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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质示范课ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质示范课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了椭圆的几何性质，知识梳理，x轴和y轴，－aa，－bb，注意点，反思感悟，由几何性质求标准方程，椭圆的离心率，随堂演练等内容，欢迎下载使用。
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
问题1 观察椭圆 ＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)中心O既是长轴中点又是短轴中点，也是F1F2的中点.(3)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(4)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
e＝ ，e∈ .当e越趋近于1时，椭圆越 .当e越趋近于0时，椭圆越接近于 .
设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.
已知椭圆C1： ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
几何性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；
求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为 ，焦距为8；
由题意知，2c＝8，c＝4，
从而b2＝a2－c2＝48，
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 ；
(3)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3,0).
依题意得a＝3b，若点(3,0)为长轴端点，则a＝3，b＝1，
若点(3,0)为短轴端点，则b＝3，a＝9，
在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.
根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
同理可求出当焦点在y轴上时，
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6；
(3)与椭圆9x2＋4y2＝36焦点相同且短轴长为2.
又短轴长为2，∴2b＝2，∴b＝1，即a2＝b2＋c2＝6，
设椭圆C： ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为_____.
方法一 由题意可设|PF2|＝m，
方法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
延伸探究若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率.
在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解.(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
当k>4时，c2＝k－4，
当0
1.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，
又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.
但焦点所在的坐标轴不同.
因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，
7.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为__________.
由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
8.已知椭圆的半短轴长为1，离心率0
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，
10.如图，已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
(2)若椭圆的焦距为2，且 ，求椭圆的标准方程.
由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
又c2＝1，所以b2＝2，
由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
设椭圆的右焦点为F′，则由椭圆的定义得|P1F|＋|P1F′|＝10，由椭圆的对称性，知|P1F′|＝|P7F|，∴|P1F|＋|P7F|＝10.同理，可知|P2F|＋|P6F|＝10，|P3F|＋|P5F|＝10.又|P4F|＝5，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝35.
如图，切线PA，PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，
15.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，
短轴长与杯底直径相等，即为6厘米，
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
问题1 观察椭圆 ＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)中心O既是长轴中点又是短轴中点，也是F1F2的中点.(3)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(4)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
e＝ ，e∈ .当e越趋近于1时，椭圆越 .当e越趋近于0时，椭圆越接近于 .
设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.
已知椭圆C1： ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
几何性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；
求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为 ，焦距为8；
由题意知，2c＝8，c＝4，
从而b2＝a2－c2＝48，
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 ；
(3)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3,0).
依题意得a＝3b，若点(3,0)为长轴端点，则a＝3，b＝1，
若点(3,0)为短轴端点，则b＝3，a＝9，
在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.
根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
同理可求出当焦点在y轴上时，
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6；
(3)与椭圆9x2＋4y2＝36焦点相同且短轴长为2.
又短轴长为2，∴2b＝2，∴b＝1，即a2＝b2＋c2＝6，
设椭圆C： ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为_____.
方法一 由题意可设|PF2|＝m，
方法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
延伸探究若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率.
在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解.(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
当k>4时，c2＝k－4，
当0
1.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，
又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.
但焦点所在的坐标轴不同.
因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，
7.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为__________.
由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
8.已知椭圆的半短轴长为1，离心率0
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，
10.如图，已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
(2)若椭圆的焦距为2，且 ，求椭圆的标准方程.
由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
又c2＝1，所以b2＝2，
由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
设椭圆的右焦点为F′，则由椭圆的定义得|P1F|＋|P1F′|＝10，由椭圆的对称性，知|P1F′|＝|P7F|，∴|P1F|＋|P7F|＝10.同理，可知|P2F|＋|P6F|＝10，|P3F|＋|P5F|＝10.又|P4F|＝5，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝35.
如图，切线PA，PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，
15.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，
短轴长与杯底直径相等，即为6厘米，
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