新教材人教B版步步高学习笔记【同步学案】第二章 章末检测试卷(二)

章末检测试卷(二)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．若a>b，x>y，下列不等式正确的是(　　)

A．a＋x<b＋y   B．ax>by

C．|a|x≥|a|y   D．(a－b)x<(a－b)y

答案　C

解析　因为当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.

2．给定下列命题：

①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；

③a>b⇒<1；④a>b⇒<.

其中正确的命题个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　A

解析　对于①，当a＝1，b＝－2时，a>b，但a2<b2，故①错误；

对于②，当a<b<0时，a2>b2也成立，故②错误；

对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；

对于④，当a>0，b<0时，>，故④错误．

3．已知≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与y2＝在同一点取得相同的最小值，那么当≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c的最大值是(　　)

A.  B．4  C．8  D.

答案　B

解析　y2＝＝x＋1＋≥1＋2 ＝3.当且仅当x＝1时，等号成立．

y2取得最小值3，所以y1＝(x－1)2＋3.

所以当x＝2时，y1的最大值是4.

4．若x2－x＋1＝0，则x4＋等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵x≠0，

∴x＋＝，x2＋＝2－2＝，

∴x4＋＝2－2＝.

5．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为(　　)

A．1  B．－1  C．2  D．3

答案　B

解析　把代入原方程组得

解得所以a－b＝－1.

6．不等式1＋x>的解集为(　　)

A．{x|x>0}   B．{x|x≥1}

C．{x|x>1}   D．{x|x>1或x＝0}

答案　C

解析　不等式可化为1＋x－>0，

通分得>0，即>0，

因为x2≥0，所以解得x>1.

7．不等式2x2－axy＋y2≥0，对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≤2   B．a≥2

C．a≤   D．a≤

答案　A

解析　由题意知，a≤，

而≥＝2(当且仅当2x2＝y2时取“＝”)，

对于任意x∈[1,2]，y∈[1,3]，使2x2＝y2，

则＝，又≤≤1,1≤y≤3，

∴≤≤3，∈，

故a≤2.

8．若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．{m|m<3}   B.

C．{m|m>2}   D．{m|－2<m<3}

答案　B

解析　依题意，对任意的x≥4，

有y＝(mx＋1)·(m2x－1)<0恒成立，

结合图像(图略)分析可知

解得m<－，

即实数m的取值范围是.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是(　　)

A．ac(a－c)>0   B．c(b－a)<0

C．cb2<ab2   D．ab>ac

答案　BCD

解析　∵c<a<b，且ac<0，

∴c<0<a<b.

∴ab>0>ac，cb2<ab2，ac(a－c)<0，c(b－a)<0.

10．与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)

A．x2＋x－2>0   B．－x2＋x－2>0

C．－x2＋x－2<0   D．2x2－3x＋2>0

答案　CD

解析　因为Δ＝(－1)2－4×2＝－7<0，

所以不等式x2－x＋2>0的解集为R，

逐一验证可知，选项C，D中的不等式解集为R.

11．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围可以是(　　)

A．[－3，－2)   B．(－3，－2)∪(4,5)

C．(4,5]    D．[－3，－2)∪(4,5]

答案　ACD

解析　原不等式可化为(x－1)(x－a)<0，

当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2,3,4，

则4<a≤5，

当a<1时，得a<x<1，此时解集中的整数为－2，－1,0，

则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4,5]．

12．已知a>0，b>0，且2a－b＝1，若不等式－≤m恒成立，则m能够取到的整数可以是(　　)

A．－2  B．0  C．2  D．3

答案　CD

解析　∵a>0，b>0，且2a－b＝1，

∴－＝(2a－b)＝4－－＋1

＝5－2≤5－2×2＝1，

当且仅当a＝b＝1时取等号．

又－≤m，∴m≥1，故选CD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知方程组则x＋y＝________.

答案　－

解析　因为

由②得y＝3x＋代入①得

x＋6x＋1＋6＝0，得x＝－1，y＝－，

所以x＋y＝－.

14．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是________．

答案　(－∞，4)

解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，

∴－4<2，不等式恒成立，

∴x≤1.

②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，

∴x<4，

∴1<x<4.

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．

综上，原不等式的解集为(－∞，4)．

15．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．

答案　(－5，－4]

解析　Δ＝(m－2)2－4(5－m)≥0，

即m≤－4或m≥4，

设两根分别为x1，x2，则

由题意得

即

∴

∴－5<m<－2.

又∵m≤－4或m≥4，

∴－5<m≤－4.

16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50<x≤80时，每天售出的件数P＝，则销售价格每件应定为________元时取得最大利润，最大利润是__________元．

答案　60　2 500

解析　设每天获得利润为y元，则

y＝(x－50)·P＝，

设x－50＝t，则0<t≤30，

所以y＝＝

＝≤＝2 500，

当且仅当t＝，即t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知a>0，试比较a与的大小．

解　a－＝＝.

因为a>0，所以a＋1>0，

所以当a>1时，a－1>0，>0，有a>；

当a＝1时，a－1＝0，＝0，有a＝；

当0<a<1时，a－1<0，<0，有a<.

综上，当a>1时，a>；

当a＝1时，a＝；

当0<a<1时，a<.

18．(12分)设集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|－x2－2x＋3>0}．

(1)求集合A∩B；

(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集为B，求a，b的值．

解　(1)A＝{x|4－x2>0}＝{x|－2<x<2}，

B＝{x|－x2－2x＋3>0}＝{x|－3<x<1}，

故A∩B＝{x|－2<x<1}．

(2)因为2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3<x<1}，

所以－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两个根．

所以有解得

19.(12分)甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得乙看错了方程②中的y的系数，解得若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解集．

解　设方程组为

把代入②得4×－b×＝－2，③

把代入①得a＋5×＝13，④

由③④解得a＝8，b＝9，

∴原方程组为

解得

即解集为.

20．(12分)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.

证明　∵a＋b＋c＝1，

∴

＝

＝

＝＋＋＋＋＋＋2

＝＋＋＋2.

∵a，b，c∈(0，＋∞)，

∴＋≥2，＋≥2，＋≥2，

∴＋＋≥6，

∴≥8，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

21.(12分)某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝3 m，AD＝2 m.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？

(2)当DN的长是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

解　(1)设DN的长为x(x>0)m，则AN的长为(x＋2)m.

∵＝，

∴AM＝，

∴S矩形AMPN＝AN·AM＝.

由S矩形AMPN>32，得>32.

又x>0，得3x2－20x＋12>0，

解得0<x<或x>6，

即DN的长的取值范围是∪(6，＋∞)．

(2)由S矩形AMPN＝＝3x＋＋12≥2＋12＝24，

当且仅当3x＝，即x＝2时等号成立．

∴当DN的长是2 m时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值，最小值为24 m2.

22．(12分)解关于x的不等式[(m＋3)x－1](x＋1)>0，其中m∈R.

解　①当m＝－3时，原不等式为－(x＋1)>0，

∴不等式的解为x<－1.

②当m>－3时，原不等式可化为(x＋1)>0，

∵>0>－1，

∴不等式的解为x<－1或x>.

③当m<－3时，原不等式可化为(x＋1)<0，

当＝－1，即m＝－4时，原不等式无解；

当－4<m<－3时，<－1，

原不等式的解为<x<－1；

当m<－4时，>－1，

原不等式的解为－1<x<.

综上，当m<－4时，不等式的解集为；

当m＝－4时，不等式的解集为∅；

当－4<m<－3时，不等式的解集为；

当m＝－3时，不等式的解集为{x|x<－1}；

当m>－3时，不等式的解集为.