高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法学案，共13页。学案主要包含了作图，识图，用图等内容，欢迎下载使用。

一、作图
例1 试画出下列函数的图像．
(1)y＝eq \f(x3,|x|)；(2)y＝eq \f(x＋2,x－1)；(3)y＝|x2－1|.
解 (1)函数y＝eq \f(x3,|x|)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，当x>0时，函数y＝x2，当x<0时，函数y＝－x2，作出图象，如图①.
(2)原式变形为y＝1＋eq \f(3,x－1)，先作出y＝eq \f(3,x)的大致图像(图略)，再将其图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得到原式图像．如图②所示．
(3)先作出y＝x2－1的大致图像，保留它在x轴及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分沿x轴对称翻折到x轴上方，所得的图像就是函数y＝|x2－1|的图像，如图所示．
反思感悟 (1)描点法作图：一般应先确定函数的定义域，化简函数的解析式，采用列表、描点、连线的方法，画出函数的图像．
(2)图像变换作图
跟踪训练1 (1)为了得到函数y＝2x－2的图像，可以把函数y＝2x的图像上所有的点( )
A．向右平移2个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移2个单位
D．向左平移1个单位
答案 B
解析 因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图像上所有的点向右平移1个单位即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图像，故B正确．
(2)画出y＝x2－2x(x>1或x<－1)的图像．
解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后的剩余曲线，如图．
二、识图
例2 (1)在同一坐标系中，函数f(x)＝ax＋eq \f(1,a)与g(x)＝ax2的图像可能是( )
答案 A
解析 因为当a>0时，f(x)＝ax＋eq \f(1,a)随x的增大而增大，与y轴的交点在正半轴上，g(x)＝ax2的开口向上；当a<0时，f(x)＝ax＋eq \f(1,a)随x的增大而减小，与y轴的交点在负半轴上，g(x)＝ax2的开口向下，所以只有A中的图像符合．
(2)①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
下列所给的4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为( )
A．(1)(2)(4) B．(4)(2)(3)
C．(4)(1)(3) D．(4)(1)(2)
答案 D
解析 离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图像(4)；
回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像(1)；
最后加速向学校，则图像上升的越来越快，故应选图像(2)．
反思感悟 对于图像识别问题，一般要抓住函数的特征，定性分析，定量计算，比如根据定义域判断函数图像的左右位置，根据函数值域判断函数图像的上下位置，利用特征点、特征值的计算分析解决问题，以及利用函数性质判断函数图像的特征等等．
跟踪训练2 (1)函数y＝eq \f(ax,x2＋1)(a>0)的图像大致为( )
答案 A
解析 由a>0知，当x>0时，y>0，当x<0时，y<0，排除BCD.
(2)图①是某商户出售某种产品的收支差额y(销售额－投入额)与数量x的函数关系图像，销售初期商户为亏损状态，为了尽快扭亏为盈，实行了某种措施，图②为实行措施后的图像，则关于两个图像的说法正确的是( )
图① 图②
A．实行的措施可能是减少广告费用
B．实行的措施可能是提高商品售价
C．在B点处亏损最多
D．A点表明不出售商品则不亏损
答案 B
解析 起点不变，所以投入的费用不变．扭亏为盈变快了，所以可能是提高了商品售价，故选B.
三、用图
例3 (1)已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________________，值域为________．
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图像上所有点的横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像如图，
f(x)的图像与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1反思感悟 数形结合思想的应用
(1)函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图像可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(2)利用图形分析数学问题，借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律．
跟踪训练3 若函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
答案 [－5,5] [－2,3]
1．知识清单：
(1)利用描点法和图形变换法作图．
(2)函数图像的识别．
(3)函数图像的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：图像左右平移出错．
1．列车从A地出发直达500 km外的B地，途中要经过距A地200 km的C地，假设列车匀速前进5 h后从A地到达B地，则列车与C地之间的距离s关于时间t的函数图像为( )
答案 A
2．函数y＝eq \f(x,1＋x)的大致图像是( )
答案 A
解析 方法一 y＝eq \f(x,1＋x)的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B.
方法二 y＝eq \f(x,1＋x)＝1－eq \f(1,x＋1)，由函数的平移性质可知A正确．
3．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D．这天21时的温度大约是30 ℃
答案 C
4．如图所示，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(3)＝________，f(f(4))＝________.(用数字作答)
答案 1 0
解析 由题图可知f(3)＝1，f(4)＝2，则f(f(4))＝f(2)＝0.
5．函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)的值域为________．
答案 [－1,3]
解析 f(x)图像的简图如图所示，观察f(x)的图像可知，f(x)图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，即f(x)的值域是[－1,3]．
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
答案 B
解析 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C.
2．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
答案 D
解析 A图，a<0，c<0，－eq \f(b,2a)<0，∴b<0，∴abc<0，不合题意；
B图，a<0，c>0，－eq \f(b,2a)>0，∴b>0，∴abc<0，不合题意；
C图，a>0，c<0，－eq \f(b,2a)<0，∴b>0，∴abc<0，不合题意；
D图，a>0，c<0，－eq \f(b,2a)>0，∴b<0，此时abc>0，满足题意．
3．函数f(x)＝x2－2|x|的大致图像是( )
答案 C
解析 由y＝x2－2x变换可得f(x)＝x2－2|x|的图像，应选C.
4．函数y＝－eq \f(1,x＋1)的大致图像是( )
答案 B
解析 函数y＝－eq \f(1,x＋1)的图像是由函数y＝－eq \f(1,x)的图像向左平移1个单位得到的，而函数y＝－eq \f(1,x)的图像在第二、第四象限，结合所给的四个图像只有B符合．
5．(多选)水滴进玻璃容器，如图所示(设单位时间内进水量相同)，观察水的高度随时间的变化，下列图像与容器匹配的有( )
A．a－(3) B．b－(2)
C．c－(1) D．d－(4)
答案 AB
解析 图a和图b的水面上升速度是匀速的，且a上升得快，因此a－(3)，b－(2)．图c的水面开始是缓慢上升，后来上升得快，而图d的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此c－(4)，d－(1)．
6．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y km与时间x min的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲同学从家到公园的时间是30 min
C．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq \f(1,15)x
答案 BD
解析 在A中，甲同学在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图像知，B正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq \f(1,15)，D正确．
7．将函数y＝2x－1的图像向右平移两个单位后，再向下平移三个单位得到的图像对应的函数解析式为________ .
答案 y＝2x－8
解析 将函数y＝2x－1的图像向右平移两个单位，则函数变为y＝2(x－2)－1＝2x－5，再向下平移三个单位得到的图像对应的函数解析式应为y＝2x－8.
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．则以相同速度行驶相同路程，三辆车中，消耗汽油最少的是________车．
答案 甲
解析 以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油．
9．画出函数y＝eq \f(2x,x＋1)的图像，并写出其对称中心．
解 因为y＝eq \f(2x,x＋1)＝2－eq \f(2,x＋1)，所以可以先画出函数y＝－eq \f(2,x)的大致图像(如图中虚线所示)，把所得图像向左平移1个单位，得到y＝－eq \f(2,x＋1)的图像(图略)，再把所得图像向上平移2个单位就得到函数y＝eq \f(2x,x＋1)的图像，如图中实线所示．
由函数图像知，其对称中心为(－1,2)．
10.已知函数p＝f(m)的图像如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)当p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
解 (1)观察函数p＝f(m)的图像，可以看出图像上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由题图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由题图知值域为[－2,2]．
(3)由题图知，当p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
11.向一杯子中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图像如图所示，则杯子的形状可能是( )
答案 A
解析 函数图像的走势是稍陡、陡、平，水面高度的变化与所给容器的粗细有关，容器应为下粗上细且上下两部分均为柱体，水面上升速度是匀速的，故选A.
12．已知图甲是函数f(x)的图像，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图像对应的函数可能是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)
答案 C
解析 设图乙对应的函数为g(x)，由图像可知，当x<0时，g(x)＝f(x)；
当x≥0时，g(x)＝f(－x)，
∴g(x)＝f(－|x|)．
13．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图像的是( )
答案 A
解析 水壶两端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加得快，中间增加得慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A符合．
14．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))
解析 如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a的图像．观图可知，a的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,\f(4a－1,4)<1，))解得115．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．
则下列说法中，正确的有( )
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
答案 BC
解析 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；
由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．
16．方程|x2＋2x－3|＝a(x－2)有四个实数根，求实数a的取值范围．
解 画出y＝|x2＋2x－3|的图像，如图，直线y＝a(x－2)过定点(2, 0)，由图像可知当两曲线有四个公共点时，当且仅当直线与抛物线y＝－(x2＋2x－3)(－3由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x2＋2x－3，,y＝ax－2，))得x2＋(a＋2)x－2a－3 ＝0，直线与抛物线相交时，(a＋2)2＋4(2a＋3)>0，解得a<－6－2eq \r(5)或a>－6＋2eq \r(5)，根据图像有－6＋2eq \r(5)y＝f(x)
y＝f(x＋a)
a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位
y＝f(x)＋a
a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位
y＝f(－x)
y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称
y＝－f(x)
y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于x轴对称
y＝－f(－x)
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称
y＝f(|x|)
保留y＝f(x)图像在y轴右侧部分，将y＝f(x)图像在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧
y＝|f(x)|
将y＝f(x)图像在x轴下侧部分沿x轴翻折到x轴上侧，并保留x轴上侧部分