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数学选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离教学课件ppt
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这是一份数学选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了两条平行直线间的距离，知识梳理，任意一点，点到直线的距离，注意点，反思感悟，x－y＋1＝0，x＋2y－3＝0，即x＋2y－3＝0，随堂演练等内容，欢迎下载使用。
1.理解两条平行线间的距离公式的推导.
2.会求两条平行直线间的距离.
同学们，上节课，我们学习了点到直线的距离公式，然而，生活中，也有这样的问题，比如要计算一下两平行的铁轨之间的距离，我们校园里两行树之间的距离，我们教室里门的两边之间的距离等，这就是我们今天要研究的两平行线之间的距离.
问题1 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
问题2 怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离(A2＋B2≠0)?
提示 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝ ，因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，
1.定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上 到另一条直线的距离.2.求法：转化为 .3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ .(A，B不全为0，C1≠C2)
运用公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.
(1)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为
由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，
(2)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离.
求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝(A2＋B2≠0).
已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是
解得m＝24.则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由平行线间的距离求参数的值
已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是_____________.
方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.方法二 由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题.
(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为 ，则实数c的值为A.9 B.－9 C.11 D.－11
平行线间的距离的最值问题
两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；
如图，显然有0
由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.
所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
应用数形结合思想求最值(1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_____________.
当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1)，B(0，－1).
1.知识清单： (1)两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离最值问题.2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法.3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的 系数分别对应相同.
3.两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为 ，则c等于A.0或40 B.10或30C.－20或10 D.－20或40
即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.
4.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝____.
2.两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是
5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
3.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是
4.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为
由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
5.(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于 的直线方程可能为A.2x＋y－1＝0 B.2x＋y－2＝0C.2x＋y＝0 D.2x＋y＋2＝0
所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
6.(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 ，则m＋n的可能值为A.3 B.－17 C.－3 D.17
所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，
解得m＝7或m＝－13，所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
7.与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为______________________.
x＋y＝0或x＋y－10＝0
易知l1∥l2，且它们之间的距离
设所求直线为l4，则l4∥l3，
解得c＝0或－10，所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
8.已知△ABC的两顶点A，B在直线l1：2x－y＋3＝0上，点C在直线l2：2x－y－1＝0上，若△ABC的面积为2，则AB边的长为____.
点C到AB的距离即为l1与l2之间的距离，
9.已知直线l经过点P(－2,5)，l的一个方向向量为d＝(4，－3).(1)求直线l的方程；
由l的一个方向向量为d＝(4，－3)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
因为直线m与l平行，则可设m的方程为3x＋4y＋c＝0，
解得c＝1或－29.所以直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10.设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；
若l1∥l2，则m≠0，
∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程.
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
11.已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为
∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
12.(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 A.1 B.3 C.5 D.7
当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，
所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5].
13.正方形ABCD的中心为点O(－1,0)，AB边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，则CD边所在的直线的方程为A.x＋3y＋7＝0 B.3x－y－3＝0C.3x－y＋9＝0 D.x＋3y－27＝0
点O(－1,0)到直线x＋3y－5＝0的距离
设与边AB平行的边CD所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点O(－1,0)到直线x＋3y＋m＝0的距离
解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以CD边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
14.若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为 ，则该直线的倾斜角大小为___________.
由两平行直线的距离公式，
又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为 ，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为____________.
设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b).
梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
16.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是 .(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 ？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意.
1.理解两条平行线间的距离公式的推导.
2.会求两条平行直线间的距离.
同学们，上节课，我们学习了点到直线的距离公式，然而，生活中，也有这样的问题，比如要计算一下两平行的铁轨之间的距离，我们校园里两行树之间的距离，我们教室里门的两边之间的距离等，这就是我们今天要研究的两平行线之间的距离.
问题1 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
问题2 怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离(A2＋B2≠0)?
提示 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝ ，因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，
1.定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上 到另一条直线的距离.2.求法：转化为 .3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ .(A，B不全为0，C1≠C2)
运用公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.
(1)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为
由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，
(2)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离.
求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝(A2＋B2≠0).
已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是
解得m＝24.则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由平行线间的距离求参数的值
已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是_____________.
方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.方法二 由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题.
(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为 ，则实数c的值为A.9 B.－9 C.11 D.－11
平行线间的距离的最值问题
两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；
如图，显然有0
由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.
所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
应用数形结合思想求最值(1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_____________.
当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1)，B(0，－1).
1.知识清单： (1)两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离最值问题.2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法.3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的 系数分别对应相同.
3.两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为 ，则c等于A.0或40 B.10或30C.－20或10 D.－20或40
即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.
4.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝____.
2.两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是
5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
3.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是
4.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为
由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
5.(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于 的直线方程可能为A.2x＋y－1＝0 B.2x＋y－2＝0C.2x＋y＝0 D.2x＋y＋2＝0
所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
6.(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 ，则m＋n的可能值为A.3 B.－17 C.－3 D.17
所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，
解得m＝7或m＝－13，所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
7.与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为______________________.
x＋y＝0或x＋y－10＝0
易知l1∥l2，且它们之间的距离
设所求直线为l4，则l4∥l3，
解得c＝0或－10，所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
8.已知△ABC的两顶点A，B在直线l1：2x－y＋3＝0上，点C在直线l2：2x－y－1＝0上，若△ABC的面积为2，则AB边的长为____.
点C到AB的距离即为l1与l2之间的距离，
9.已知直线l经过点P(－2,5)，l的一个方向向量为d＝(4，－3).(1)求直线l的方程；
由l的一个方向向量为d＝(4，－3)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
因为直线m与l平行，则可设m的方程为3x＋4y＋c＝0，
解得c＝1或－29.所以直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10.设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；
若l1∥l2，则m≠0，
∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程.
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
11.已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为
∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
12.(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 A.1 B.3 C.5 D.7
当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，
所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5].
13.正方形ABCD的中心为点O(－1,0)，AB边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，则CD边所在的直线的方程为A.x＋3y＋7＝0 B.3x－y－3＝0C.3x－y＋9＝0 D.x＋3y－27＝0
点O(－1,0)到直线x＋3y－5＝0的距离
设与边AB平行的边CD所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点O(－1,0)到直线x＋3y＋m＝0的距离
解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以CD边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
14.若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为 ，则该直线的倾斜角大小为___________.
由两平行直线的距离公式，
又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为 ，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为____________.
设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b).
梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
16.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是 .(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 ？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意.
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