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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角第1课时学案设计
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角第1课时学案设计，共17页。学案主要包含了二面角的相关概念，几何法求二面角，二面角与面积之间的联系等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.2.掌握求二面角的基本方法步骤．
导语
同学们，大家可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你们知道十二星座的由来吗？
我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面夹角(二面角的平面角)约为23°26′，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来，今天我们研究的问题便是二面角的平面角问题．
一、二面角的相关概念
问题1 二面角与两个平面所成的角有何区别？
提示 ①概念的不同．二面角：是由一条直线出发的两个半平面组成的图形；两个平面的夹角：两个平面相交时，形成四个二面角，其中不小于0°且不大于90°的角称为两个平面的夹角．②范围的不同．二面角θ的范围：0≤θ≤π，两个平面的夹角θ的范围：0≤θ≤eq \f(π,2).
知识梳理
1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.
2．二面角的平面角
在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．
3．二面角的范围：[0，π]．
4．两个平面所成的角
两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小．
例1 已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则( )
A．∠ADE是二面角A－PC－B的平面角
B．∠AED是二面角A－PB－C的平面角
C．∠DAE是二面角B－PA－C的平面角
D．∠ACB是二面角A－PC－B的平面角
答案 B
解析 因为PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
又AD⊂平面PAC，所以AD⊥BC.
又AD⊥PC，BC∩PC＝C，
所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PB.
又AE⊥PB，AD∩AE＝A，
所以PB⊥平面ADE，所以DE⊥PB，
所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．
反思感悟 构造二面角的平面角，一般在直线上取一点O，然后分别在两个半平面内作直线OA，OB均与该直线垂直，则∠AOB即为二面角的平面角．
跟踪训练1 如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
答案 C
解析 当两个平面的开口方向相同时，这两个二面角大小相等，当两个平面的开口方向不同时，这两个二面角大小互补．
二、几何法求二面角
例2 已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝eq \f(\r(3),2)a，则二面角A－BC－D的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝eq \f(\r(3),2)a，
∴∠AED是二面角A－BC－D的平面角．
又∵AD＝eq \f(\r(3),2)a，∴∠AED＝60°，
即二面角A－BC－D的大小为60°.
反思感悟 用定义求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角．
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
(3)解三角形求角．
(4)下结论．
跟踪训练2 若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq \r(6)，则二面角P－BC－A的大小为________．
答案 90°
解析 取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，
则∠POA就是二面角P－BC－A的平面角．
又PO＝AO＝eq \r(3)，PA＝eq \r(6)，
所以∠POA＝90°.
三、二面角与面积之间的联系
问题2 如图，△ABC在平面α上的射影为△A′BC，二面角A－BC－A′的大小为θ，则
cs θ，S△ABC，S△A′BC之间有什么样的关系？
提示 作AD⊥BC，则A′D为AD在平面α上的射影，由三垂线定理的逆定理可知A′D⊥BC，则∠ADA′＝θ，故有cs θ＝eq \f(A′D,AD)＝eq \f(\f(1,2)BC×A′D,\f(1,2)BC×AD)＝eq \f(S△A′BC,S△ABC).
知识梳理
已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cs θ＝eq \f(S′,S).
例3 已知在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－AP－C的余弦值．
解 方法一 如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.
因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，所以BE⊥平面PAC，所以BE⊥PA.
由三垂线定理有BF⊥PA，
所以∠BFE是二面角B－PA－C的平面角．
设PC＝1，由E是AC的中点，
得BE＝eq \f(\r(3),2)，EF＝eq \f(1,2)sin 45°＝eq \f(\r(2),4)，所以BF＝eq \f(\r(14),4)，
所以cs∠BFE＝eq \f(EF,BF)＝eq \f(\r(7),7).
所以二面角B－AP－C的余弦值为eq \f(\r(7),7).
方法二 (利用射影面积公式)如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.
因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC，
又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，
所以BE⊥平面PAC，
所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．
设PC＝1，则PA＝PB＝eq \r(2)，AB＝1，
所以在△PAB中，AB边上的高h＝eq \f(\r(7),2)，
所以S△PAB＝eq \f(\r(7),4).
又S△PAE＝eq \f(1,2)S△PAC＝eq \f(1,4).
设二面角B－PA－C的大小为θ，
由射影面积公式有cs θ＝eq \f(S△PAE,S△PAB)＝eq \f(\r(7),7).
所以二面角B－AP－C的余弦值为eq \f(\r(7),7).
反思感悟 对射影面积公式的理解
(1)来源：三垂线定理．
(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者能求出．
(3)优势：不需要作出二面角的平面角．
跟踪训练3 四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(\r(6),3)或eq \f(\r(14),7)
解析 △MPD在平面ABCD上的射影为△ABD，易得S△ABD＝2，
设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为θ，
当M，P在平面ABCD同侧时，S△MPD＝eq \r(6)，
∴cs θ＝eq \f(S△ABD,S△MPD)＝eq \f(\r(6),3)；
当M，P在平面ABCD异侧时，S△MPD＝eq \r(14)，
∴cs θ＝eq \f(S△ABD,S△MPD)＝eq \f(\r(14),7)，
则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3)或eq \f(\r(14),7).
1.知识清单：
(1)二面角及其度量．
(2)几何法求二面角．
(3)二面角与面积之间的联系．
2．方法归纳：数形结合、转化、代入法．
3．常见误区：二面角与两个平面的夹角易混淆．
1.如图所示，点P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小为( )
A．60° B．70° C．80° D．90°
答案 D
解析 过AB上一点Q分别在α，β内作AB的垂线，交PM，PN于点M，N，
则∠MQN即为二面角α－AB－β的平面角，如图所示．
设PQ＝a，∵∠QPN＝∠QPM＝45°，
∴QN＝QM＝a，PN＝PM＝eq \r(2)a，
又∵∠MPN＝60°，∴△MPN为等边三角形，
则MN＝eq \r(2)a，
∴QN2＋QM2＝MN2，
∴∠MQN＝90°.
2．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PBC与平面ABCD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 B
解析 如图所示，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠PBA为平面PBC与平面ABCD所成角的一个平面角，
在Rt△PAB中，PA＝AB，
∴△PAB为等腰直角三角形，∴∠PBA＝45°.
∴平面PBC和平面ABCD所成的角为45°.
3.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别于E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面ABEF的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2\r(3),3)
答案 D
解析 截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD，
∴cs 30°＝eq \f(SABCD,SABEF)，∴eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1×1,SABEF)⇒SABEF＝eq \f(2\r(3),3).
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值为________．
答案 eq \r(2)
解析 连接AC交BD于点O，如图所示，
因为OA1⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A1OA即为二面角A1－BD－A的平面角，
在Rt△A1OA中，设AA1＝a，则AO＝eq \f(\r(2),2)a，tan∠A1OA＝eq \f(AA1,AO)＝eq \r(2)，
所以二面角A1－BD－A的正切值为eq \r(2).
1.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 B
解析 连接AD′(图略)，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，
则AB⊥AD，AB⊥AD′，
则∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角，
四边形ADD′A′为正方形，据此可知∠D′AD＝45°，
即二面角D′－AB－D的大小是45°.
2．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
解析 设二面角大小为θ，则其互补角为π－θ，由题意可知
cs (π－θ)＝eq \f(82＋52－72,2×8×5)＝eq \f(64＋25－49,80)＝eq \f(1,2)，
所以π－θ＝60°，所以θ＝120°.
3.如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1上的点，且截面AEFD1的面积为eq \f(\r(3),2)，则截面AEFD1与底面ABCD所成的角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 A
解析 ∵截面AEFD1在底面的射影为直角梯形AECD，
∴设截面AEFD1与底面ABCD所成的锐二面角为θ，
∴cs θ＝＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1))×1,\f(\r(3),2))＝eq \f(\f(3,4),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),2).
又0°<θ<90°，故θ＝30°.
4.如图，在正四棱锥P－ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为eq \r(6)∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
答案 D
解析 设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则eq \f(\f(1,2)×\r(2)ah,4×\f(1,2)ah′)＝eq \f(\r(6),8)，
∴eq \f(h,h′)＝eq \f(\r(3),2)，∴sin θ＝eq \f(\r(3),2)，即θ＝eq \f(π,3).
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B—AC—D的余弦值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 设菱形对角线AC与BD交于O点，则∠BOD为二面角B—AC—D的平面角，由余弦定理可得cs∠BOD＝eq \f(1,3).
6．(多选)如图，在三棱锥C－ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，以下结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．△AOC为正三角形
C．四面体A－BCD外接球的表面积为32π
D．cs∠ADC＝eq \f(\r(3),4)
答案 ABC
解析 因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以CO⊥BD，AO⊥BD，又CO，AO为平面AOC内两相交直线，因此BD⊥平面AOC，因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC，即A正确；因为CO⊥BD，AO⊥BD，所以∠COA为二面角A－BD－C的平面角，即∠COA＝eq \f(π,3)，因为CO＝AO＝2eq \r(2)，所以△AOC为正三角形，所以AC＝2eq \r(2)，即B正确；因为OA＝OB＝OC＝OD，所以O为四面体A－BCD外接球球心，半径为OA＝2eq \r(2)，因此四面体A－BCD外接球的表面积为4π(2eq \r(2))2＝32π，即C正确；因为CD＝AD＝4，AC＝2eq \r(2)，所以cs∠ADC＝eq \f(42＋42－2\r(2)2,2×4×4)＝eq \f(3,4)，即D错误．
7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq \r(3)，CC1＝eq \r(2)，则平面C1BD与平面ABCD所成角的大小为________．
答案 30°
解析 S△BCD＝eq \f(1,2)×BC×CD＝6，
易知△BC1D的高为2eq \r(2)，
所以＝eq \f(1,2)×2eq \r(6)×2eq \r(2)＝4eq \r(3)，
设平面C1BD与平面ABCD所成的角为θ，
所以cs θ＝eq \f(6,4\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，所以θ＝30°.
8.如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为______．(参考数据：tan 22.5°＝eq \r(2)－1)
答案 eq \f(\r(6)＋\r(3),6)
解析 如图所示．
点P是正八棱锥的顶点，点O是底面的中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，
根据题意知∠BOM＝22.5°，
因为tan 22.5°＝eq \r(2)－1，
设AB＝a，则OM＝eq \f(BM,tan 22.5°)＝eq \f(\r(2)＋1,2)a，
又因为二面角P－AB－O的大小为30°，
即∠PMO＝30°，
所以OP＝OMtan 30°＝eq \f(\r(6)＋\r(3),6)a，
即正八棱锥的高和底面边长之比为eq \f(\r(6)＋\r(3),6).
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq \r(6)，AD＝2eq \r(3)，AA1＝2.求：
(1)二面角B1－AC－B的大小；
(2)△AB1C的面积．
解 (1)如图所示，
∵BB1⊥平面ABCD，
过点B作BO⊥AC，O为垂足，连接OB1，由三垂线定理知，AC⊥OB1，
∴∠B1OB为二面角B1－AC－B的一个平面角，
在Rt△ABC中，AB＝eq \r(6)，BC＝2eq \r(3)，
∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(18)＝3eq \r(2)，
∴OB＝eq \f(AB×BC,AC)＝eq \f(\r(6)×2\r(3),3\r(2))＝2.
又在Rt△B1BO中，OB＝BB1＝2，
∴∠B1OB＝eq \f(π,4)，
∴二面角B1－AC－B的大小为eq \f(π,4).
(2)方法一 由①知，OB1＝eq \r(OB2＋BB\\al(2,1))＝eq \r(4＋4)＝2eq \r(2)，AC⊥OB1，
∴＝eq \f(1,2)×AC×OB1＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×2eq \r(2)＝6.
方法二 依题意cs∠B1OB＝，
又S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(6)×2eq \r(3)＝3eq \r(2)，
∴＝eq \f(S△ABC,cs∠B1OB)＝eq \f(3\r(2),\f(\r(2),2))＝6.
10.如图，在底面为菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝1，PB＝PD＝eq \r(2)，点E在PD上，且eq \f(PE,ED)＝2.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求二面角E－AC－D的正弦值．
(1)证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以AB＝AC＝AD＝1，
在△PAB中，PA＝1，PB＝eq \r(2)，
由PA2＋AB2＝PB2，可得PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，又AB∩AD＝A，
所以PA⊥平面ABCD.
(2)解 作EG∥PA交AD于点G，
由PA⊥平面ABCD.
则EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H，连接EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为所求二面角的平面角θ.
又eq \f(PE,ED)＝2，所以EG＝eq \f(1,3)PA＝eq \f(1,3)，AG＝eq \f(2,3)AD＝eq \f(2,3)，GH＝AGsin 60°＝eq \f(\r(3),3)，
从而EH＝eq \r(EG2＋GH2)＝eq \f(2,3)，
所以sin θ＝eq \f(EG,EH)＝eq \f(1,2).
即二面角E－AC－D的正弦值为eq \f(1,2).
11．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B－AC－D的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 D
解析 取AC的中点O，连接BO，DO(图略)，
V＝eq \f(1,3)S△ABCh≤eq \f(1,3)S△ABCOD，
当平面ACD垂直于平面ABC时等号成立．
此时二面角B－AC－D为90°.
12．A，B是二面角α—l—β的棱l上两点，P是平面β上一点，PB⊥l于B，PA与l成45°角，PA与平面α成30°角，则二面角α—l—β的大小是( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
答案 C
解析 如图，作PO⊥α于O，连接AO，BO，则∠PAO为PA与平面α所成角，∠PBO为二面角α—l—β的平面角，由∠PAO＝30°，∠PAB＝45°，取PA＝2a，则PO＝a，PB＝eq \r(2)a，∴sin∠PBO＝eq \f(PO,PB)＝eq \f(\r(2),2)，∴∠PBO＝45°.
13.如图，三棱锥D－ABC的三条棱DA，DB，DC两两垂直，A1是DA的中点，M，N是棱AB上的点，BM＝eq \f(1,2)BN＝eq \f(1,4)BA.记二面角D－A1N－C，D－A1M－C，D－A1B－C的平面角分别为α，β，γ，则以下结论中正确的是( )
A．γ>β>α B．α>β>γ
C．α>γ>β D．γ>α>β
答案 A
解析 设D到A1N，A1M，A1B的距离分别为d1，d2，d3.
因为AD⊥BD，A1是DA的中点，BM＝eq \f(1,2)BN＝eq \f(1,4)BA，
所以d1>d2>d3.
又tan α＝eq \f(CD,d1)，tan β＝eq \f(CD,d2)，tan γ＝eq \f(CD,d3)，所以α<β<γ.
14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝eq \r(13)，则二面角A－CD－B的余弦值为________．
答案 －eq \f(5,8)
解析 如图①，△ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，则CD⊥AB，翻折之后如图②，CD⊥DA，CD⊥DB，
∠ADB即为二面角A－CD－B的一个平面角．
∵AD＝DB＝2，AB＝eq \r(13)，
∴cs∠ADB＝eq \f(4＋4－13,2×2×2)＝－eq \f(5,8).
15．在三棱锥P－ABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长．设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(2\r(3),5) C．－eq \f(8\r(3),13) D．－eq \f(5\r(3),8)
答案 C
解析 如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.
依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β.
不妨设等边△ABC的边长为2，
则PH＝2，AH＝BH＝1.
∴HE＝eq \f(\r(3),2)，HF＝eq \f(\r(3),2)，
则tan α＝tan β＝eq \f(2,\f(\r(3),2))＝eq \f(4,\r(3))，
故tan(α＋β)＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(4,\r(3)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,\r(3))))2)＝－eq \f(8\r(3),13).
16.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，M为PC的中点．
(1)求证：MB⊥AC；
(2)若二面角B－MA－C的大小为45°，求PA的长．
(1)证明 如图，取AC的中点N，连接BN，MN，
因为AB＝BC，所以AC⊥BN，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，
又MN∥PA，所以AC⊥MN，
因为MN∩BN＝N，所以AC⊥平面BMN，
因为MB⊂平面BMN，所以MB⊥AC.
(2)解 过点N作NH⊥AM于H，连接BH，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BN，
又AC⊥BN，PA∩AC＝A，
所以BN⊥平面PAC，
又AM⊂平面PAC，从而BN⊥AM，
又NH⊥AM，BN∩NH＝N，所以AM⊥平面BNH，
于是二面角B－MA－C的平面角为∠BHN.
因为AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∠BHN＝45°，
所以BN＝NH＝1，AN＝eq \r(3).
在Rt△AMN中，AN·MN＝eq \r(AN2＋MN2)·NH，
即eq \r(3)MN＝eq \r(3＋MN2)，
解得MN＝eq \f(\r(6),2)，因此PA＝eq \r(6).
学习目标 1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.2.掌握求二面角的基本方法步骤．
导语
同学们，大家可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你们知道十二星座的由来吗？
我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面夹角(二面角的平面角)约为23°26′，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来，今天我们研究的问题便是二面角的平面角问题．
一、二面角的相关概念
问题1 二面角与两个平面所成的角有何区别？
提示 ①概念的不同．二面角：是由一条直线出发的两个半平面组成的图形；两个平面的夹角：两个平面相交时，形成四个二面角，其中不小于0°且不大于90°的角称为两个平面的夹角．②范围的不同．二面角θ的范围：0≤θ≤π，两个平面的夹角θ的范围：0≤θ≤eq \f(π,2).
知识梳理
1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.
2．二面角的平面角
在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．
3．二面角的范围：[0，π]．
4．两个平面所成的角
两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小．
例1 已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则( )
A．∠ADE是二面角A－PC－B的平面角
B．∠AED是二面角A－PB－C的平面角
C．∠DAE是二面角B－PA－C的平面角
D．∠ACB是二面角A－PC－B的平面角
答案 B
解析 因为PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
又AD⊂平面PAC，所以AD⊥BC.
又AD⊥PC，BC∩PC＝C，
所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PB.
又AE⊥PB，AD∩AE＝A，
所以PB⊥平面ADE，所以DE⊥PB，
所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．
反思感悟 构造二面角的平面角，一般在直线上取一点O，然后分别在两个半平面内作直线OA，OB均与该直线垂直，则∠AOB即为二面角的平面角．
跟踪训练1 如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
答案 C
解析 当两个平面的开口方向相同时，这两个二面角大小相等，当两个平面的开口方向不同时，这两个二面角大小互补．
二、几何法求二面角
例2 已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝eq \f(\r(3),2)a，则二面角A－BC－D的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝eq \f(\r(3),2)a，
∴∠AED是二面角A－BC－D的平面角．
又∵AD＝eq \f(\r(3),2)a，∴∠AED＝60°，
即二面角A－BC－D的大小为60°.
反思感悟 用定义求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角．
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
(3)解三角形求角．
(4)下结论．
跟踪训练2 若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq \r(6)，则二面角P－BC－A的大小为________．
答案 90°
解析 取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，
则∠POA就是二面角P－BC－A的平面角．
又PO＝AO＝eq \r(3)，PA＝eq \r(6)，
所以∠POA＝90°.
三、二面角与面积之间的联系
问题2 如图，△ABC在平面α上的射影为△A′BC，二面角A－BC－A′的大小为θ，则
cs θ，S△ABC，S△A′BC之间有什么样的关系？
提示 作AD⊥BC，则A′D为AD在平面α上的射影，由三垂线定理的逆定理可知A′D⊥BC，则∠ADA′＝θ，故有cs θ＝eq \f(A′D,AD)＝eq \f(\f(1,2)BC×A′D,\f(1,2)BC×AD)＝eq \f(S△A′BC,S△ABC).
知识梳理
已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cs θ＝eq \f(S′,S).
例3 已知在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－AP－C的余弦值．
解 方法一 如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.
因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，所以BE⊥平面PAC，所以BE⊥PA.
由三垂线定理有BF⊥PA，
所以∠BFE是二面角B－PA－C的平面角．
设PC＝1，由E是AC的中点，
得BE＝eq \f(\r(3),2)，EF＝eq \f(1,2)sin 45°＝eq \f(\r(2),4)，所以BF＝eq \f(\r(14),4)，
所以cs∠BFE＝eq \f(EF,BF)＝eq \f(\r(7),7).
所以二面角B－AP－C的余弦值为eq \f(\r(7),7).
方法二 (利用射影面积公式)如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.
因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC，
又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，
所以BE⊥平面PAC，
所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．
设PC＝1，则PA＝PB＝eq \r(2)，AB＝1，
所以在△PAB中，AB边上的高h＝eq \f(\r(7),2)，
所以S△PAB＝eq \f(\r(7),4).
又S△PAE＝eq \f(1,2)S△PAC＝eq \f(1,4).
设二面角B－PA－C的大小为θ，
由射影面积公式有cs θ＝eq \f(S△PAE,S△PAB)＝eq \f(\r(7),7).
所以二面角B－AP－C的余弦值为eq \f(\r(7),7).
反思感悟 对射影面积公式的理解
(1)来源：三垂线定理．
(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者能求出．
(3)优势：不需要作出二面角的平面角．
跟踪训练3 四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(\r(6),3)或eq \f(\r(14),7)
解析 △MPD在平面ABCD上的射影为△ABD，易得S△ABD＝2，
设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为θ，
当M，P在平面ABCD同侧时，S△MPD＝eq \r(6)，
∴cs θ＝eq \f(S△ABD,S△MPD)＝eq \f(\r(6),3)；
当M，P在平面ABCD异侧时，S△MPD＝eq \r(14)，
∴cs θ＝eq \f(S△ABD,S△MPD)＝eq \f(\r(14),7)，
则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3)或eq \f(\r(14),7).
1.知识清单：
(1)二面角及其度量．
(2)几何法求二面角．
(3)二面角与面积之间的联系．
2．方法归纳：数形结合、转化、代入法．
3．常见误区：二面角与两个平面的夹角易混淆．
1.如图所示，点P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小为( )
A．60° B．70° C．80° D．90°
答案 D
解析 过AB上一点Q分别在α，β内作AB的垂线，交PM，PN于点M，N，
则∠MQN即为二面角α－AB－β的平面角，如图所示．
设PQ＝a，∵∠QPN＝∠QPM＝45°，
∴QN＝QM＝a，PN＝PM＝eq \r(2)a，
又∵∠MPN＝60°，∴△MPN为等边三角形，
则MN＝eq \r(2)a，
∴QN2＋QM2＝MN2，
∴∠MQN＝90°.
2．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PBC与平面ABCD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 B
解析 如图所示，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠PBA为平面PBC与平面ABCD所成角的一个平面角，
在Rt△PAB中，PA＝AB，
∴△PAB为等腰直角三角形，∴∠PBA＝45°.
∴平面PBC和平面ABCD所成的角为45°.
3.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别于E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面ABEF的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2\r(3),3)
答案 D
解析 截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD，
∴cs 30°＝eq \f(SABCD,SABEF)，∴eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1×1,SABEF)⇒SABEF＝eq \f(2\r(3),3).
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值为________．
答案 eq \r(2)
解析 连接AC交BD于点O，如图所示，
因为OA1⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A1OA即为二面角A1－BD－A的平面角，
在Rt△A1OA中，设AA1＝a，则AO＝eq \f(\r(2),2)a，tan∠A1OA＝eq \f(AA1,AO)＝eq \r(2)，
所以二面角A1－BD－A的正切值为eq \r(2).
1.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 B
解析 连接AD′(图略)，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，
则AB⊥AD，AB⊥AD′，
则∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角，
四边形ADD′A′为正方形，据此可知∠D′AD＝45°，
即二面角D′－AB－D的大小是45°.
2．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
解析 设二面角大小为θ，则其互补角为π－θ，由题意可知
cs (π－θ)＝eq \f(82＋52－72,2×8×5)＝eq \f(64＋25－49,80)＝eq \f(1,2)，
所以π－θ＝60°，所以θ＝120°.
3.如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1上的点，且截面AEFD1的面积为eq \f(\r(3),2)，则截面AEFD1与底面ABCD所成的角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 A
解析 ∵截面AEFD1在底面的射影为直角梯形AECD，
∴设截面AEFD1与底面ABCD所成的锐二面角为θ，
∴cs θ＝＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1))×1,\f(\r(3),2))＝eq \f(\f(3,4),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),2).
又0°<θ<90°，故θ＝30°.
4.如图，在正四棱锥P－ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为eq \r(6)∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
答案 D
解析 设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则eq \f(\f(1,2)×\r(2)ah,4×\f(1,2)ah′)＝eq \f(\r(6),8)，
∴eq \f(h,h′)＝eq \f(\r(3),2)，∴sin θ＝eq \f(\r(3),2)，即θ＝eq \f(π,3).
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B—AC—D的余弦值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 设菱形对角线AC与BD交于O点，则∠BOD为二面角B—AC—D的平面角，由余弦定理可得cs∠BOD＝eq \f(1,3).
6．(多选)如图，在三棱锥C－ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，以下结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．△AOC为正三角形
C．四面体A－BCD外接球的表面积为32π
D．cs∠ADC＝eq \f(\r(3),4)
答案 ABC
解析 因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以CO⊥BD，AO⊥BD，又CO，AO为平面AOC内两相交直线，因此BD⊥平面AOC，因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC，即A正确；因为CO⊥BD，AO⊥BD，所以∠COA为二面角A－BD－C的平面角，即∠COA＝eq \f(π,3)，因为CO＝AO＝2eq \r(2)，所以△AOC为正三角形，所以AC＝2eq \r(2)，即B正确；因为OA＝OB＝OC＝OD，所以O为四面体A－BCD外接球球心，半径为OA＝2eq \r(2)，因此四面体A－BCD外接球的表面积为4π(2eq \r(2))2＝32π，即C正确；因为CD＝AD＝4，AC＝2eq \r(2)，所以cs∠ADC＝eq \f(42＋42－2\r(2)2,2×4×4)＝eq \f(3,4)，即D错误．
7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq \r(3)，CC1＝eq \r(2)，则平面C1BD与平面ABCD所成角的大小为________．
答案 30°
解析 S△BCD＝eq \f(1,2)×BC×CD＝6，
易知△BC1D的高为2eq \r(2)，
所以＝eq \f(1,2)×2eq \r(6)×2eq \r(2)＝4eq \r(3)，
设平面C1BD与平面ABCD所成的角为θ，
所以cs θ＝eq \f(6,4\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，所以θ＝30°.
8.如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为______．(参考数据：tan 22.5°＝eq \r(2)－1)
答案 eq \f(\r(6)＋\r(3),6)
解析 如图所示．
点P是正八棱锥的顶点，点O是底面的中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，
根据题意知∠BOM＝22.5°，
因为tan 22.5°＝eq \r(2)－1，
设AB＝a，则OM＝eq \f(BM,tan 22.5°)＝eq \f(\r(2)＋1,2)a，
又因为二面角P－AB－O的大小为30°，
即∠PMO＝30°，
所以OP＝OMtan 30°＝eq \f(\r(6)＋\r(3),6)a，
即正八棱锥的高和底面边长之比为eq \f(\r(6)＋\r(3),6).
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq \r(6)，AD＝2eq \r(3)，AA1＝2.求：
(1)二面角B1－AC－B的大小；
(2)△AB1C的面积．
解 (1)如图所示，
∵BB1⊥平面ABCD，
过点B作BO⊥AC，O为垂足，连接OB1，由三垂线定理知，AC⊥OB1，
∴∠B1OB为二面角B1－AC－B的一个平面角，
在Rt△ABC中，AB＝eq \r(6)，BC＝2eq \r(3)，
∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(18)＝3eq \r(2)，
∴OB＝eq \f(AB×BC,AC)＝eq \f(\r(6)×2\r(3),3\r(2))＝2.
又在Rt△B1BO中，OB＝BB1＝2，
∴∠B1OB＝eq \f(π,4)，
∴二面角B1－AC－B的大小为eq \f(π,4).
(2)方法一 由①知，OB1＝eq \r(OB2＋BB\\al(2,1))＝eq \r(4＋4)＝2eq \r(2)，AC⊥OB1，
∴＝eq \f(1,2)×AC×OB1＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×2eq \r(2)＝6.
方法二 依题意cs∠B1OB＝，
又S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(6)×2eq \r(3)＝3eq \r(2)，
∴＝eq \f(S△ABC,cs∠B1OB)＝eq \f(3\r(2),\f(\r(2),2))＝6.
10.如图，在底面为菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝1，PB＝PD＝eq \r(2)，点E在PD上，且eq \f(PE,ED)＝2.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求二面角E－AC－D的正弦值．
(1)证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以AB＝AC＝AD＝1，
在△PAB中，PA＝1，PB＝eq \r(2)，
由PA2＋AB2＝PB2，可得PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，又AB∩AD＝A，
所以PA⊥平面ABCD.
(2)解 作EG∥PA交AD于点G，
由PA⊥平面ABCD.
则EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H，连接EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为所求二面角的平面角θ.
又eq \f(PE,ED)＝2，所以EG＝eq \f(1,3)PA＝eq \f(1,3)，AG＝eq \f(2,3)AD＝eq \f(2,3)，GH＝AGsin 60°＝eq \f(\r(3),3)，
从而EH＝eq \r(EG2＋GH2)＝eq \f(2,3)，
所以sin θ＝eq \f(EG,EH)＝eq \f(1,2).
即二面角E－AC－D的正弦值为eq \f(1,2).
11．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B－AC－D的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 D
解析 取AC的中点O，连接BO，DO(图略)，
V＝eq \f(1,3)S△ABCh≤eq \f(1,3)S△ABCOD，
当平面ACD垂直于平面ABC时等号成立．
此时二面角B－AC－D为90°.
12．A，B是二面角α—l—β的棱l上两点，P是平面β上一点，PB⊥l于B，PA与l成45°角，PA与平面α成30°角，则二面角α—l—β的大小是( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
答案 C
解析 如图，作PO⊥α于O，连接AO，BO，则∠PAO为PA与平面α所成角，∠PBO为二面角α—l—β的平面角，由∠PAO＝30°，∠PAB＝45°，取PA＝2a，则PO＝a，PB＝eq \r(2)a，∴sin∠PBO＝eq \f(PO,PB)＝eq \f(\r(2),2)，∴∠PBO＝45°.
13.如图，三棱锥D－ABC的三条棱DA，DB，DC两两垂直，A1是DA的中点，M，N是棱AB上的点，BM＝eq \f(1,2)BN＝eq \f(1,4)BA.记二面角D－A1N－C，D－A1M－C，D－A1B－C的平面角分别为α，β，γ，则以下结论中正确的是( )
A．γ>β>α B．α>β>γ
C．α>γ>β D．γ>α>β
答案 A
解析 设D到A1N，A1M，A1B的距离分别为d1，d2，d3.
因为AD⊥BD，A1是DA的中点，BM＝eq \f(1,2)BN＝eq \f(1,4)BA，
所以d1>d2>d3.
又tan α＝eq \f(CD,d1)，tan β＝eq \f(CD,d2)，tan γ＝eq \f(CD,d3)，所以α<β<γ.
14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝eq \r(13)，则二面角A－CD－B的余弦值为________．
答案 －eq \f(5,8)
解析 如图①，△ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，则CD⊥AB，翻折之后如图②，CD⊥DA，CD⊥DB，
∠ADB即为二面角A－CD－B的一个平面角．
∵AD＝DB＝2，AB＝eq \r(13)，
∴cs∠ADB＝eq \f(4＋4－13,2×2×2)＝－eq \f(5,8).
15．在三棱锥P－ABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长．设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(2\r(3),5) C．－eq \f(8\r(3),13) D．－eq \f(5\r(3),8)
答案 C
解析 如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.
依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β.
不妨设等边△ABC的边长为2，
则PH＝2，AH＝BH＝1.
∴HE＝eq \f(\r(3),2)，HF＝eq \f(\r(3),2)，
则tan α＝tan β＝eq \f(2,\f(\r(3),2))＝eq \f(4,\r(3))，
故tan(α＋β)＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(4,\r(3)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,\r(3))))2)＝－eq \f(8\r(3),13).
16.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，M为PC的中点．
(1)求证：MB⊥AC；
(2)若二面角B－MA－C的大小为45°，求PA的长．
(1)证明 如图，取AC的中点N，连接BN，MN，
因为AB＝BC，所以AC⊥BN，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，
又MN∥PA，所以AC⊥MN，
因为MN∩BN＝N，所以AC⊥平面BMN，
因为MB⊂平面BMN，所以MB⊥AC.
(2)解 过点N作NH⊥AM于H，连接BH，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BN，
又AC⊥BN，PA∩AC＝A，
所以BN⊥平面PAC，
又AM⊂平面PAC，从而BN⊥AM，
又NH⊥AM，BN∩NH＝N，所以AM⊥平面BNH，
于是二面角B－MA－C的平面角为∠BHN.
因为AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∠BHN＝45°，
所以BN＝NH＝1，AN＝eq \r(3).
在Rt△AMN中，AN·MN＝eq \r(AN2＋MN2)·NH，
即eq \r(3)MN＝eq \r(3＋MN2)，
解得MN＝eq \f(\r(6),2)，因此PA＝eq \r(6).
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