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数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.4 二面角第2课时学案
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这是一份数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.4 二面角第2课时学案，共19页。学案主要包含了用法向量求平面与平面所成的角等内容，欢迎下载使用。
一、两个平面法向量的夹角与两平面所成的角之间的关系
问题 如图，两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？
提示 两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角相等或互补；如图(1)，θ＝〈n1，n2〉，此时相等；如图(2)，θ＝π－〈n1，n2〉，此时互补．
知识梳理
设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成的角的大小为θ.
θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，
sin θ＝sin〈n1，n2〉．
注意点：(1)若求两个平面的夹角，直接利用公式cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
(2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角．
例1 已知二面角α－l－β，其中平面α的一个法向量m＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1,1)，则二面角α－l－β的大小可能为( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．30°
答案 C
解析 cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq \f(1,2)，
所以〈m，n〉＝120°，
又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，
所以二面角的大小可能是60°或120°.
反思感悟 区分二面角与两个平面夹角的概念及其角的取值范围是解决问题的关键．
跟踪训练1 设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cs θ|等于( )
A.eq \f(n1·n2,|n1||n2|) B.eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
C.eq \f(|n1||n2|,n1·n2) D.eq \f(|n1||n2|,|n1·n2|)
答案 B
解析 由题意，得cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)，而平面α与平面β的夹角θ与〈n1，n2〉相等或互补，所以|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
二、用法向量求平面与平面所成的角
例2 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD所成角的大小．
解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD，与AC交于点O，取AD的中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，
B(0，a,0)．∵eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，－\f(a,2)，\f(a,2)))，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，0，0))，
eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(b,0,0)．
∵eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(OE,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，即OE⊥AC，
又eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，0))，eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0.
∴eq \(OF,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，即OF⊥AC.
∴∠EOF为平面EAC与平面ABCD所成角．
cs〈eq \(OE,\s\up6(→))，eq \(OF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OE,\s\up6(→))·\(OF,\s\up6(→)),|\(OE,\s\up6(→))||\(OF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2).
∴平面EAC与平面ABCD所成的角为45°.
方法二 建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(b,0,0)．
设平面AEC的一个法向量为m＝(x，y，z)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AE,\s\up6(→))＝0，,m·\(AC,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,2)x－\f(a,2)y＋\f(a,2)z＝0，,bx＝0.))
∴x＝0，y＝z.取m＝(0,1,1)，
cs〈m，eq \(AP,\s\up6(→))〉＝eq \f(m·\(AP,\s\up6(→)),|m||\(AP,\s\up6(→))|)＝eq \f(a,\r(2)·a)＝eq \f(\r(2),2).
又平面EAC与平面ABCD所成角为锐角，
∴平面EAC与平面ABCD所成角为45°.
反思感悟 利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图．用坐标法解题的步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求或找两个平面的法向量n1，n2.
(3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cs θ＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝eq \f(1,2)AD＝1，CD＝eq \r(3).
(1)求证：PQ⊥AB.
(2)求二面角P－QB－M的余弦值．
(1)证明 在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，
所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD，所以PQ⊥底面ABCD.
又AB⊂平面ABCD，所以PQ⊥AB.
(2)解 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
Q为AD的中点，所以DQ＝BC，DQ∥BC，
所以四边形BCDQ为平行四边形．
因为AD⊥DC，所以AD⊥QB.
由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz，如图所示，
则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，eq \r(3))，C(－1，eq \r(3)，0)，B(0，eq \r(3)，0)，
则eq \(QB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，0)．
因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，PQ∩BQ＝Q，PQ，BO⊂平面PQB，所以AQ⊥平面PQB，
即eq \(QA,\s\up6(→))为平面PQB的一个法向量，且eq \(QA,\s\up6(→))＝(1,0,0)．
因为M是棱PC的中点，
所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，
所以eq \(QM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2))).
设平面MQB的法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(QB,\s\up6(→))＝0，,m·\(QM,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)y＝0，,－\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，))
所以可取m＝(eq \r(3)，0,1)，
所以cs〈eq \(QA,\s\up6(→))，m〉＝eq \f(\(QA,\s\up6(→))·m,|\(QA,\s\up6(→))||m|)＝eq \f(\r(3),2).
由题意，知二面角P－QB－M为锐角，
所以二面角P－QB－M的余弦值为eq \f(\r(3),2).
1.知识清单：
(1)二面角及其度量．
(2)利用空间向量求二面角的大小．
2．方法归纳：数形结合、转化、代入法．
3．常见误区：二面角的大小与两个平面法向量夹角间的关系易混淆．
1．平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A．－eq \f(9,25) B.eq \f(9,25)
C.eq \f(7,25) D．以上都不对
答案 B
解析 因为向量n1与n2的夹角θ满足cs θ＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(－9,5×5)＝－eq \f(9,25)，又平面α与平面β的夹角为锐角，故平面α与β夹角的余弦值等于eq \f(9,25).
2．在三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝eq \f(π,3)，则二面角A－BD－C的大小为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3)
C.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.eq \f(π,6)或eq \f(π,3)
答案 C
解析 当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝eq \f(π,3)；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3).
3．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑(bie na)是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝3，AC＝4，现将△ABD沿AD翻折成C－AB′D，使得四面体AB′CD为一个鳖臑，则二面角B′－AC－D的余弦值是________．
答案 eq \f(\r(7),4)
解析 在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝3，AC＝4，则BC＝5，AD＝eq \f(12,5)，BD＝eq \f(9,5)，CD＝eq \f(16,5)，
即在四面体AB′CD中，AD＝eq \f(12,5)，B′D＝eq \f(9,5)，CD＝eq \f(16,5)，AB′＝3，AC＝4，则B′D要使四面体AB′CD为鳖臑，根据三角形中大边对大角，
可知需要B′C⊥平面ADB′，此时∠ADB′，∠ADC，∠DB′C，∠AB′C均为直角，即满足四面体AB′CD为一个鳖臑，
则B′C＝eq \r(CD2－B′D2)＝eq \r(7)，
在长，宽，高分别为eq \r(7)，eq \f(9,5)，eq \f(12,5)的长方体中作出四面体ADB′C，
以D为坐标原点建立空间直角坐标系(图略)，
则D(0,0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(12,5)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(7)，\f(9,5)，0))，B′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9,5)，0))，
eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(12,5)))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(7)，\f(9,5)，0))，eq \(DB′,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9,5)，0))，eq \(B′C,\s\up6(————→))＝(eq \r(7)，0,0)，
设向量m＝(x1，y1，z1)为平面ACD的一个法向量，向量n＝(x2，y2，z2)为平面B′AC的一个法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(DA,\s\up6(→))＝\f(12,5)z1＝0，,m·\(DC,\s\up6(→))＝\r(7)x1＋\f(9,5)y1＝0，))
可取m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(7)，－\f(35,9)，0))，
同理可取n＝(0,12,9)，
cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(－\f(35,9)×12,\f(16\r(7),9)×15)＝－eq \f(\r(7),4)，
又因为二面角B′－AC－D为锐角，
所以二面角B′－AC－D的余弦值是eq \f(\r(7),4).
4．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(2,7)
解析 由题意知，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0,3)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
由n·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，n·eq \(AC,\s\up6(→))＝0知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2y＝0，,－x＋3z＝0.))
令x＝2，则y＝1，z＝eq \f(2,3).
所以平面ABC的法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1，\f(2,3))).平面xOy的法向量为eq \(OC,\s\up6(→))＝(0,0,3)．
所以所求角的余弦值cs θ＝eq \f(|n·\(OC,\s\up6(→))|,|n||\(OC,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3×\f(7,3))＝eq \f(2,7).
1．平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案 C
解析 由于n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，
所以n1⊥n2，故α⊥β，α与β所成的角是90°.
2．若二面角α－l－β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角为( )
A．120° B．60°
C．120°或60° D．30°或150°
答案 C
解析 二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°.
3．若二面角α－l－β为eq \f(π,3)，直线m⊥α，则平面β内的所有直线与m所成角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))
答案 B
解析 由二面角α－l－β的大小为eq \f(π,3)，直线m⊥α，得m与β所成的角的大小为eq \f(π,6)，于是β所在平面内的直线与m所成的角的最小值为eq \f(π,6)，最大值为eq \f(π,2).
4．若120°的二面角α－l－β的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( )
A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 B
解析 由题意，可得如下示意图，由二面角α－l－β为120°，棱l上有A，B两点，且AC⊥l，BD⊥l，
且AB＝AC＝BD＝1，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝eq \(CD,\s\up6(→))2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝3＋1＝4，
∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2，CD＝2.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，则A1(0,0,1)，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，D(0,1,0)，
∴eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(0,1，－1)，eq \(A1E,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，－\f(1,2))).
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(A1D,\s\up6(—→))·n1＝0，,\(A1E,\s\up6(—→))·n1＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－z＝0，,1－\f(1,2)z＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝2，))∴n1＝(1,2,2)．
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
∴|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(2,3×1)＝eq \f(2,3)，
即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为eq \f(2,3).
6．(多选)一个二面角的两个半平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则这个二面角的大小为( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
答案 AD
解析 设二面角的平面角为θ，∵cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,1×\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，∴θ＝45°或135°.
7．平面α的法向量n1＝(1，－1，eq \r(3))，平面β的法向量n2＝(－1,0，eq \r(3))，则平面α与平面β所成角的正弦值为________．
答案 eq \f(2\r(5),5)
解析 设平面α与平面β所成的角为θ，
cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(2,\r(5)×2)＝eq \f(\r(5),5)，
∴cs θ＝eq \f(\r(5),5)，∴sin θ＝eq \f(2\r(5),5).
8.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，则二面角B1－A1C－C1的大小为________．
答案 eq \f(π,3)
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
则由题意可知B(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，
设AC的中点为M，连接BM，
则BM⊥AC，
又由题意知BM⊥CC1，
又AC∩CC1＝C，
所以BM⊥平面A1C1C，
即eq \(BM,\s\up6(→))＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的法向量是n＝(x，y，z)．
eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－2,2，－2)，eq \(A1B1,\s\up6(——→))＝(－2,0,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1B1,\s\up6(——→))＝－2x＝0，,n·\(A1C,\s\up6(—→))＝－2x＋2y－2z＝0，))
令z＝1，可得n＝(0,1,1)．
设法向量n与eq \(BM,\s\up6(→))的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角．
所以cs θ＝|cs φ|＝eq \f(|n·\(BM,\s\up6(→))|,|n||\(BM,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，解得θ＝eq \f(π,3)，
所以二面角B1－A1C－C1的大小为eq \f(π,3).
9.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AD＝2AB，M为BC的中点，平面A1D1DA⊥平面ABCD，AA1⊥A1D且A1A＝A1D.
(1)证明：∠B1A1D＝90°；
(2)若此四棱柱的体积为2，求二面角A－A1B－M的正弦值．
(1)证明 因为平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面A1D1DA，
因为AB∥A1B1，
所以A1B1⊥平面A1D1DA，
又因为A1D⊂平面A1D1DA，
所以A1B1⊥A1D，即∠B1A1D＝90°.
(2)解 如图，取AD的中点O，连接A1O，因为A1A＝A1D，所以A1O⊥AD，
又因为平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以A1O⊥平面ABCD，
所以A1O为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高，
设AB＝a，则AD＝2a，OA1＝a，
所以四棱柱的体积V＝S矩形ABCD×OA1＝a×2a×a＝2a3＝2，
解得a＝1.
以O为坐标原点，eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OA1,\s\up6(→))分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，M(1,0,0)，eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(0,1，－1)，eq \(BM,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq \(A1M,\s\up6(—→))＝(1,0，－1)，
因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又A1D⊥A1A，A1A∩AB＝A，
所以A1D⊥平面A1B1BA，所以平面AA1B的一个法向量为n1＝eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(0,1，－1)，
设平面A1BM的法向量为n2＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(BM,\s\up6(→))＝0，,n2·\(A1M,\s\up6(—→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝0，,x－z＝0，))
令x＝1，则n2＝(1,0,1)．
设二面角A－A1B－M的平面角为θ，
则|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，
所以sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(3),2)，
即二面角A－A1B－M的正弦值为eq \f(\r(3),2).
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq \f(1,2)AD，E为棱AD的中点，PA⊥CD.
(1)证明：CD⊥平面PAD；
(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
(1)证明 ∵∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD＝A，PA，PD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
(2)解 ∵PA⊥CD，PA⊥AB，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD.又PD⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角，
∴∠PDA＝45°.
如图，以A为原点，AD，AP所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
∴eq \(PE,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，eq \(EC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,0,2)．
设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PE,\s\up6(→))＝x－2z＝0，,n·\(EC,\s\up6(→))＝x＋y＝0，))取x＝2，
则n＝(2，－2,1)为平面PCE的一个法向量．
设直线PA与平面PCE所成的角为α，
则sin α＝|cs〈n，eq \(AP,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|n·\(AP,\s\up6(→))|,|n||\(AP,\s\up6(→))|)
＝eq \f(2,2\r(22＋－22＋12))＝eq \f(1,3)，
∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值为eq \f(1,3).
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1，0,0)，B1(0，2,2)，|C1(0|，0,2)，设AD＝a(a>0)，则点D的坐标为(1,0，a)，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝(1,0，a)，eq \(CB1,\s\up6(—→))＝(0,2,2)．
设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CB1,\s\up6(—→))＝0，,n·\(CD,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＋2z＝0，,x＋az＝0，))令z＝－1，
得n＝(a,1，－1)．
又平面C1DC的一个法向量为m＝(0,1,0)，
∴cs 60°＝eq \f(|m·n|,|m||n|)，即eq \f(1,\r(a2＋2))＝eq \f(1,2)，
∴a＝eq \r(2)(负值舍去)，即AD＝eq \r(2).
12．已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝5eq \r(2)，则这个二面角的度数为( )
A．30° B．45° C．90° D．150°
答案 C
解析 设这个二面角的度数为α，
由题意得eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2|eq \(CA,\s\up6(→))|·|eq \(BD,\s\up6(→))|cs (π－α)，
∴(5eq \r(2))2＝9＋25＋16－2×3×4×cs α，
解得cs α＝0，∴α＝90°，
∴这个二面角的度数为90°.
13.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(2\r(6),5)
答案 B
解析 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(6,0,6)，D(0,0,0)，C1(0,6,6)，
由题意知，当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F，C1共面，
设平面A1DE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，eq \(DA1,\s\up6(—→))＝(6,0,6)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(6,3,0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(DA1,\s\up6(—→))＝6x1＋6z1＝0，,n1·\(DE,\s\up6(→))＝6x1＋3y1＝0，))
取x1＝1，解得n1＝(1，－2，－1)，
设平面C1DF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，eq \(DC1,\s\up6(—→))＝(0,6,6)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(3,6,0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(DC1,\s\up6(—→))＝6y2＋6z2＝0，,n2·\(DF,\s\up6(→))＝3x2＋6y2＝0，))
取x2＝2，解得n2＝(2，－1,1)，
设平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角为θ，
则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(3,\r(6)×\r(6))＝eq \f(1,2)，
∴平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为eq \f(1,2).
14．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的角的正切值为________．
答案 eq \f(\r(2),3)
解析 方法一 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示．
设正方体的棱长为3，
则GB＝BC＝3，
作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求锐二面角的平面角．
∵BH＝eq \f(3\r(2),2)，EB＝1，
∴tan∠EHB＝eq \f(EB,BH)＝eq \f(\r(2),3).
∴平面AEF与平面ABC所成角的正切值为eq \f(\r(2),3).
方法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设DA＝1，由已知条件得A(1，0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,3)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(2,3)))，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,3)))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(2,3)))，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AF,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)z＝0，,－x＋y＋\f(2,3)z＝0.))
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)，
取平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)，
则cs θ＝|cs〈n，m〉|＝eq \f(|n·m|,|n|·|m|)＝eq \f(3\r(11),11)，
tan θ＝eq \f(\r(2),3).
∴平面AEF与平面ABC所成角的正切值为eq \f(\r(2),3).
15.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝1，则二面角A－PC－B的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，建立空间直角坐标系，因为PA＝AB＝BC＝1，
所以A(0,0,0)，C(0，eq \r(2)，0)，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，P(0,0,1)，
eq \(CP,\s\up6(→))＝(0，－eq \r(2)，1)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，
显然平面APC的一个法向量可以为n＝(1,0,0)，
设平面BPC的法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(CP,\s\up6(→))＝0，,m·\(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(2)y＋z＝0，,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y＝0，))
令y＝1，则z＝eq \r(2)，x＝1，所以m＝(1,1，eq \r(2))，
设二面角A－PC－B为θ，
则cs θ＝eq \f(n·m,|n||m|)＝eq \f(1,1×\r(12＋12＋\r(2)2))＝eq \f(1,2)，
所以θ＝60°.
16．如图，已知长方形ABCD中，AB＝2eq \r(2)，AD＝eq \r(2)，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证：AD⊥BM；
(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E－AM－D的余弦值为eq \f(\r(5),5).
(1)证明 ∵在长方形ABCD中，AB＝2eq \r(2)，AD＝eq \r(2)，M为DC的中点，
∴AM＝BM＝2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，
∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM.
(2)解 取AM的中点O，则OD⊥AM，
又平面ADM⊥平面ABCM，所以OD⊥平面ABCM，
以O为原点，OA，ON，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，M(－1,0,0)，
D(0,0,1)，B(－1,2,0)，
eq \(MD,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，
设eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(DB,\s\up6(→))(0<λ<1)，
eq \(ME,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋λeq \(DB,\s\up6(→))＝(1－λ，2λ，1－λ)，
设平面AME的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AM,\s\up6(→))＝0，,m·\(ME,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＝0，,1－λx＋2λy＋1－λz＝0，))
取y＝1，得x＝0，y＝1，z＝eq \f(2λ,λ－1)，
所以m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(2λ,λ－1)))，
平面AMD的一个法向量为n＝(0,1,0)，
因为cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2λ,λ－1)))2))＝eq \f(\r(5),5)，解得λ＝eq \f(1,2)，
所以E为BD的中点．
一、两个平面法向量的夹角与两平面所成的角之间的关系
问题 如图，两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？
提示 两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角相等或互补；如图(1)，θ＝〈n1，n2〉，此时相等；如图(2)，θ＝π－〈n1，n2〉，此时互补．
知识梳理
设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成的角的大小为θ.
θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，
sin θ＝sin〈n1，n2〉．
注意点：(1)若求两个平面的夹角，直接利用公式cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
(2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角．
例1 已知二面角α－l－β，其中平面α的一个法向量m＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1,1)，则二面角α－l－β的大小可能为( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．30°
答案 C
解析 cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq \f(1,2)，
所以〈m，n〉＝120°，
又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，
所以二面角的大小可能是60°或120°.
反思感悟 区分二面角与两个平面夹角的概念及其角的取值范围是解决问题的关键．
跟踪训练1 设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cs θ|等于( )
A.eq \f(n1·n2,|n1||n2|) B.eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
C.eq \f(|n1||n2|,n1·n2) D.eq \f(|n1||n2|,|n1·n2|)
答案 B
解析 由题意，得cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)，而平面α与平面β的夹角θ与〈n1，n2〉相等或互补，所以|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
二、用法向量求平面与平面所成的角
例2 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD所成角的大小．
解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD，与AC交于点O，取AD的中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，
B(0，a,0)．∵eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，－\f(a,2)，\f(a,2)))，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，0，0))，
eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(b,0,0)．
∵eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(OE,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，即OE⊥AC，
又eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，0))，eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0.
∴eq \(OF,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，即OF⊥AC.
∴∠EOF为平面EAC与平面ABCD所成角．
cs〈eq \(OE,\s\up6(→))，eq \(OF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OE,\s\up6(→))·\(OF,\s\up6(→)),|\(OE,\s\up6(→))||\(OF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2).
∴平面EAC与平面ABCD所成的角为45°.
方法二 建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(b,0,0)．
设平面AEC的一个法向量为m＝(x，y，z)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AE,\s\up6(→))＝0，,m·\(AC,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,2)x－\f(a,2)y＋\f(a,2)z＝0，,bx＝0.))
∴x＝0，y＝z.取m＝(0,1,1)，
cs〈m，eq \(AP,\s\up6(→))〉＝eq \f(m·\(AP,\s\up6(→)),|m||\(AP,\s\up6(→))|)＝eq \f(a,\r(2)·a)＝eq \f(\r(2),2).
又平面EAC与平面ABCD所成角为锐角，
∴平面EAC与平面ABCD所成角为45°.
反思感悟 利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图．用坐标法解题的步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求或找两个平面的法向量n1，n2.
(3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cs θ＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝eq \f(1,2)AD＝1，CD＝eq \r(3).
(1)求证：PQ⊥AB.
(2)求二面角P－QB－M的余弦值．
(1)证明 在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，
所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD，所以PQ⊥底面ABCD.
又AB⊂平面ABCD，所以PQ⊥AB.
(2)解 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
Q为AD的中点，所以DQ＝BC，DQ∥BC，
所以四边形BCDQ为平行四边形．
因为AD⊥DC，所以AD⊥QB.
由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz，如图所示，
则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，eq \r(3))，C(－1，eq \r(3)，0)，B(0，eq \r(3)，0)，
则eq \(QB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，0)．
因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，PQ∩BQ＝Q，PQ，BO⊂平面PQB，所以AQ⊥平面PQB，
即eq \(QA,\s\up6(→))为平面PQB的一个法向量，且eq \(QA,\s\up6(→))＝(1,0,0)．
因为M是棱PC的中点，
所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，
所以eq \(QM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2))).
设平面MQB的法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(QB,\s\up6(→))＝0，,m·\(QM,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)y＝0，,－\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，))
所以可取m＝(eq \r(3)，0,1)，
所以cs〈eq \(QA,\s\up6(→))，m〉＝eq \f(\(QA,\s\up6(→))·m,|\(QA,\s\up6(→))||m|)＝eq \f(\r(3),2).
由题意，知二面角P－QB－M为锐角，
所以二面角P－QB－M的余弦值为eq \f(\r(3),2).
1.知识清单：
(1)二面角及其度量．
(2)利用空间向量求二面角的大小．
2．方法归纳：数形结合、转化、代入法．
3．常见误区：二面角的大小与两个平面法向量夹角间的关系易混淆．
1．平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A．－eq \f(9,25) B.eq \f(9,25)
C.eq \f(7,25) D．以上都不对
答案 B
解析 因为向量n1与n2的夹角θ满足cs θ＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(－9,5×5)＝－eq \f(9,25)，又平面α与平面β的夹角为锐角，故平面α与β夹角的余弦值等于eq \f(9,25).
2．在三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝eq \f(π,3)，则二面角A－BD－C的大小为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3)
C.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.eq \f(π,6)或eq \f(π,3)
答案 C
解析 当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝eq \f(π,3)；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3).
3．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑(bie na)是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝3，AC＝4，现将△ABD沿AD翻折成C－AB′D，使得四面体AB′CD为一个鳖臑，则二面角B′－AC－D的余弦值是________．
答案 eq \f(\r(7),4)
解析 在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝3，AC＝4，则BC＝5，AD＝eq \f(12,5)，BD＝eq \f(9,5)，CD＝eq \f(16,5)，
即在四面体AB′CD中，AD＝eq \f(12,5)，B′D＝eq \f(9,5)，CD＝eq \f(16,5)，AB′＝3，AC＝4，则B′D
可知需要B′C⊥平面ADB′，此时∠ADB′，∠ADC，∠DB′C，∠AB′C均为直角，即满足四面体AB′CD为一个鳖臑，
则B′C＝eq \r(CD2－B′D2)＝eq \r(7)，
在长，宽，高分别为eq \r(7)，eq \f(9,5)，eq \f(12,5)的长方体中作出四面体ADB′C，
以D为坐标原点建立空间直角坐标系(图略)，
则D(0,0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(12,5)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(7)，\f(9,5)，0))，B′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9,5)，0))，
eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(12,5)))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(7)，\f(9,5)，0))，eq \(DB′,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9,5)，0))，eq \(B′C,\s\up6(————→))＝(eq \r(7)，0,0)，
设向量m＝(x1，y1，z1)为平面ACD的一个法向量，向量n＝(x2，y2，z2)为平面B′AC的一个法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(DA,\s\up6(→))＝\f(12,5)z1＝0，,m·\(DC,\s\up6(→))＝\r(7)x1＋\f(9,5)y1＝0，))
可取m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(7)，－\f(35,9)，0))，
同理可取n＝(0,12,9)，
cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(－\f(35,9)×12,\f(16\r(7),9)×15)＝－eq \f(\r(7),4)，
又因为二面角B′－AC－D为锐角，
所以二面角B′－AC－D的余弦值是eq \f(\r(7),4).
4．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(2,7)
解析 由题意知，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0,3)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
由n·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，n·eq \(AC,\s\up6(→))＝0知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2y＝0，,－x＋3z＝0.))
令x＝2，则y＝1，z＝eq \f(2,3).
所以平面ABC的法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1，\f(2,3))).平面xOy的法向量为eq \(OC,\s\up6(→))＝(0,0,3)．
所以所求角的余弦值cs θ＝eq \f(|n·\(OC,\s\up6(→))|,|n||\(OC,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3×\f(7,3))＝eq \f(2,7).
1．平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案 C
解析 由于n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，
所以n1⊥n2，故α⊥β，α与β所成的角是90°.
2．若二面角α－l－β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角为( )
A．120° B．60°
C．120°或60° D．30°或150°
答案 C
解析 二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°.
3．若二面角α－l－β为eq \f(π,3)，直线m⊥α，则平面β内的所有直线与m所成角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))
答案 B
解析 由二面角α－l－β的大小为eq \f(π,3)，直线m⊥α，得m与β所成的角的大小为eq \f(π,6)，于是β所在平面内的直线与m所成的角的最小值为eq \f(π,6)，最大值为eq \f(π,2).
4．若120°的二面角α－l－β的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( )
A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 B
解析 由题意，可得如下示意图，由二面角α－l－β为120°，棱l上有A，B两点，且AC⊥l，BD⊥l，
且AB＝AC＝BD＝1，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝eq \(CD,\s\up6(→))2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝3＋1＝4，
∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2，CD＝2.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，则A1(0,0,1)，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，D(0,1,0)，
∴eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(0,1，－1)，eq \(A1E,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，－\f(1,2))).
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(A1D,\s\up6(—→))·n1＝0，,\(A1E,\s\up6(—→))·n1＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－z＝0，,1－\f(1,2)z＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝2，))∴n1＝(1,2,2)．
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
∴|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(2,3×1)＝eq \f(2,3)，
即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为eq \f(2,3).
6．(多选)一个二面角的两个半平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则这个二面角的大小为( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
答案 AD
解析 设二面角的平面角为θ，∵cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,1×\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，∴θ＝45°或135°.
7．平面α的法向量n1＝(1，－1，eq \r(3))，平面β的法向量n2＝(－1,0，eq \r(3))，则平面α与平面β所成角的正弦值为________．
答案 eq \f(2\r(5),5)
解析 设平面α与平面β所成的角为θ，
cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(2,\r(5)×2)＝eq \f(\r(5),5)，
∴cs θ＝eq \f(\r(5),5)，∴sin θ＝eq \f(2\r(5),5).
8.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，则二面角B1－A1C－C1的大小为________．
答案 eq \f(π,3)
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
则由题意可知B(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，
设AC的中点为M，连接BM，
则BM⊥AC，
又由题意知BM⊥CC1，
又AC∩CC1＝C，
所以BM⊥平面A1C1C，
即eq \(BM,\s\up6(→))＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的法向量是n＝(x，y，z)．
eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(－2,2，－2)，eq \(A1B1,\s\up6(——→))＝(－2,0,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1B1,\s\up6(——→))＝－2x＝0，,n·\(A1C,\s\up6(—→))＝－2x＋2y－2z＝0，))
令z＝1，可得n＝(0,1,1)．
设法向量n与eq \(BM,\s\up6(→))的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角．
所以cs θ＝|cs φ|＝eq \f(|n·\(BM,\s\up6(→))|,|n||\(BM,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，解得θ＝eq \f(π,3)，
所以二面角B1－A1C－C1的大小为eq \f(π,3).
9.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AD＝2AB，M为BC的中点，平面A1D1DA⊥平面ABCD，AA1⊥A1D且A1A＝A1D.
(1)证明：∠B1A1D＝90°；
(2)若此四棱柱的体积为2，求二面角A－A1B－M的正弦值．
(1)证明 因为平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面A1D1DA，
因为AB∥A1B1，
所以A1B1⊥平面A1D1DA，
又因为A1D⊂平面A1D1DA，
所以A1B1⊥A1D，即∠B1A1D＝90°.
(2)解 如图，取AD的中点O，连接A1O，因为A1A＝A1D，所以A1O⊥AD，
又因为平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以A1O⊥平面ABCD，
所以A1O为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高，
设AB＝a，则AD＝2a，OA1＝a，
所以四棱柱的体积V＝S矩形ABCD×OA1＝a×2a×a＝2a3＝2，
解得a＝1.
以O为坐标原点，eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OA1,\s\up6(→))分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，M(1,0,0)，eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(0,1，－1)，eq \(BM,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq \(A1M,\s\up6(—→))＝(1,0，－1)，
因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又A1D⊥A1A，A1A∩AB＝A，
所以A1D⊥平面A1B1BA，所以平面AA1B的一个法向量为n1＝eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(0,1，－1)，
设平面A1BM的法向量为n2＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(BM,\s\up6(→))＝0，,n2·\(A1M,\s\up6(—→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝0，,x－z＝0，))
令x＝1，则n2＝(1,0,1)．
设二面角A－A1B－M的平面角为θ，
则|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，
所以sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(3),2)，
即二面角A－A1B－M的正弦值为eq \f(\r(3),2).
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq \f(1,2)AD，E为棱AD的中点，PA⊥CD.
(1)证明：CD⊥平面PAD；
(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
(1)证明 ∵∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD＝A，PA，PD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
(2)解 ∵PA⊥CD，PA⊥AB，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD.又PD⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角，
∴∠PDA＝45°.
如图，以A为原点，AD，AP所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
∴eq \(PE,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，eq \(EC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,0,2)．
设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PE,\s\up6(→))＝x－2z＝0，,n·\(EC,\s\up6(→))＝x＋y＝0，))取x＝2，
则n＝(2，－2,1)为平面PCE的一个法向量．
设直线PA与平面PCE所成的角为α，
则sin α＝|cs〈n，eq \(AP,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|n·\(AP,\s\up6(→))|,|n||\(AP,\s\up6(→))|)
＝eq \f(2,2\r(22＋－22＋12))＝eq \f(1,3)，
∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值为eq \f(1,3).
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1，0,0)，B1(0，2,2)，|C1(0|，0,2)，设AD＝a(a>0)，则点D的坐标为(1,0，a)，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝(1,0，a)，eq \(CB1,\s\up6(—→))＝(0,2,2)．
设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CB1,\s\up6(—→))＝0，,n·\(CD,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＋2z＝0，,x＋az＝0，))令z＝－1，
得n＝(a,1，－1)．
又平面C1DC的一个法向量为m＝(0,1,0)，
∴cs 60°＝eq \f(|m·n|,|m||n|)，即eq \f(1,\r(a2＋2))＝eq \f(1,2)，
∴a＝eq \r(2)(负值舍去)，即AD＝eq \r(2).
12．已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝5eq \r(2)，则这个二面角的度数为( )
A．30° B．45° C．90° D．150°
答案 C
解析 设这个二面角的度数为α，
由题意得eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2|eq \(CA,\s\up6(→))|·|eq \(BD,\s\up6(→))|cs (π－α)，
∴(5eq \r(2))2＝9＋25＋16－2×3×4×cs α，
解得cs α＝0，∴α＝90°，
∴这个二面角的度数为90°.
13.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(2\r(6),5)
答案 B
解析 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(6,0,6)，D(0,0,0)，C1(0,6,6)，
由题意知，当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F，C1共面，
设平面A1DE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，eq \(DA1,\s\up6(—→))＝(6,0,6)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(6,3,0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(DA1,\s\up6(—→))＝6x1＋6z1＝0，,n1·\(DE,\s\up6(→))＝6x1＋3y1＝0，))
取x1＝1，解得n1＝(1，－2，－1)，
设平面C1DF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，eq \(DC1,\s\up6(—→))＝(0,6,6)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(3,6,0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(DC1,\s\up6(—→))＝6y2＋6z2＝0，,n2·\(DF,\s\up6(→))＝3x2＋6y2＝0，))
取x2＝2，解得n2＝(2，－1,1)，
设平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角为θ，
则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(3,\r(6)×\r(6))＝eq \f(1,2)，
∴平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为eq \f(1,2).
14．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的角的正切值为________．
答案 eq \f(\r(2),3)
解析 方法一 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示．
设正方体的棱长为3，
则GB＝BC＝3，
作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求锐二面角的平面角．
∵BH＝eq \f(3\r(2),2)，EB＝1，
∴tan∠EHB＝eq \f(EB,BH)＝eq \f(\r(2),3).
∴平面AEF与平面ABC所成角的正切值为eq \f(\r(2),3).
方法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设DA＝1，由已知条件得A(1，0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,3)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(2,3)))，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,3)))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(2,3)))，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AF,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)z＝0，,－x＋y＋\f(2,3)z＝0.))
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)，
取平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)，
则cs θ＝|cs〈n，m〉|＝eq \f(|n·m|,|n|·|m|)＝eq \f(3\r(11),11)，
tan θ＝eq \f(\r(2),3).
∴平面AEF与平面ABC所成角的正切值为eq \f(\r(2),3).
15.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝1，则二面角A－PC－B的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，建立空间直角坐标系，因为PA＝AB＝BC＝1，
所以A(0,0,0)，C(0，eq \r(2)，0)，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，P(0,0,1)，
eq \(CP,\s\up6(→))＝(0，－eq \r(2)，1)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，
显然平面APC的一个法向量可以为n＝(1,0,0)，
设平面BPC的法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(CP,\s\up6(→))＝0，,m·\(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(2)y＋z＝0，,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y＝0，))
令y＝1，则z＝eq \r(2)，x＝1，所以m＝(1,1，eq \r(2))，
设二面角A－PC－B为θ，
则cs θ＝eq \f(n·m,|n||m|)＝eq \f(1,1×\r(12＋12＋\r(2)2))＝eq \f(1,2)，
所以θ＝60°.
16．如图，已知长方形ABCD中，AB＝2eq \r(2)，AD＝eq \r(2)，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证：AD⊥BM；
(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E－AM－D的余弦值为eq \f(\r(5),5).
(1)证明 ∵在长方形ABCD中，AB＝2eq \r(2)，AD＝eq \r(2)，M为DC的中点，
∴AM＝BM＝2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，
∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM.
(2)解 取AM的中点O，则OD⊥AM，
又平面ADM⊥平面ABCM，所以OD⊥平面ABCM，
以O为原点，OA，ON，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，M(－1,0,0)，
D(0,0,1)，B(－1,2,0)，
eq \(MD,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，
设eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(DB,\s\up6(→))(0<λ<1)，
eq \(ME,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋λeq \(DB,\s\up6(→))＝(1－λ，2λ，1－λ)，
设平面AME的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AM,\s\up6(→))＝0，,m·\(ME,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＝0，,1－λx＋2λy＋1－λz＝0，))
取y＝1，得x＝0，y＝1，z＝eq \f(2λ,λ－1)，
所以m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(2λ,λ－1)))，
平面AMD的一个法向量为n＝(0,1,0)，
因为cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2λ,λ－1)))2))＝eq \f(\r(5),5)，解得λ＝eq \f(1,2)，
所以E为BD的中点．
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