数学八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试课时练习

这是一份数学八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试课时练习，共8页。

一、选择题（共7小题）
1. 若 x，y 满足 ∣x-3∣+y-62=0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长为
A. 12B. 14C. 15D. 12 或 15

2. 等腰三角形的周长是 29，其中一边是 7，则等腰三角形的底边长是
A. 15B. 7C. 15 或 7D. 11

3. 如图所示，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为 2，宽为 1，A，B 两点在网格的格点上，若点 C 也在网格的格点上，且 △ABC 是等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是
A. 2B. 3C. 4D. 5

4. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC，AE=BE，∠BAE=40∘，且 AE=AF，则 ∠FEC 等于
A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 25∘

5. 如图所示，直线 a，b 相交于点 O，∠1=50∘，点 A 在直线 a 上，直线 b 上存在点 B，使以点 O，A，B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点 B 有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

6. 如图所示，小正方形的边长为 1，若以点 A 为顶点的等腰直角三角形的面积为 52，且三角形的顶点都在格点上，这样的三角形有
A. 4 个B. 8 个C. 12 个D. 16 个

7. P 是等边三角形 ABC 所在平面内一点，若点 P 与 △ABC 的三个顶点所组成的 △PAB，△PBC，△PAC 都是等腰三角形，则这样的点 P 的个数为
A. 10B. 7C. 4D. 1

二、填空题（共6小题）
8. 在等腰三角形 ABC 中，∠A 的相邻外角是 70∘，则 ∠B 为 ．

9. 如图所示，BC=BD，AD=AE，DE=CE，∠A=36∘，则 ∠B 为 ．

10. 如图所示，边长为 6 的正方形 ABCD 内部有一点 P，BP=4，∠PBC=60∘，Q 为正方形边上一动点，且 △PBQ 是等腰三角形，则符合条件的点 Q 有 个．

11. 从等腰三角形的一个角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为 ．

12. 如图所示为由 9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是 a，则六边形的周长是 ．

13. 在等腰三角形 ABC 中，CA=CB，AD 为高线，∠CAD=40∘，则 ∠ACB 的大小为 ．

三、解答题（共6小题）
14. 如图所示，线段 OD 的一个端点 O 在直线 a 上，以 OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a 上，这样的等腰三角形能画多少个?用直尺与圆规画出相应的等腰三角形．

15. 如图所示，在 △ABC 中，已知 AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求 ∠A 的度数．

16. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交直线 BC 于点 M，∠A=40∘．
（1）求 ∠M 的度数．
（2）若将 ∠A 的度数改为 80∘，其余条件不变，再求 ∠M 的大小．
（3）你发现了怎样的规律?试证明．
（4）将（1）题中的 ∠A 改为钝角，（3）题中的规律仍成立吗?若不成立，应怎样修改?

17. 如图所示，在 △ABC 中，AD=AC，BE=BC．
（1）若 ∠ACB=96∘，求 ∠DCE 的度数．
（2）求 ∠A，∠B 与 ∠DCE 之间的数量关系．

18. （1）已知在 △ABC 中，∠A=90∘，∠B=67.5∘，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知在 △ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探究 ∠ABC 与 ∠C 之间的关系．

19. 如图，在等腰 △ABC 中，CH 是底边上的高线，点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一点，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 BP 并延长交 AC 于点 F．
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段 AE，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G），记 △ABC 和 △ABG 的面积分别为 S△ABC 和 S△ABG，如果存在点 P，能使得 S△ABC=S△ABG，求 ∠ACB 的取值范围．
答案
1. C
2. B
3. C
4. C
5. D
6. D
7. A
8. 35∘
9. 36∘
10. 5
11. 36∘ 或 90∘ 或 108∘ 或 180∘7
12. 30a
13. 50∘ 或 130∘
14. 如图所示．
△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD 就是所求的三角形．
15. 设 ∠EBD=α .
∵ AD=DE=BE，BD=BC，AC=AB，
∴ ∠A=∠AED，
∠EBD=∠EDB=α，
∠C=∠BDC，
∠ABC=∠C=3α．
∵ ∠AED=∠EBD+∠EDB=2∠EBD，
∴ ∠A=2α．
∵ ∠BDC=∠A+∠EBD=3α，
∴ ∠ABC=∠C=3α．
∵ ∠A+∠C+∠ABC=180∘，
∴ 2α+3α+3α=180∘，
∴ α=22.5∘．
∴ ∠A=2α=45∘．
16. （1） ∵ ∠B=12180∘-∠A=70∘，
∴ ∠M=20∘．
（2） 同理得 ∠M=40∘．
（3） 规律是：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边所在直线相交所成的锐角等于顶角的一半．
证明：设 ∠A=α，则 ∠B=12180∘-α，
∴ ∠M=90∘-12180∘-α=12α．
（4） 成立．
17. （1） 设 ∠1=∠BCE=x∘，∠2=∠ACD=y∘．
因为 BE=BC，AD=AC，
所以 ∠A=180∘-2∠2=180∘-2y∘，∠B=180∘-2∠1=180∘-2x∘．
因为 ∠ACB+∠A+∠B=180∘，
所以 96∘+180∘-2y∘+180∘-2x∘=180∘．
所以 x∘+y∘=138∘．
所以 ∠DCE=180∘-∠1+∠2=180∘-x∘+y∘=42∘．
（2） 由（1）可知 ∠DCE=180∘-∠1+∠2．
因为 ∠A=180∘-2∠2，∠B=180∘-2∠1，
所以 ∠1=90∘-12∠B，∠2=90∘-12∠A．
所以 ∠DCE=180∘-90∘-12∠B+90∘-12∠A=12∠A+∠B．
18. （1） 如图所示（共有 2 种不同的分割法）．
（2） 设 ∠C=x，∠ABC=y，过点 B 的直线交边 AC 于点 D．
在 △DBC 中，
①若 ∠C 是顶角，如图3所示，
则 ∠CBD=∠CDB=90∘-12x，∠A=180∘-x-y．
而 ∠ADB>90∘，此时只能有 ∠A=∠ABD，即 180∘-x-y=y-90∘-12x，
∴3x+4y=540∘，即 ∠ABC=135∘-34∠C．
②若 ∠C 是底角，有两种情况：
第一种情况，如图4所示，
当 DB=DC 时，
则 ∠DBC=x，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．
由 AB=AD，得 2x=y-x，此时 y=3x，即 ∠ABC=3∠C．
由 AB=BD，得 180∘-x-y=2x，
此时 3x+y=180∘，即 ∠ABC=180-3∠C．
由 AD=BD，得 180∘-x-y=y-x，
此时 y=90∘，即 ∠ABC=90∘，∠C 为小于 45∘ 的任意锐角．
第二种情况，如图5所示，
当 BD=BC 时，∠BDC=x，∠ADB=180∘-x>90∘，此时只能有 AD=BD．
故 ∠A=∠ABD=12∠CAC，所以结论不成立；
②当 ∠ACB 为锐角时，如图，
∠CAH=90∘-12∠ACB，
∵AE=AC，
∴∠ACB=∠CEA，
∴∠CAE=180∘-2∠ACB，
而 ∠CAE