高中6.1 幂函数学案

这是一份高中6.1 幂函数学案，共13页。学案主要包含了幂函数的概念，幂函数的图象与性质，幂函数的图象与性质的应用等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积．《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂．”后来又推广引申为多次乘方的结果．到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂．清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念．
一、幂函数的概念
问题1 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝eq \r(S)，即c＝，这里c是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝eq \f(1,t) km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数．
提示 这些函数的解析式都具有指数幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
知识梳理
幂函数的概念
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
注意点：
(1)自变量前的系数是1；
(2)幂的系数为1；
(3)α是任意常数；
(4)函数的定义域与α有关．
例1 (1)在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ∵y＝eq \f(1,x2)＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)已知y＝＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
解 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))
解得m＝－3或1，n＝eq \f(3,2).
反思感悟 幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．
跟踪训练1 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________.
答案 16
解析 设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
二、幂函数的图象与性质
问题2 根据之前所学的函数概念与性质，我们应该从哪些方面来研究幂函数呢？
提示 根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题．
问题3 你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1这五个函数的图象吗？
提示
问题4 观察函数图象以及函数解析式，完成下表．
提示 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
知识梳理
一般幂函数的性质
(1)函数y＝xα，当α>0时，具有的性质：
①函数的图象都过点(0,0)和(1,1)；
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数．
(2)函数y＝xα，当α<0时，具有的性质：
①函数的图象都过点(1,1)；
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数．
例2 (1)函数y＝的图象是( )
(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2 B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2) D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
答案 (1)B (2)B
解析 (1)∵当x>1时，x>；当x＝1时，x＝，所以A，C，D均不对，选B.
(2)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝eq \f(1,2)；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－eq \f(1,2)，曲线C4的n＝－2，故选B.
反思感悟 (1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
答案 B
解析 由于y＝xm在(0，＋∞)上是增函数，且为上凸函数，故0三、幂函数的图象与性质的应用
例3 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；
(3)与.
解 (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
(3)∵函数y1＝在(0，＋∞)上是增函数，
又eq \f(3,2)>1，∴＝1.
又∵函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(3,4)<1，∴＝1，
∴.
反思感悟 比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－0.3与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.3；
(2)－3.143与－π3.
解 (1)∵y＝x－0.3在(0，＋∞)上是减函数，
又eq \f(2,3)>eq \f(1,3)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－0.3(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
1．知识清单：
(1)幂函数的定义．
(2)几个常见幂函数的图象．
(3)幂函数的性质．
2．方法归纳：待定系数法、数形结合法．
3．常见误区：易忽略幂函数的概念．
1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4)))，则f(2)等于( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
答案 A
解析 设幂函数为y＝xα，
∵幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4)))，
∴eq \f(1,4)＝4α，∴α＝－1，∴y＝x－1，
∴f(2)＝2－1＝eq \f(1,2).
2．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
答案 A
解析 当α＝－1时，函数y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当α＝eq \f(1,2)时，函数y＝的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R，且为奇函数．
3．函数y＝的图象是( )
答案 C
解析 ∵函数y＝的定义域为[0，＋∞)，
∴它是非奇非偶函数，故排除A，B选项．
又eq \f(5,4)>1，
∴图象在区间[0,1]上是下凸的，故排除D选项．
4．0.23－2.3与0.24－2.3的大小关系是___________________________．
答案 0.23－2.3>0.24－2.3
解析 因为函数y＝x－2.3在(0，＋∞)上是减函数，且0.23<0.24，
所以0.23－2.3>0.24－2.3.
1．幂函数的图象过点(16,4)，则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x3
答案 B
解析 设f(x)＝xα，则16α＝4，
∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝.
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．y＝ B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
答案 C
解析 由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B，D不满足题意．y＝在(0，＋∞)上是增函数，但不是偶函数，故A不满足题意．y＝x2为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故C满足题意．
3．已知函数f(x)＝，若0A．f(a)B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))C．f(a)D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))答案 C
解析 因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
又0故f(a)4．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
答案 B
解析 y＝的图象位于第一象限，且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝－1的图象可看作是由y＝的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，则y＝－1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.
5．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(27，\f(1,3)))，则幂函数f(x)具有的性质是( )
A．在其定义域上为增函数
B．在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数
D．定义域为R
答案 BC
解析 设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，因为幂函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(27，\f(1,3)))，所以f(x)＝，所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均是减函数．
6．(多选)下列命题不正确的是( )
A．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
B．当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线
C．如果两个幂函数的图象有三个交点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点(－1,1)
答案 ABC
解析 对于A，幂函数的图象都经过点(1,1)，当y＝xn中n≤0时，不过点(0,0)，故A不正确；对于B，当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是直线y＝1除去点(0,1)，故B不正确；对于C，当两个幂函数的图象有三个交点时，两函数不一定相同，如y＝x与y＝x3的图象有三个交点，但这两个函数不相同，故C不正确；对于D，因为幂函数的图象都经过点(1,1)，所以若幂函数为偶函数，其图象一定经过点(－1,1)，故D正确．
7．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
答案 α<0
解析 因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．故α<0.
8．若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________．
答案 3
解析 因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－2＝1，,－4m－2<0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3或m＝－1，,m>－\f(1,2)，))
解得m＝3.
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解 (1)若函数f(x)为正比例函数，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±eq \r(2).
10．比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和.
解 (1)函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，
又3<3.2，所以
(2)函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，
而eq \f(2,3)>eq \f(π,6)，所以
11．函数f(x)＝＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)C．f(a)＝f(b) D．以上都不对
答案 A
解析 ∵f(x)为幂函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－3＝0，,a－b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝3，))
∴f(x)＝，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且a>b>0，
∴f(a)>f(b)．
12．已知幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于( )
A．1 B．0,2
C．－1,1,3 D．0,1,2
答案 C
解析 ∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，
又m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1,1,3.
13．若，则实数m的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3)))
解析 因为y＝在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2m≥0，,m＋1≥0，,3－2m>m＋1，))
解得－1≤m故m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))).
14．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
答案 ③
解析 设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，
f(m)＋f(n)＝mα＋nα，
f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，
f(mn)＝(mn)α，
所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立．
15．(多选)给出下列幂函数，其中满足条件f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))x2>0)的函数的是( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝eq \r(x)
答案 BC
解析 A．函数f(x)＝x的图象是一条直线，
故当x1>x2>0时，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(fx1＋fx2,2)；
B．函数f(x)＝x2的图象是下凸形曲线，
故当x1>x2>0时，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))C．在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))D．函数f(x)＝eq \r(x)的图象是上凸形曲线，
故当x1>x2>0时，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2).
16．已知幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解 (1)依题意，得(m－1)2＝1，
解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上是减函数，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝x2.
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)是增函数，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．
∵A∪B＝A，∴B⊆A，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－k≥1，,4－k≤4))⇒0≤k≤1.
∴实数k的取值范围是[0,1]．
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性