高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.2 指数函数第1课时导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.2 指数函数第1课时导学案，共13页。学案主要包含了指数函数的概念，指数函数的图象与性质，指数函数图象与性质的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解指数函数的概念，会求指数函数的解析式及函数值.2.能掌握指数函数的图象和性质.3.会利用指数函数的单调性比较大小和解不等式．
导语
话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是上一个月薪资的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？(211＝2 048)第24个月，他能获得多少工资？(223＝8 388 608)估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数．
一、指数函数的概念
问题1 如果在某种细菌的培养过程中，细菌每10 min分裂一次，由1个分裂成两个．设分裂次数为x，细菌的个数为y，说出y与x的关系．
提示 细菌个数y是分裂次数x的函数，对应关系为y＝2x.
问题2 《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭．”设经过x天，剩余量为y，说出y与x的关系．
提示 对应关系为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.
问题3 以上两个函数在结构上有什么共同点？
提示 函数的表达式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变量．
知识梳理
指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
注意点：
(1)指数函数的底数a>0，且a≠1；
(2)指数幂的系数为1；
(3)注意区分幂函数和指数函数．
例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 B
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．[0,1)∪(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
答案 C
解析 依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
解得a>eq \f(1,2)，且a≠1，
即a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)
反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求．
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求．
跟踪训练1 (1)下列是指数函数的是( )
A．y＝－3x B．y＝
C．y＝ax D．y＝πx
答案 D
解析 根据指数函数的特征知，A，B，C不是指数函数．
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
答案 2
解析 由指数函数的定义知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1， ①,a>0且a≠1， ②))
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
二、指数函数的图象与性质
问题4 用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝2x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象．
提示 (1)eq \f(1,8) eq \f(1,4) eq \f(1,2) 1 2 4 8
8 4 2 1 eq \f(1,2) eq \f(1,4) eq \f(1,8)
(2)y＝2x和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象如图所示．
问题5 通过图象，分析y＝2x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的性质并完成下列表格．
提示 x∈R x∈R (0，＋∞) (0，＋∞) 增函数 减函数 无最值 无最值 非奇非偶函数 非奇非偶函数 (0,1) (0,1) 01 y>1 0问题6 比一比y＝2x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象有哪些相同点？有哪些不同点？
提示 相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点(0,1)；不同点：单调性、函数值的变化．我们还发现y＝2x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的底数互为倒数，且函数图象关于y轴对称．
问题7 再选取底数a＝3，a＝4，a＝eq \f(1,3)，a＝eq \f(1,4)，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势．
提示
知识梳理
注意点：
(1)函数图象只出现在x轴上方；
(2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)；
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴；
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象都关于y轴对称．
例2 如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A．aB．bC．1D．a答案 B
解析 方法一 由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1方法二 根据图象可以先分两类：
③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近x轴，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b反思感悟 解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．
跟踪训练2 已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是( )
答案 C
解析 由1>n>m>0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由n>m可知应选C.
三、指数函数图象与性质的应用
例3 (1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b答案 C
解析 ∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，
故1.50.6>0.60.6，
又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，
∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<
即b(2)已知0，a≠1)，求x的取值范围．
解 ①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
解得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1∴x2－4x－5<0，解得－1综上所述，当0x的取值范围是{x|x<－1或x>5}；
当a>1时，x的取值范围是{x|－1反思感悟 (1)比较幂值大小的3种类型及处理方法
(2)简单的指数不等式的解法
①利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
②解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)跟踪训练3 (1)下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43
(2)不等式53－2x<0.23x－4的解集为________．
答案 (1)B (2){x|x<1}
解析 (1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4.
(2)原不等式可化为53－2x<54－3x，
因为函数y＝5x是R上的增函数，
所以3－2x<4－3x，解得x<1，
则不等式的解集为{x|x<1}．
1．知识清单：
(1)指数函数的定义．
(2)指数函数的图象和性质．
(3)指数函数的图象和性质的应用．
2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：忽视指数函数的底数a的范围致误．
1．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或2 B．－1
C．2 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,m>0且m≠1，))
解得m＝2(m＝－1舍去)．
2．函数y＝3－x的图象是( )
答案 B
解析 ∵y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，∴B选项正确．
3．不等式>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－4的解集为______．
答案 (1,2)
解析 由于y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x是减函数，
且>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－4，
所以x2－2x－2解得14．已知a＝eq \f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
答案 m解析 ∵a＝eq \f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，
∴f(x)＝ax在R上是减函数，
又f(m)>f(n)，∴m1．若函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于( )
A．8 B.eq \f(2,3) C．4 D．2
答案 D
解析 ∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，
∴2a－3＝1，解得a＝2.
∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.
2．若函数y＝(1－2a)x是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
答案 B
解析 ∵y＝(1－2a)x是R上的增函数，
则1－2a>1，∴a<0.
3．函数f(x)＝πx与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
答案 C
解析 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x的图象关于y轴对称．
4．若f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
答案 D
解析 由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x是减函数．
5．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2a＋1A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，＋∞)) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,4)))
答案 A
解析 函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x在R上为减函数，
所以2a＋1>8－2a，所以a>eq \f(7,4).
6．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案 B
解析 a＝30.2∈(1,3)，b＝0.2－3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))－3＝53＝125，c＝(－3)0.2＝<0，所以b>a>c.
7．已知函数f(x)为指数函数且f(3)＝27，则f(－2)＝________，f(f(－1))＝________.
答案 eq \f(1,9) eq \r(3,3)
解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
∴a3＝27＝33，∴a＝3，∵f(x)＝3x，
∴f(－2)＝eq \f(1,9)，f(f(－1))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝＝eq \r(3,3).
8．函数f(x)＝2ax－4＋3(a>0，且a≠1)恒过一个定点，则该点的坐标为________．
答案 (4,5)
解析 令x－4＝0，得x＝4，
又f(4)＝5，所以函数f(x)恒过定点(4,5)．
9．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
解 (1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，
∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数，证明如下：
F(x)＝2x－2－x，定义域为R，
∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数．
10．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)解 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，
所以f(x)＝2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
因此由g(2x－1)即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1得2x－1>3x，解得x<－1.
所以x的取值范围为(－∞，－1)．
11．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图象可能是( )
答案 A
解析 二次函数y＝ax2＋bx＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))2－eq \f(b2,4a)，其顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a)))，由指数函数的图象知012．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 因为y＝(x>0)为增函数，所以a>c.
因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R)为减函数，
所以c>b，
所以a>c>b.
13．若函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝________.
答案 6
解析 由指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象可知函数在x＝－1处取最小值为2，在x＝－2处取最大值为4.∴m＋n＝6.
14．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－1，x≤0，,，x>0，))若f(x0)>1，则x0的取值范围是____________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 当x0>0时，>1，∴x0>1；
当x0≤0时，－1>1，
∴>2，∴x0<－1.
综上，x0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
15．(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为( )
A．a＝b＝0 B．0C．a答案 ABC
解析 由题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示．
由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以选项A正确；
作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0当016．设f(x)＝3x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解 (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示，
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－1＝3，f(π)＝3π，
g(－π)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－π＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y＝2x
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x
函数
y＝2x
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x
定义域
值域
单调性
最值
奇偶性
特殊点
y的变化情况
当x<0时，________ ；
当x>0时，________
当x<0时，________ ；
当x>0时，________
a>1
0图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过定点(0,1)，图象在x轴的上方
函数值的变化
当x<0时，0当x>0时，y>1
当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数