高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性第1课时导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性第1课时导学案，共15页。学案主要包含了函数的单调性的判定与证明，求函数的单调区间，函数单调性的简单应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．
导语
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
一、函数的单调性的判定与证明
问题1 观察下面三个函数图象，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示 函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
问题2 如何理解函数图象是上升的？
提示 从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时，点的纵坐标也逐渐变大，即函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值逐渐增大．
知识梳理
增函数与减函数的定义
注意点：
(1)区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
(2)单调性应注意“三特性”：①同区间性，即x1，x2∈I；②任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替；③有序性，即要规定x1，x2的大小．
(3)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一．
例1 已知函数f(x)＝eq \f(1,x2－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明．
解 (1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝eq \f(1,x2－1)的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}．
(2)函数f(x)＝eq \f(1,x2－1)在(1，＋∞)上是减函数．
证明：∀x1，x2∈(1，＋∞)，
设x1有f(x2)－f(x1)＝eq \f(1,x\\al(2,2)－1)－eq \f(1,x\\al(2,1)－1)＝eq \f(x1－x2x1＋x2,x\\al(2,1)－1x\\al(2,2)－1)，
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以xeq \\al(2,1)－1>0，xeq \\al(2,2)－1>0，x1＋x2>0.
又x1于是eq \f(x1－x2x1＋x2,x\\al(2,1)－1x\\al(2,2)－1)<0，
即f(x1)>f(x2)，
因此，函数f(x)＝eq \f(1,x2－1)在(1，＋∞)上是减函数．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
跟踪训练1 证明：函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．
证明 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))
＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)
＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x1x2)))
＝eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)
∵0∴x1－x2<0,0∴eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．
二、求函数的单调区间
问题3 “函数y＝f(x)在I上为增函数”与“函数y＝f(x)的增区间为I”含义相同吗？
提示 不同．“函数y＝f(x)在I上为增函数”是指区间I为函数y＝f(x)的一个增区间，还可能存在其他增区间；“函数y＝f(x)的增区间为I”是指除区间I外，函数y＝f(x)不存在其他增区间．
知识梳理
函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间．
注意点：
(1)如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
(2)单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
例2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－eq \f(1,x)；
(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
解 (1)函数f(x)＝－eq \f(1,x)的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，
当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
反思感悟 求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
(2)利用函数的图象．
提醒：若所求出函数的增区间或减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
跟踪训练2 借助函数图象，求函数f(x)＝|x2－1|＋x的增区间．
解 当x≥1或x≤－1时，
f(x)＝x2＋x－1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2－eq \f(5,4)；
当－1f(x)＝－x2＋x＋1
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4).
作出函数f(x)的图象(如图实线部分)．
由图可知函数f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，[1，＋∞)．
三、函数单调性的简单应用
例3 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－4]
解析 f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的增区间为(－∞，－a－1]，
由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，
解得a≤－4，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为______．
答案 (－∞，1)
解析 ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
延伸探究
1．在本例(1)中，若函数f(x)的增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
答案 －4
解析 由(1)知，函数f(x)的增区间为(－∞，－a－1]，
所以－a－1＝3，a＝－4.
2．若本例(2)中函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．
解 由题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))
解得x>eq \f(3,2)，
∴x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
反思感悟 由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件．
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．
若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)类——数形结合，探求参数满足的条件．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
跟踪训练3 (1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有( )
A．f(－1)≥f(a2＋1)
B．f(－1)>f(a2＋1)
C．f(－1)≤f(a2＋1)
D．f(－1)答案 B
解析 ∵f(x)在R上是减函数，
∴对任意x1，x2，若x1均有f(x1)>f(x2)．
又∵－1f(a2＋1)．
(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，4))
解析 依题意，得不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,－2x＋8≥0，,x>－2x＋8，))
解得eq \f(8,3)1．知识清单：
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调性与单调区间．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：
(1)函数的单调区间不能用并集．
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域．
1．函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的增区间是( )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
答案 C
解析 由图象知增区间为[－3,1]．
2．若函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
答案 C
解析 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，
所以f(3)>f(5)．
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上( )
A．是减函数 B．是增函数
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 y＝|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，－2≤x≤0，,－x－2，－3≤x<－2，))即可作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数．
4．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)答案 (－2,1)
解析 由x2－2<－x，即x2＋x－2<0，
解得－21．(多选)下列函数中，在区间(0,2)上为减函数的是( )
A．y＝5－x B．y＝x2＋2
C．y＝eq \f(1,x) D．y＝－|x|
答案 ACD
解析 选项A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．
2．函数y＝x2－2|x|＋1的增区间是( )
A．(－1,0) B．(－1,0)和(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)和(0,1)
答案 B
解析 y＝x2－2|x|＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12，x≥0，,x＋12，x<0，))
作出其图象如图所示，
由图象可知，函数的增区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
3．(多选)下列说法中，正确的有( )
A．若任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋1，x<0，,－x，x≥0))在定义域上是减
函数
D．函数y＝eq \f(1,x)的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 AC
解析 当x1由eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0知f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋1，x<0，,－x，x≥0))的图象(图略)可知其在定义域上是减函数，
∴C正确；B和D错误．
4．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的增区间分别是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1]
B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1]
D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
答案 C
解析 分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)，得f(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(x)在(－∞，1]上为增函数．
5．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
答案 B
解析 ∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象开口向上，直线x＝－eq \f(2a－1,2)为函数的对称轴，又
∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，
故2≤－eq \f(2a－1,2)，解得a≤－eq \f(3,2).
6．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
答案 D
解析 由题意知a＋b≤0，
得到a≤－b，b≤－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
7．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，,x－2<1－x，))
解得1≤x故满足条件的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
8．若函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)的减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，
又f(x)在(a，＋∞)上是减函数，所以a≥－1.
9．已知函数f(x)＝mx＋eq \f(1,nx)＋eq \f(1,2)(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝eq \f(11,4).
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明．
解 (1)因为f(1)＝m＋eq \f(1,n)＋eq \f(1,2)＝2，
f(2)＝2m＋eq \f(1,2n)＋eq \f(1,2)＝eq \f(11,4).所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝2.))
(2)由(1)知f(x)＝x＋eq \f(1,2x)＋eq \f(1,2)，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，证明如下：
设1≤x1f(x1)－f(x2)＝
x1＋eq \f(1,2x1)＋eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2x2)＋\f(1,2)))
＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2x1x2)))
＝eq \f(x1－x22x1x2－1,2x1x2).
因为1≤x11，
所以2x1x2>2>1，
所以eq \f(x1－x22x1x2－1,2x1x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f(x)＝x－eq \f(a,x)＋eq \f(a,2)在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解 设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)
＝x1－eq \f(a,x1)＋eq \f(a,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(a,x2)＋\f(a,2)))
＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a,x1x2)))<0.
∵x1－x2<0，
∴1＋eq \f(a,x1x2)>0，即a>－x1x2.
∵x1x2>1，
∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
11．若函数y＝ax与y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
答案 B
解析 由于函数y＝ax与y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)<0，故函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．
12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案 A
解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上是增函数，
故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋1，x<1，,x2－4x＋3，x≥1))在(0，a－3)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3,4] B．[3,5]
C．(3,4] D．(3,5]
答案 D
解析 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋1，x<1，,x2－4x＋3，x≥1，))画出函数f(x)的大致图象，如图所示．
∵函数f(x)在(0，a－3)上是减函数，
∴由图象可知0故实数a的取值范围是(3,5]．
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x－1，x≤1.))若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 [4,8)
解析 因为f(x)是R上的增函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)>0，,4－\f(a,2)－1≤1，))
解得4≤a<8.
15．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝－f(x)；
②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且eq \f(fx1－fx2,x2－x1)>0.
则f(－1)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f(2)的大小顺序是______．(用“<”连接)
答案 f(－1)解析 由①知f(1)＝－f(0)，
f(0)＝－f(－1)，所以f(－1)＝f(1)．
由③知eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0，
所以函数f(x)在[0,1]上是减函数，
结合②知，函数f(x)在[1,2]上是增函数，
所以f(1)即f(－1)16．已知函数f(x)＝x2－2x＋b.
(1)若b＝1，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调，求实数b的取值范围．
解 (1)当b＝1时，
f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以函数f(x)的值域为[0，＋∞)．
(2)因为函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，
且f(x)在[m，n]上单调，
当m≥1时，函数f(x)在[m，n]上是增函数，
此时eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＝m，,fn＝n，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＋b＝m，,n2－2n＋b＝n，))
等价于方程x2－3x＋b＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根，
令g(x)＝x2－3x＋b，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝9－4b>0，,g1＝－2＋b≥0，,\f(3,2)>1，))
解得2≤b当n≤1时，函数f(x)在[m，n]上是减函数，
此时eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＝n，,fn＝m，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＋b＝n，,n2－2n＋b＝m，))
两式相减得(m－n)(m＋n－1)＝0，
即m＝n(舍)或m＋n－1＝0，也即m＝1－n，
由m将m＝1－n代入n2－2n＋b＝m可得方程
n2－n＋b－1＝0在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上有解，
即为函数b＝－n2＋n＋1在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上的值域问题，
因为b＝－n2＋n＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上是减函数，所以b∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4))).
综上所述，b的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(9,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4))).前提条件
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A
条件
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1都有f(x1)都有f(x1)> f(x2)
图示
结论
y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在I上单调递增)，I称为y＝f(x)的增区间
y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在I上单调递减)，I称为y＝f(x)的减区间