高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质学案

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A.eq \f(2π,a) B.eq \f(2π,|a|)
C.eq \f(π,|a|) D.eq \f(π,a)
答案 C
解析 T＝eq \f(π,|a|).
2．(多选)函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ的取值可以是( )
A．－eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C.eq \f(3π,2) D．2π
答案 BC
解析 因为函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数，所以φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以满足条件的φ值为eq \f(π,2)(k＝0)或eq \f(3π,2)(k＝1)．
3．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值是( )
A．－1 B．－eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(2),2) D．0
答案 B
解析 当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，0≤2x≤π，－eq \f(π,4)≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，所以当2x－eq \f(π,4)＝－eq \f(π,4)，即x＝0时，
函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小值为
f(0)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2).
4．已知A为锐角，且tan A＝eq \f(2,3)，那么下列判断正确的是( )
A．0°C．45°答案 B
解析 eq \f(\r(3),3)由正切函数的性质，得30°5．(多选)以下函数中是奇函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋tan x B．f(x)＝xtan x－1
C．f(x)＝eq \f(sin x－tan x,1＋cs x) D．f(x)＝lg eq \f(1－tan x,1＋tan x)
答案 ACD
解析 A中，定义域关于原点对称，
f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)
＝－sin x－tan x
＝－(sin x＋tan x)＝－f(x)，
故函数f(x)＝sin x＋tan x是奇函数；
B中，定义域关于原点对称，
f(－x)＝－xtan(－x)－1
＝xtan x－1＝f(x)，故为偶函数；
C中，定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ且x≠π＋2kπ，k∈Z))))，关于原点对称．
f(－x)＝eq \f(sin－x－tan－x,1＋cs－x)
＝eq \f(－sin x＋tan x,1＋cs x)＝－eq \f(sin x－tan x,1＋cs x)＝－f(x)，
故为奇函数；
D中，定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπf(－x)＝lg eq \f(1－tan－x,1＋tan－x)＝lg eq \f(1＋tan x,1－tan x)
＝－f(x)，故为奇函数．
6．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))，则当x＝______时，f(x)取得最小值，且最小值为______．
答案 －eq \f(π,12) －3
解析 ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))，
∴－eq \f(2π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,6)，
由正弦函数图象(图略)知，
当2x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，
即x＝－eq \f(π,12)时，f(x)min＝－3.
7．方程x－tan x＝0的实根个数有________个．
答案 无数
解析 利用数形结合的思想，由于y＝x与y＝tan x的图象有无数多个交点，因此方程x－tan x＝0有无数多个解．
8．下列叙述：
①y＝－cs x与y＝cs(－x)的图象关于x轴对称；
②y＝－cs x与y＝cs(－x)的图象关于y轴对称；
③y＝sin x与y＝|sin x|的图象在y轴右侧相同．
其中正确的序号为________．
答案 ①
解析 y＝cs(－x)＝cs x其图象与y＝－cs x的图象关于x轴对称，不关于y轴对称，①正确，②不正确；画出y＝sin x与y＝|sin x|的图象(图略)可得，③不正确．
9．设函数f(x)＝2cs(ωx＋φ)对任意实数x∈R都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))，若设g(x)＝3sin(ωx＋φ)－1，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))的值是________．
答案 －1
解析 因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))，
所以x＝eq \f(π,3)是f(x)图象的一条对称轴．
所以eq \f(π,3)×ω＋φ＝kπ，k∈Z，
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)×ω＋φ))－1＝3sin kπ－1＝－1.
10．已知函数f(x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋b(a>0)．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为eq \r(3)，最小值是－2，求a和b的值．
解 ∵0≤x≤eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，
∴－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，
又a>0，∴f(x)max＝a＋b＝eq \r(3)，
f(x)min＝－eq \f(\r(3),2)a＋b＝－2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\r(3)，,－\f(\r(3),2)a＋b＝－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2＋\r(3).))