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人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.1 直线的倾斜角与斜率教学ppt课件
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.1 直线的倾斜角与斜率教学ppt课件，共59页。PPT课件主要包含了直线的倾斜角，知识梳理，逆时针，最小正角，倾斜角，°～180°，反思感悟，°或120°，直线的斜率，tanθ等内容，欢迎下载使用。
1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.
2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系.
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝ ＝ .若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的 按 方向旋转到与直线重合时所转的 记为θ，则称θ为这条直线的 .(1)倾斜角θ的取值范围是 .(2)直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为 ；直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为 .(3)每一条直线都有 的倾斜角.
(1)(多选)下列命题中，正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为－30°C.倾斜角为0°的直线有无数条D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误.
(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°C.90°<α<180° D.0°<α<180°
直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答.(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 .
有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 .
设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
问题2 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(1)已知直线l经过O(0,0)，P( ，1)，α与O，P的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2( ，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
1.定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝ 为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率 .2.两点的斜率公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝ ，当x1＝x2时，直线l的斜率 ；当y1＝y2时，直线l的斜率为 .
(1)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.(2)k＝ ，要求分子、分母下标的顺序一致.(3)与x轴平行或重合的直线斜率为0.(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在.
(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.①A(2,3)，B(4,5)；
则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
②C(－2,3)，D(2，－1)；
则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
③P(－3,1)，Q(－3,10).
不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.
当a＝3时，斜率不存在；
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 .
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 .
问题3 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.特别注意：找到斜率不存在的直线.
已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
1.知识清单： (1)直线的倾斜角. (2)直线的斜率以及两点的斜率公式. (3)倾斜角和斜率的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.
1.(多选)下列说法正确的是A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B.若k是直线的斜率，则k∈RC.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2.若经过A(m,2)，B(4,5)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于A.2 B.1 C.－1 D.－2
3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为A.－1 B.1 C.2 D.
4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 .(其中m≥1)
当m＝1时，倾斜角α＝90°；
∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5)
D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
2.已知点A( ，1)，B( ，3)，则直线AB的倾斜角θ是A.60° B.30°C.120° D.150°
3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1
设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0.
5.(多选)已知直线斜率的绝对值为 ，则直线的倾斜角可以为A.30° B.60° C.120° D.150°
故直线的倾斜角为60°或120°.
6.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为A.(0,1) B.(－1,0)C.(3,0) D.(0，－3)
若设点P的坐标为P(x,0)，
若设点P的坐标为P(0，y)，
∴y＝－3，即P(0，－3).故选CD.
7.已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围为 .
如图所示，直线l过点A且不经过第四象限，则直线l在l2与l1之间，∴ ，又 ＝0， ＝2，∴0≤kl≤2.
8.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 .
因为直线的倾斜角为钝角，
9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：(1)直线l与x轴平行？
若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1.
(2)直线l与y轴平行？
若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.
(3)直线的倾斜角为45°？
由题意可知，直线l的斜率k＝1，
(4)直线的倾斜角为锐角？
由题意可知，直线l的斜率k>0，
10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是A.－2 B.－1 C.1 D.2
设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A′(a－2，b＋2)，
12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是
∵直线l与线段AB始终没有交点，
13.已知直线l1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为 ，两直线l1与l2的斜率之和为 .
如图，∵l1与l2关于x轴对称，∴α＝β＝γ.又θ＋α＋β＝π，∴θ＋α＝π－β＝π－α.故l2的倾斜角为π－α.∴ ＝tan α＋tan(π－α)＝tan α－tan α＝0.
14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为 .
设直线AB与x轴的交点为C(图略)，则∠ACO＝180°－∠CAO－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO＝180°－∠CAO－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
15.若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为 .
(－∞，1)∪(1，＋∞)
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
16.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求 的取值范围.
1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.
2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系.
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝ ＝ .若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的 按 方向旋转到与直线重合时所转的 记为θ，则称θ为这条直线的 .(1)倾斜角θ的取值范围是 .(2)直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为 ；直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为 .(3)每一条直线都有 的倾斜角.
(1)(多选)下列命题中，正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为－30°C.倾斜角为0°的直线有无数条D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误.
(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°C.90°<α<180° D.0°<α<180°
直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答.(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 .
有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 .
设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
问题2 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(1)已知直线l经过O(0,0)，P( ，1)，α与O，P的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2( ，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
1.定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝ 为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率 .2.两点的斜率公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝ ，当x1＝x2时，直线l的斜率 ；当y1＝y2时，直线l的斜率为 .
(1)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.(2)k＝ ，要求分子、分母下标的顺序一致.(3)与x轴平行或重合的直线斜率为0.(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在.
(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.①A(2,3)，B(4,5)；
则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
②C(－2,3)，D(2，－1)；
则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
③P(－3,1)，Q(－3,10).
不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.
当a＝3时，斜率不存在；
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 .
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 .
问题3 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.特别注意：找到斜率不存在的直线.
已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
1.知识清单： (1)直线的倾斜角. (2)直线的斜率以及两点的斜率公式. (3)倾斜角和斜率的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.
1.(多选)下列说法正确的是A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B.若k是直线的斜率，则k∈RC.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2.若经过A(m,2)，B(4,5)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于A.2 B.1 C.－1 D.－2
3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为A.－1 B.1 C.2 D.
4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 .(其中m≥1)
当m＝1时，倾斜角α＝90°；
∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5)
D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
2.已知点A( ，1)，B( ，3)，则直线AB的倾斜角θ是A.60° B.30°C.120° D.150°
3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1
设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0.
5.(多选)已知直线斜率的绝对值为 ，则直线的倾斜角可以为A.30° B.60° C.120° D.150°
故直线的倾斜角为60°或120°.
6.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为A.(0,1) B.(－1,0)C.(3,0) D.(0，－3)
若设点P的坐标为P(x,0)，
若设点P的坐标为P(0，y)，
∴y＝－3，即P(0，－3).故选CD.
7.已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围为 .
如图所示，直线l过点A且不经过第四象限，则直线l在l2与l1之间，∴ ，又 ＝0， ＝2，∴0≤kl≤2.
8.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 .
因为直线的倾斜角为钝角，
9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：(1)直线l与x轴平行？
若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1.
(2)直线l与y轴平行？
若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.
(3)直线的倾斜角为45°？
由题意可知，直线l的斜率k＝1，
(4)直线的倾斜角为锐角？
由题意可知，直线l的斜率k>0，
10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是A.－2 B.－1 C.1 D.2
设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A′(a－2，b＋2)，
12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是
∵直线l与线段AB始终没有交点，
13.已知直线l1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为 ，两直线l1与l2的斜率之和为 .
如图，∵l1与l2关于x轴对称，∴α＝β＝γ.又θ＋α＋β＝π，∴θ＋α＝π－β＝π－α.故l2的倾斜角为π－α.∴ ＝tan α＋tan(π－α)＝tan α－tan α＝0.
14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为 .
设直线AB与x轴的交点为C(图略)，则∠ACO＝180°－∠CAO－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO＝180°－∠CAO－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
15.若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为 .
(－∞，1)∪(1，＋∞)
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
16.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求 的取值范围.
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