数学第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.2 指数函数学案

第17练　指数函数

1．若指数函数y＝f(x)的图象过点(1,3)，则f(f(1))等于(　　)

A．3  B．9  C．27  D.

答案　C

解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则a1＝3，即a＝3，所以f(x)＝3x.所以f(1)＝3，f(f(1))＝f(3)＝27.

2．已知a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．b<a<c  B．a<b<c  C．b<c<a  D．c<a<b

答案　A

解析　因为a＝＝>＝b，c＝＝>＝a，所以b<a<c.

3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于(　　)

A．ex＋1   B．－e－x－1

C．e－x＋1   D．e－x－1

答案　D

解析　与y＝ex关于y轴对称的函数应该是y＝e－x，于是f(x)可由y＝e－x向左平移1个单位长度得到，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

4．(多选)已知函数y＝，则下列叙述正确的是(　　)

A．函数的增区间是[1，＋∞)

B．函数的减区间是[1，＋∞)

C．函数的值域是

D．函数的值域是(0,2]

答案　BD

解析　因为y＝x是减函数，设t＝x2－2x＝(x－1)2－1∈[－1，＋∞)，且在[1，＋∞)上是增函数，所以原函数的减区间是[1，＋∞)，结合指数函数的性质可得∈(0,2]，即函数y＝的值域为(0,2]．

5．函数f(x)＝的图象大致为(　　)

答案　B

解析　∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，令x＝10，则f(10)＝>1，排除C，D.

6．已知0.2x<25，则实数x的取值范围为______．

答案　(－2，＋∞)

解析　因为y＝0.2x在R上是减函数，而25＝－2＝0.2－2，由0.2x<0.2－2可得x>－2，即x的取值范围为(－2，＋∞)．

7．已知函数f(x)＝abx＋c(b>0且b≠1)，x∈[0，＋∞)，若其值域为[－2,3)，则该函数的一个解析式可以为f(x)＝________.

答案　－5x＋3(满足0<b<1的b均可)

解析　因为f(x)＝abx＋c(b>0且b≠1)，x∈[0，＋∞)，其值域为[－2,3)，

所以当x＝0时，f(0)＝a＋c＝－2，

当x→＋∞时，bx→0，f(x)→c＝3，

解得a＝－5，c＝3,0<b<1，

所以f(x)＝－5x＋3(满足0<b<1的b均可)．

8．已知实数a>0且a≠1，函数f(x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．

答案　(1,2]

解析　因为f(x)＝在R上是增函数，

∴即1<a≤2.

9．当x>0时，函数y＝(a－8)x的值域为(1，＋∞)，则实数a的取值范围是________．

答案　(9，＋∞)

解析　当0<a－8<1，即8<a<9时，函数y＝(a－8)x在(0，＋∞)上是减函数，

则当x>0时，(a－8)x<(a－8)0＝1，不符合题意，

当a－8>1，即a>9时，函数y＝(a－8)x在(0，＋∞)上是增函数，

则当x>0时，(a－8)x>(a－8)0＝1，符合题意，

所以实数a的取值范围是a>9.

10．设函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)．

(1)若f(1)>0，求不等式f(－x2＋7)＋f(x－5)<0的解集；

(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)－m≥0在[1，＋∞)上恒成立，求m的最大值．

解　(1)∵f(1)＝a－＝>0，

又a>0且a≠1，∴a>1，

∴y＝ax单调递增，y＝a－x单调递减，故f(x)在R上单调递增，

又∵f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)且x∈R，

∴f(x)是R上的奇函数，

由f(－x2＋7)＋f(x－5)<0，

得f(－x2＋7)<f(5－x)，

∴－x2＋7<5－x，解得x<－1或x>2，

∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

(2)由f(1)＝a－＝，

解得a＝－(舍去)或a＝2，

则f(x)＝2x－2－x，

∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)－m＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)－m＋2，

令t＝2x－2－x，

∵x∈[1，＋∞)，

∴t≥，g(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，

即t2－4t－m＋2≥0在t∈上恒成立，

亦即m≤t2－4t＋2在t∈上恒成立．

而t2－4t＋2＝(t－2)2－2≥－2，

∴m≤－2，∴m的最大值为－2.