数学必修 第一册6.1 幂函数导学案

第16练　幂函数

1．在下列函数中，定义域为R的是(　　)

A．y＝   B．y＝  C．y＝x3  D．y＝x－1

答案　C

解析　选项A中函数的定义域为[0，＋∞)，选项B，D中函数的定义域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

2．(多选)下列函数中值域为[0，＋∞)的函数是(　　)

A．y＝  B．y＝x2  C．y＝  D．y＝x3

答案　AB

解析　选项A中函数的值域为[0，＋∞)，选项B中函数的值域为[0，＋∞)，选项C中函数的值域为(0，＋∞)，选项D中函数的值域为R.

3．函数y＝x－3在区间上的最大值是(　　)

A．1  B.  C．8  D．－8

答案　C

解析　y＝x－3在区间上单调递减，所以x＝时，取得最大值为8.

4．若幂函数y＝的图象经过原点，则m的值为(　　)

A．1或2  B．2  C．1  D．不存在

答案　D

解析　由幂函数的定义得m2－3m＋3＝1，则m＝1或m＝2，当m＝1时，y＝x－2，定义域为{x|x≠0}，图象不过原点；当m＝2时，y＝x0，其图象也不过原点，故选D.

5．函数y＝xα与y＝αx的图象只可能是下面中的哪一个(　　)

答案　C

解析　A中直线对应函数为y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1，故A错；B中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝，2≠，故B错；C中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2,2＝2，故C对；D中直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．

6．已知函数y＝a(x－4)＋2的图象恒过定点P，且P在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.

答案　

解析　由一次函数的性质知函数y＝a(x－4)＋2的图象恒过定点P(4,2)．设幂函数为f(x)＝xα，由P在幂函数f(x)的图象上，可得4α＝2，解得α＝，所以f(x)＝.

7．已知函数f(x)＝是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则幂函数f(x)的解析式为________．

答案　f(x)＝x3

解析　由f(x)＝是幂函数可得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3；当m＝－1时，f(x)＝x－3，由于当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，故f(x)＝x3.

8．已知a＝αx，b＝x，c＝x，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________．

答案　b<a<c

解析　因为α∈(0,1)，所以<α<，

又x∈(0,1)，x<αx<x，即b<a<c.

9．已知函数f(x)＝xα(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④若0<x1<x2，则<.其中正确的序号是________．

答案　①②③

解析　作出f(x)＝xα(0<α<1)在第一象限内的图象，如图所示，

可判定①②③正确，又＝xα－1，α－1<0，故当0<x1<x2时应有>，故④错．

10．已知幂函数f(x)＝，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足：

①在区间(0，＋∞)上单调递增；

②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.

求同时满足条件①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时，f(x)的值域．

解　因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2，只满足条件①而不满足条件②；当m＝1时，f(x)＝x0.条件①②都不满足；当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足．因此f(x)＝x3，且f(x)在区间[0,3]上单调递增，所以0≤f(x)≤27，故f(x)的值域为[0,27]．