　　)
A．－ C．－1 答案　C
解析　由题意可得Δ＝a2－4(a2－1)>0，且两根之积a2－1<0，解得－1 2．若关于x的一元二次方程x2＋(a2＋1)x＋a－2＝0有一个根比1大，另一根比1小，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0) B．(－2,0)
C．(－3,1) D．(0,2)
答案　A
解析　令f(x)＝x2＋(a2＋1)x＋a－2，
由题意，可得f(1)<0，
即a2＋a<0，解得－1 3．若方程5x2＋(a－11)x＋a－2＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(2，＋∞)
C. D．(2,4)
答案　D
解析　设函数f(x)＝5x2＋(a－11)x＋a－2，
∵方程5x2＋(a－11)x＋a－2＝0的一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，
∴∴
∴2 即实数a的取值范围是(2,4)．
4．“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是(　　)
A．a≤－2 B．a<－2
C．a>2 D．a<－2或a>2
答案　B
解析　由题意，得⇒a<－2.
5．(多选)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件是(　　)
A．n＝4 B．n＝－5
C．n＝－1 D．n＝－12
答案　BCD
解析　设f(x)＝x2＋4x＋n，则函数的图像是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根，则满足f(0)<0，即n<0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件可以为B，C，D.
6．已知方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两个根都是正数，则实数m的取值范围为________．
答案　(0,1]
解析　设方程的两根分别为x1，x2，
由题意可得
解得0 7．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是________．
答案　[－1,1]
解析　(1)当m＝0时，由f(x)＝x－a＝0，得x＝a，此时a∈R.
(2)当m≠0时，mx2＋x－m－a＝0恒有解，
Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1≥0恒成立，
则Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，
即－1≤a≤1.
所以对m∈R，函数f(x)恒有零点时，有a∈[－1,1].
8．设方程x2－2ax－1＝0的两根分别为x1，x2，且x1<－2,0 答案　
解析　设f(x)＝x2－2ax－1，

∵关于x的方程x2－2ax－1＝0的两根分别为x1，x2，
且x1<－2,0 ∴
即
解得a∈.
9．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．
解　(1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4，即m的取值范围为(－∞，4]．
(2)根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的取值范围为[3,4]．
10．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2m－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
解　(1)依题意，得Δ＝16－4(2m－1)>0，
∴m<.
即m的取值范围为.
(2)∵m为正整数，
∴m＝1或2.
当m＝1时，方程x2－4x＋1＝0的根为x＝2±，不是整数；
当m＝2时，方程x2－4x＋3＝0的根为x1＝1，x2＝3，都是整数．综上所述，m＝2.

11．(多选)关于x的一元二次不等式x2－2x－a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　BC
解析　设f(x)＝x2－2x－a，其图像为开口向上，对称轴是x＝1的抛物线，如图所示．

若关于x的一元二次不等式x2－2x－a≤0的解集中有且仅有5个整数，因为对称轴为x＝1，则即解得3≤a<8，故选BC.
12．已知集合A＝{x|x2－2tx＋t＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－6，－2) B．[－6，－2]
C．(－∞，－2] D．(－∞，－6]
答案　C
解析　由题意，得方程x2－2tx＋t＋6＝0有负数根，若方程有根，则Δ＝4t2－4(t＋6)≥0，解得t∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
当对称轴x＝t≤0时，小根一定为负根，符合题意，故t∈(－∞，－2]成立；
当对称轴x＝t>0时，令f(x)＝x2－2tx＋t＋6，需f(0)<0，即t＋6<0，得t<－6，此时t∈∅.
综上，实数t的取值范围是(－∞，－2]．
13．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　令f(x)＝x2＋ax－2，则f(0)＝－2<0，
∴要使f(x)在[1,5]上与x轴有交点，则需要
即解得－≤a≤1.
14．关于x的方程(1－a)x2＋2ax＋2－3a＝0至少有一个正根，则a的取值范围是________．
答案　
解析　①当二次项的系数1－a＝0，即a＝1时，方程即2x－1＝0，解得x＝，故满足条件．
②当二次项的系数1－a≠0，即a≠1时，由判别式Δ＝4a2－4(1－a)(2－3a)＝－4(a－2)(2a－1)≥0，解得≤a<1或1 若两个根一个为正数另一个是非负数，则两根之和>0且两根之积≥0，解得a<0或a>1.
综合可得，1 若方程有一正、一负根，则两根之积<0，解得 综合可得， 综合①②可得，a的取值范围为.

15．已知函数f(x)＝若方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有6个相异实根，则实数b的取值范围是________．
答案　
解析　令t＝f(x)，则原方程等价为t2＋bt＋＝0，
作出函数f(x)的图像如图1，

图1
由图像可知当0 令g(t)＝t2＋bt＋.则由根的分布(如图2)，

图2
可得即
解得－ 则实数b的取值范围是.
16．已知函数f(x)＝ax2＋3x＋b(a<0)，设关于x的方程f(x)＝0有两个实数根分别为α，β.
(1)若|α－β|＝1，求a，b的关系式；
(2)若a，b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；
(3)在(2)的条件下，若方程f(x)＝(2m＋1)x＋2m＋4至少有一个正根，求实数m的取值范围．
解　(1)由题意可得α，β是ax2＋3x＋b＝0的两个根，
∴
∵|α－β|＝1，
∴|α－β|2＝|α＋β|2－4αβ＝1，
即a2＋4ab＝9(a<0)．
(2)由(1)知a(a＋4b)＝9且a，b均为负整数，故或(舍)
或(舍)，
解得a＝－1，b＝－2，∴f(x)＝－x2＋3x－2.
(3)方程f(x)＝(2m＋1)x＋2m＋4，即x2＋(2m－2)x＋2m＋6＝0，方程至少有一个正根，有三种可能：
①有两个正根，此时可得
即
∴－3 ②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<－3；
③有一个正根，另一根为零，此时可得即∴m＝－3，
综合上述三种情况得实数m的取值范围为(－∞，－1]．