高中数学苏教版 (2019)必修第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式导学案

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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式导学案，共4页。

A．若x1，x2∈I，且x1B．函数y＝x2在(0,5)上是增函数
C．函数y＝－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数
D．y＝eq \f(1,x)的减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 AD
解析由于A中的x1，x2不是任意的，因此A不正确；BC显然正确，D中减区间不能用并集．
2．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝eq \f(1,x)＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
答案 A
解析选项B，C在[1,4]上均单调递增，选项A，D在[1,4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值．
3．(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是( )
A．g(x)＝x＋f(x) B．g(x)＝xf(x)
C．g(x)＝x2＋f(x) D．g(x)＝x2f(x)
答案 AD
解析因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，
所以g(x)＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
所以g(x)＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，
所以g(x)＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数，
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，
所以g(x)＝x2f(x)是奇函数．
4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于( )
A．x2 B．2x2
C．2x2＋2 D．x2＋1
答案 D
解析因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①
所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，
所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②
由①②联立，得f(x)＝x2＋1.
5．已知函数f(x)＝eq \f(2x,x－1)≥a在区间[3,5]上恒成立，则实数a的最大值是( )
A．3 B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,5) D.eq \f(5,2)
答案 D
解析因为f(x)＝eq \f(2x,x－1)＝eq \f(2x－1＋2,x－1)＝2＋eq \f(2,x－1)，所以函数f(x)在[3,5]上单调递减，函数f(x)的最小值为f(5)＝eq \f(5,2)，所以a≤eq \f(5,2)， a的最大值是eq \f(5,2).
6．函数f(x)＝|2x－1|的减区间为________，增区间为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析函数f(x)＝|2x－1|＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))的图象如图所示，由图可知函数f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
7．已知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调函数且f(0)答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
解析由题意知，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，所以不等式f(x)即－1≤x8．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x＋3，若f(a)<7，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，2)
解析当x<0时，有－x>0，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)＋3]＝2x－3.
当a>0时，f(a)<7⇒2a＋3<7⇒a<2，∴0当a<0时，f(a)<7⇒2a－3<7⇒a<5，∴a<0；
当a＝0时，f(0)＝0<7，符合题意，
所以实数a的取值范围为(－∞，2)．
9．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥t，,x，00)是区间(0，＋∞)上的增函数，则t的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 y＝x2的增区间为[0，＋∞)，y＝x的增区间为(－∞，＋∞)，若f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t≥0，,t≤t2，,t>0，))所以t≥1.
10．设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈(0,1]时f(x)＝－x2＋eq \f(a,x)(a∈R)．
(1)当x∈[－1,0)时，求出函数的解析式；
(2)当a<－2时，试判断函数f(x)在(0,1]上的单调性，并证明．
解 (1)当x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，
则f(－x)＝－(－x)2－eq \f(a,x)＝－x2－eq \f(a,x).
因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x∈[－1,0))．
(2)当a<－2时，f(x)在(0,1]上是增函数．
证明如下，设任意x1，x2∈(0,1]，且x1则f(x1)－f(x2)＝－xeq \\al(2,1)＋eq \f(a,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x\\al(2,2)＋\f(a,x2)))
＝xeq \\al(2,2)－xeq \\al(2,1)＋eq \f(a,x1)－eq \f(a,x2)
＝eq \f(x2－x1,x1x2)·[x1x2(x2＋x1)＋a]．
因为x1，x2∈(0,1]，且x1所以eq \f(x2－x1,x1x2)>0，x1x2(x2＋x1)∈(0,2)．
又因为a<－2，所以x1x2(x2＋x1)＋a<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以当a<－2时，函数f(x)在(0,1]上是增函数．

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