高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性导学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性导学案及答案，共4页。

A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案 D
解析 定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx＋4，x≥0，,xx－4，x<0，))则f(x)的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案 B
解析 若x<0，则－x>0，
则f(－x)＝－x(－x＋4)＝x(x－4)＝f(x)，
若x>0，则－x<0，
则f(－x)＝－x(－x－4)＝x(x＋4)＝f(x)，
又f(0)＝0，
所以f(－x)＝f(x)，即函数为偶函数．
3．已知f(x)在定义域上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－2 020，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x＋2 020 B．f(x)＝－x＋2 020
C．f(x)＝－x－2 020 D．f(x)＝x－2 020
答案 A
解析 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x－2 020，
又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝x＋2 020.
4．(多选)已知函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m]，则( )
A．m＝3
B．n＝0
C．函数f(x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)))
D．函数f(x)的最大值为eq \f(31,27)
答案 BCD
解析 因为函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，
所以函数的定义域关于原点对称．
又因为函数f(x)的定义域为[m－1,2m]．
所以m－1＋2m＝0，解得m＝eq \f(1,3).
又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝mx2－nx＋3m＋n＝f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n，解得n＝0.
所以函数的解析式为f(x)＝eq \f(1,3)x2＋1，
定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)))，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，
所以当x＝±eq \f(2,3)时，f(x)取得最大值eq \f(31,27).
5．设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－4(x>0)，则f(x－2)>0的解集为( )
A．(－4,0)∪(2，＋∞) B．(0,2)∪(4，＋∞)
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－4,4)
答案 B
解析 因为f(x)＝x2－4(x>0)，
所以当x>0时，若f(x)>0，则x>2，
又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，
当x<0时，－x>0，若f(x)>0，则f(－x)<0，
则0<－x<2，即－2故f(x)>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)，
故f(x－2)>0时，x－2∈(－2,0)∪(2，＋∞)，
x∈(0,2)∪(4，＋∞)，
即f(x－2)>0的解集为(0,2)∪(4，＋∞)．
6．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)的值为________．
答案 －15
解析 方法一 设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，
因为f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，
所以g(3)＝－10，所以f(3)＝g(3)－5＝－15.
方法二 f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5
＝－(37＋a·35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，
所以f(3)＝－15.
7．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，则f(－1)＝______.
答案 －3
解析 令y＝g(x)＝f(x)＋x2，
因为此函数是奇函数，
所以g(－1)＝－g(1)，
即f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，
所以f(－1)＝－3.
8．若函数f(x)＝eq \f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
因为f(x)＝eq \f(x,2x＋1x－a)＝eq \f(x,2x2＋1－2ax－a)，
所以eq \f(－x,2x2－1－2ax－a)＝eq \f(－x,2x2＋1－2ax－a)，
所以－(1－2a)＝1－2a，所以1－2a＝0，所以a＝eq \f(1,2).
9．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f(3)答案 (－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析 因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.
10．定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝eq \f(x2＋1,x).
(1)当x<0时，求函数f(x)的表达式；
(2)求证：f(x)在区间(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，并写出函数f(x)取得最小值时x的取值．
(1)解 当x<0时，－x>0，由已知得f(－x)＝eq \f(－x2＋1,－x)＝－eq \f(x2＋1,x) .∵函数y＝f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－eq \f(x2＋1,x).
(2)证明 设0＝eq \f(x1x2x1－x2－x1－x2,x1x2)
＝eq \f(x1x2－1x1－x2,x1x2).
当00，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(0,1]上是减函数；
当1≤x10，x1－x2<0，x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
由函数y＝f(x)是偶函数，及单调性知当x＝±1时，函数y＝f(x)取得最小值．