人教B版 (2019)2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案

这是一份人教B版 (2019)2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案，共15页。学案主要包含了双曲线中的焦点三角形，双曲线中焦半径的最值，共渐近线的双曲线的设法等内容，欢迎下载使用。

习题课　双曲线的几何性质的综合问题
学习目标　1.熟练掌握双曲线的性质.2.掌握双曲线中和三角形有关的问题及有关最值.3.掌握共渐近线的双曲线的设法．
一、双曲线中的焦点三角形
例1　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，则△F1PF2的面积为________．

答案　16
解析　双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，且0°<∠F1PF2<180°，
所以∠F1PF2＝90°，
故＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
延伸探究
将本例中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积．
解　由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
反思感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a.
(2)利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式．
(3)通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值．
(4)利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(5)双曲线焦点三角形面积常用＝.
(6)通径公式.
跟踪训练1　设F1，F2是双曲线C：－＝1的两个焦点，P为双曲线C上一点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为________．
答案　4或
解析　①当∠F1PF2＝90°时
∵双曲线C：－＝1，∴a＝3，b＝2.
根据c＝＝，
不妨设|PF1|>|PF2|，
∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|F1F2|＝2c＝2，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|，
即|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|，
故(2)2＝62＋2|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S＝|PF1|·|PF2|＝4.
②当∠PF1F2＝90°时，
根据双曲线通径公式可得|PF1|＝＝，
∴S＝|PF1|·|F1F2|＝××2＝.
同理，当∠PF2F1＝90°时，S＝.
综上所述，△PF1F2的面积为4或.
二、双曲线中焦半径的最值
问题　类比求椭圆的焦半径，你能求双曲线的焦半径的取值范围吗？
提示　|PF|≥c－a.
例2　(1)已知定点A，B且|AB|＝4，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则|MA|的最小值是(　　)
A．1＋ B．2 C．3 D.－1
答案　C
解析　设定点A在点B的左边，
因为|AB|＝4，|MA|－|MB|＝2<|AB|，
所以根据双曲线的定义可知点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则c＝2,2a＝2，a＝1，
当M在双曲线的右顶点时，|MA|有最小值，
最小值为a＋c＝2＋1＝3.
(2)已知A(－4,0)，B是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．9 B．2＋6 C．10 D．12
答案　C
解析　由题意知点C(1,4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－1，

由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A′为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.
反思感悟　求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决．
跟踪训练2　(1)平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|＝6＋|PB|，则|PB|的最小值为________．
答案　2
解析　因为|PA|＝6＋|PB|，
所以|PA|－|PB|＝6<|AB|，
因此动点P在以A，B为左、右焦点的双曲线的右支上，a＝3，c＝5，从而|PB|的最小值为c－a＝2.
(2)已知定点A(3,1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A. B．5＋4 C．5－4 D.＋4
答案　C
解析　设F1是双曲线的左焦点，

根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a，
所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，
结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5，
当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P′处取得最小值，所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，
所以|PA|＋|PF|的最小值为5－4.
三、共渐近线的双曲线的设法
例3　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
∵点M(3，－2)在双曲线上，
∴－＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.②
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.③
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟　(1)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(2)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
(3)等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练3　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．
解　(1)设双曲线C：－＝λ(λ≠0)，
把点M(，－)，代入方程得λ＝－，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知双曲线C：x2－＝1，
∴a＝1，b＝，c＝，
∴实轴长为2a＝2，离心率为e＝＝，
设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，
∴d＝＝，
即焦点到渐近线的距离为.

1.知识清单：
(1)双曲线焦点三角形的面积．
(2)双曲线的焦半径．
(3)共渐近线的双曲线的设法．
2．方法归纳：转化法、数形结合法．
3．常见误区：求焦半径时要注意点P与焦点是否在同一侧．

1．点M为双曲线－x2＝1上任意一点，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
答案　B
解析　设M(x，y)，|OM|＝，
∵点M在双曲线－x2＝1上，∴x2＝－1，|y|≥，
∴|OM|＝＝≥.
2．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　)
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
答案　D
解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
3．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
答案　C
解析　由题意得解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则＝|PF1||PF2|＝24.
4．已知A(－3,0)，B是圆x2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．9 B．2＋4
C．8 D．7
答案　C
解析　如图所示，设圆心为C，

双曲线右焦点为A′(3,0)，
且|PB|≥|PC|－1，|PA|＝|PA′|＋4，
所以|PB|＋|PA|≥|PC|＋|PA′|＋3≥|A′C|＋3＝8，当且仅当A′，B，C三点共线时取得等号．


1．与双曲线－＝1有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±x，
即＝，
离心率e＝＝＝.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－，0)，点A的坐标为(0,2)，点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　D
解析　由题意知双曲线的右焦点F1(，0)，
即c＝，|AF|＝＝3，
点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知
|PF|－|PF1|＝2a，
∴|PF|＝|PF1|＋2a，
∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|
＝|AF|＋|AP|＋|PF1|＋2a，
当点A，P，F1共线时，周长最小，
即|AF|＋|AF1|＋2a＝8，解得a＝1，
故离心率e＝.
3．若圆x2＋(y－)2＝r2与双曲线－＝1没有公共点，则半径r的取值范围是(　　)
A．0 C．0 答案　C
解析　若圆x2＋(y－)2＝r2与双曲线－＝1没有公共点，则半径r小于双曲线上的点到圆心距离的最小值，设双曲线上任意点P(x，y)，圆心A(0，)，
则|PA|＝＝
＝，
当y＝时，|PA|取得最小值为，
∴半径r的取值范围是0 4．已知F2是双曲线C：－＝1的右焦点，动点A在双曲线左支上，点B为圆E：x2＋(y＋2)2＝1上一点，则|AB|＋|AF2|的最小值为(　　)
A．9 B．8 C．5 D．6
答案　A
解析　双曲线－＝1中，a＝3，b＝，c＝＝2，F1(－2，0)，圆E的半径为r＝1，E(0，－2)，

∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝|AF1|＋6，|AB|≥|AE|－|BE|＝|AE|－1(当且仅当A，E，B共线且B在A，E间时取等号)．
∴|AB|＋|AF2|≥|AF1|＋6＋|AE|－1＝|AF1|＋|AE|＋5≥|EF1|＋5＝＋5＝9，当且仅当A是线段EF1与双曲线的交点时取等号．
∴|AB|＋|AF2|的最小值是9.
5．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案　D
解析　易得双曲线－＝1的焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M，F1三点共线(M为PF1的延长线与圆的交点)以及P与N，F2三点共线(N为线段PF2与圆的交点)时，所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.
6．(多选)已知在等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式正确的是(　　)
A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2
C．e1e2＝2 D.>2
答案　BCD
解析　设△ABC的边长为2，由题意，可求得椭圆的离心率e1＝＝－1，双曲线的离心率e2＝＝＋1，所以e2＋e1＝2，e1e2＝2，e2－e1＝2，＝2＋>2，故选BCD.
7．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________________．
答案　－＝1
解析　由－y2＝1，
得双曲线的渐近线方程为y＝±x.
设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ<0)，
所以－＝1.
所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.
故双曲线方程为－＝1.
8．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
答案　－y2＝1
解析　由
⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝，所以b＝1，
故双曲线的方程为－y2＝1.
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解　(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ>0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；
当λ<0时，－＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1.
故所求双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，试求△MF1F2的面积．
解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，
且c＝，
故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为点M在双曲线上，且|MF1|＝2|MF2|，
所以点M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2，
故|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，
cos∠F1MF2＝＝，
所以sin∠F1MF2＝，
＝×|MF1|·|MF2|×sin∠F1MF2
＝×4×2×＝2.

11．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2，得d＋d＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cos∠F1PF2＝.
12．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．1 B．4 C．7 D．9
答案　B
解析　在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝，
设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵∠F1PF2＝60°，
∴在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.
13．若双曲线－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A．1 B.
C．2 D．4
答案　A
解析　设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2，
已知|PF1|＋|PF2|＝2，
解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|PF1|·|PF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，
∴＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1.
14．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________．
答案　2
解析　由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为
F1(－，0)，F2(，0)．
设点P(x，y)，
则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．
∵·＝0，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
∴|＋|＝＝＝2.

15．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＋8，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2 B．10 C．8 D．6
答案　B
解析　设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为＋8，
所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，
所以R＝2，
所以＝·2c·R＝10.
16.如图所示，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程．

解　由题意得||PF1|－|PF2||＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝
＝，
∴|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.
∴＝|PF1||PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2.
∴b2＝12，b2＝12.
由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.