2020-2021学年2.1 坐标法学案设计

这是一份2020-2021学年2.1 坐标法学案设计，共7页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在数轴上存在一点P，它到点A(9)的距离是它到点B(3)的距离的2倍，则P的坐标为( )
A．2 B．－3 C．5 D．－3或5
答案 D
解析 设所求点P的坐标为x，则|x－9|＝2|x－3|，
所以x＝－3或x＝5，所以P(－3)或P(5)．
2．直线eq \r(3)x＋y＋m＝0(m∈R)的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 设α为直线的倾斜角，
将已知直线方程化为斜截式y＝－eq \r(3)x－m，
所以斜率k＝－eq \r(3)＝tan α，则α＝120°.
3．已知直线l1：2x－y－2＝0与直线l2：3x＋y－8＝0的交点为P，则点P到直线l：y＝－2x＋eq \r(5)的距离为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(30－\r(5),5) C.eq \f(6\r(5)－5,5) D.eq \f(6－\r(5),5)
答案 C
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－2＝0，,3x＋y－8＝0，))得P(2,2)，
∴点P(2,2)到直线l：y＝－2x＋eq \r(5)的距离
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\r(5))),\r(5))＝eq \f(6\r(5)－5,5).
4．将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2,0)与点(－2,4)重合，则与点(5,8)重合的点是( )
A．(6,7) B．(7,6)
C．(－5，－4) D．(－4，－5)
答案 A
解析 由已知得折线为点(2,0)和(－2,4)的垂直平分线，点(2,0)和(－2,4)连线段的中点为(0,2)，斜率为eq \f(4－0,－2－2)＝－1，
∴其垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为y＝x＋2，
设点(5,8)关于直线y＝x＋2的对称点为P(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0＋8,2)＝\f(x0＋5,2)＋2，,\f(y0－8,x0－5)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝6，,y0＝7.))
5．已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 由圆心在x＋y＝0上，可排除C，D.再结合图像(图略)或验证选项A，B中圆心到两直线的距离是否等于半径eq \r(2)即可．
6．设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4 C．3 D．1
答案 B
解析 设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，
依题意，得|PF1|＋|PF2|＝x＋2x＝3x＝2a＝6，
∴x＝2,2x＝4，
即|PF2|＝2，|PF1|＝4，又|F1F2|＝2eq \r(9－4)＝2eq \r(5)，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝eq \f(π,2)，
∴△PF1F2的面积为S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝eq \f(1,2)×2×4＝4.
二、多项选择题
7．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝8
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－2)2＋(y－2)2＝8
答案 AD
解析 由题意可设圆心C(a，a)，圆C的半径为r，如图，
则22＋a2＝2a2，解得a＝±2，r2＝8.
所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
8．如果方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的可能取值是( )
A．3 B．5 C．－2 D．6
答案 BD
解析 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2>a＋6，,a＋6>0，))
解得－63.
三、填空题
9．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于半长轴、半短轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,b2)＝1的蒙日圆为x2＋y2＝8，则b2＝________.
答案 2
解析 由题可知，蒙日圆x2＋y2＝8半径的平方为8，故有6＋b2＝8，故b2＝2.
10．已知直线l1：xcs2α＋eq \r(3)y＋2＝0，若l1⊥l2，则l2倾斜角的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
解析 当cs2α≠0时，∵l1：xcs2α＋eq \r(3)y＋2＝0，
则＝－eq \f(cs2α,\r(3))，
∵l1⊥l2，∴＝－1，∴＝eq \f(\r(3),cs2α)，
∵0设l2的倾斜角为θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，则tan θ≥eq \r(3)，
∴eq \f(π,3)≤θ当cs2α＝0时，直线l1的斜率为0，倾斜角为0，
∵l1⊥l2，∴l2的倾斜角为eq \f(π,2)，
综上，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).
11．已知直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x＋2eq \r(3)与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
答案 4
解析 由题意，得圆心到直线l的距离d＝eq \f(2\r(3),\r(1＋\f(1,3)))＝3，
∴|AB|＝2eq \r(12－9)＝2eq \r(3).
又易知直线l的倾斜角为30°，
∴|CD|＝eq \f(|AB|,cs 30°)＝eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.
12．在Rt△ABC中，|AB|＝|AC|＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率等于________．
答案 eq \r(6)－eq \r(3)
解析 根据题意建立如图所示的坐标系，
设Rt△ABC周长为4a，
∴4a＝1＋1＋eq \r(2)＝2＋eq \r(2)，则a＝eq \f(2＋\r(2),4)，
设AB上另一个焦点为D，
则|AD|＝2a－|AC|＝eq \f(\r(2),2)，
在Rt△ACD中，∠A＝90°，|AC|＝1，|AD|＝eq \f(\r(2),2)，
则2c＝|CD|＝eq \r(1＋\f(1,2))＝eq \f(\r(6),2)，
∴c＝eq \f(\r(6),4)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(\r(6),4),\f(2＋\r(2),4))＝eq \r(6)－eq \r(3).
四、解答题
13．已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
解 (1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)．
半径为eq \f(1,2)|OP|＝eq \f(1,2)eq \r(4－02＋6－02)＝eq \r(13)，
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上，即AB为圆O与(1)中所求圆的公共弦．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1，,x－22＋y－32＝13，))
两式相减得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
14.如图，OA，OB是两条公路(近似看成两条直线)，∠AOB＝eq \f(π,3)，在∠AOB内有一纪念塔P(大小忽略不计)，已知P到直线OA，OB的距离分别为PD，PE，PD＝6千米，PE＝12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA，OB分别交于点M，N.
(1)求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；
(2)若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．
解 (1)以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，
则直线OB的方程为y＝eq \r(3)x，
又P到直线OA的距离|PD|＝6千米，设P(t，6)，
所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)t－6)),2)＝12，
解得t＝10eq \r(3)或t＝－6eq \r(3)(舍)，
所以|OP|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10\r(3)))2＋62)＝4eq \r(21).
(2)因为P为小路MN的中点，点M在x轴上，即yM＝0，所以yN＝12，
又点N在OB上，所以yN＝eq \r(3)xN，所以xN＝4eq \r(3)，
由(1)知Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10\r(3)，6))，所以xM＝16eq \r(3)，
|MN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16\r(3)－4\r(3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12－0))2)＝24.
15．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解 (1)由题意可得，c＝1，a＝2，
∴b＝eq \r(3).
∴所求椭圆E的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设M(x0，y0)，x0∈(－2，2)，
则eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1.①
eq \(MP,\s\up6(→))＝(t－x0，－y0)，eq \(MH,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MH,\s\up6(→))＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋yeq \\al(2,0)＝0.②
由①②消去y0，
整理得t(2－x0)＝－eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝eq \f(1,4)x0－eq \f(3,2).
∵－2∴－2∴实数t的取值范围为(－2，－1)．