高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量课文课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量课文课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理，〈v1v2〉，π－〈v1v2〉，sin〈v1v2〉，v1·v2＝0，反思感悟，方法一基底法，异面直线与空间向量，MN⊥l1，MN⊥l2等内容，欢迎下载使用。

1.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间两条直线所成的角.
2.了解空间中两条异面直线的公垂线段.
　　同学们，生活中，我们经常听到换个角度思考问题，尤其是在解决数学问题时，对于相同的问题，因对角度的理解不同，会导致不同的结果，从而启发我们，看问题要全面，透过现象看本质，只有从正确的角度出发，让视野开阔，才能得出我们想要的答案.
空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系
问题1　空间中两直线所成的角与它们的方向向量之间的夹角相等吗？
提示　不相等；两向量夹角的范围是[0，π]，而两直线所成的角的范围是　　 .
空间中两条直线所成的角v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.
如图，则①θ的范围为 .②θ＝ 或θ＝ .③sin θ＝ 或cs θ＝ .④l1⊥l2⇔ ⇔ .
|cs〈v1，v2〉|
若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于
设l1与l2的夹角为θ，
一般地，设两直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为a，b，则有cs θ＝|cs〈a，b〉|＝ .若求正弦值，则利用平方关系即可，sin θ＝ .
若异面直线l1，l2的方向向量的夹角为120°，则异面直线l1与l2所成的角等于______.
空间中两条直线所成的角
如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角.
故直线EF与直线CD所成的角是45°.方法二　(坐标法)
以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，
∴异面直线EF和CD所成的角是45°.方法三　(几何法)设正方体的棱长为1，连接A1D，DC1(图略)，则F在线段A1D上且是线段A1D的中点，又因为E为A1C1的中点，
故EF是△A1DC1的中位线，故有EF∥DC1，则∠CDC1即为直线EF与直线CD所成的角，
即Rt△CDC1为等腰直角三角形，所以∠CDC1＝45°，故直线EF与直线CD所成的角是45°.
(1)向量所成角与空间直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而空间直线所成角的范围是 ，故空间直线所成角的余弦值一定大于或等于0.(2)求空间直线所成角的三种方法①几何法：平移直线(两条或一条)到一个公共点，再通过解三角形求角.②基底法：确定一个基底，用基底表示两直线的方向向量.③坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量.
长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是侧面A1B1C1D1与侧面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值.
如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，
问题2　如果空间两直线没有交点，这两条直线一定平行吗？
提示　不一定，根据直线的分类，我们把空间直线分为共面直线和异面直线，共面直线包括平行直线和相交直线，而异面直线说的是这两条直线不同在一个平面内.
异面直线与空间向量1.异面直线的判定如图(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，可知v1，v2， 是不共面的；反之，如果v1，v2， 不共面，则l1与l2是异面的.也就是说，此时“v1，v2， 不共面”是“l1与l2异面”的 　　条件.
2.异面直线间的距离一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2， ， ，则称MN为l1与l2的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的 .
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线的距离.
如图，以AC中点O为原点，以OA，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系Oxyz.
假设MN为BA1与CB1的公垂线，即∃M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1，
又MN⊥BA1，MN⊥CB1，
故在BA1与CB1上存在点M，N，
两条异面直线的公垂线有且仅有一条.即一条直线与两异面直线都相交且垂直，利用几何知识很难找到.利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单.求解时要注意先建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，就能找到M，N.
已知三棱锥S－ABC中，SA＝BC＝13，SB＝AC＝14，SC＝AB＝15，求异面直线AS与BC的距离.
构造如图所示的长方体，使得长方体中三个相邻矩形的对角线长分别为13,14,15.设AD＝x，BD＝y，SD＝z，则x2＋y2＝AB2，y2＋z2＝SB2，x2＋z2＝SA2，
由长方体性质，可知BD⊥平面ADSF，BD⊥平面BGCE，平面ADSF∥平面BGCE，则BD为平面ADSF和平面BGCE之间的距离，又AS⊂平面ADSF，BC⊂平面BGCE，则BD的长度就是异面直线AS与BC的距离，
1.知识清单： (1)空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系. (2)两异面直线的公垂线段.2.方法归纳：数形结合、转化与化归.3.常见误区：两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角之间的关系易混淆.
1.已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是
以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，
3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是A.平行 B.相交C.异面垂直 D.异面不垂直
建立坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，1,2)，
则直线NO，AM的位置关系是异面垂直.
4.已知两条空间直线a，b的夹角为60°，a，b分别为直线a，b的方向向量，则〈a，b〉＝____________.
由空间中两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系可知，〈a，b〉＝60°或120°.
1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2的夹角为A.30° B.150°C.30°或150° D.以上均不对
根据异面直线所成角的定义即知l1，l2所成角为30°.
a·b＝2－λ＋4＝6－λ，
3.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为
如图，建立空间直角坐标系，则A1(3,0,0)，B(3,3,3)，
4.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，
不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，取BC的中点E，连接OE，PE，则OE⊥BC，PE⊥BC，所以∠PEO为侧面PBC与底面ABCD所成的角，
取底面正方形的中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
6.(多选)如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是A.GH与EF平行B.BD与MN为异面直线C.GH与MN成60°角D.DE与MN垂直
如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，A不正确；BD与MN为异面直线，B正确；GH∥AD，MN∥AF，而∠DAF＝60°，∴∠GHM＝60°，∴GH与MN成60°角，C正确；连接AG，FG，AG⊥DE，FG⊥DE，∴DE⊥平面AFG，∴DE⊥AF，又MN∥AF，∴DE与MN垂直，D正确.
7.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为______.
8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是_____.
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，E(0,0,1)，F(1，1,0)，
9.如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点.
(1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值；
如图，以O为原点， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系.由题设，知A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，
(2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长.
因为C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
10.已知圆柱的底面半径为3，高为4，A，B两点分别在两底面圆周上，并且AB＝5，求异面直线AB与轴OO′之间的距离.
如图，直线AB与轴OO′之间的距离等于轴OO′与平面ABC的距离，由图形可知，直线AB与轴OO′之间的距离等于O′到BC的距离，∵AB＝5，AC＝4，且AC⊥BC，
11.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为
不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
12.已知四面体O－ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为
13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝ A1D，AF＝ AC，则A.EF至多与A1D，AC之一垂直B.EF⊥A1D，EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面
如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则E(1,0,1)，F(2,1,0)，A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，D(0，0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，
∴EF⊥AC，EF⊥A1D.
14.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC＝1，则异面直线SB与AC之间的距离为____.
构造如图所示的正方体，取AB的中点O，连接OD交AC于点E，连接OM交SB于点F，由平面几何知识可知，
所以EF∥DM.又因为AC⊥BD，AC⊥BM，所以AC⊥平面BDM，AC⊥DM，因为EF∥DM，所以AC⊥EF.
同理可证SB⊥DM，所以SB⊥EF，所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段，
15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上(包括A1，C两端点)，E，F分别为DD1，AD的中点.若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为
以D为原点， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设DA＝2，则F(1,0,0)，E(0,0,1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，
16.在长方体ABCD－A1B1C1D1中AD＝AA1＝1，AB＝2，在棱AB上是否存在一点E使得异面直线AD1与EC所成的角为60°？若存在，求出点E的位置；若不存在，说明理由.