苏教版 (2019)必修 第一册5.1 函数的概念和图象第1课时学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册5.1 函数的概念和图象第1课时学案，共13页。学案主要包含了函数的概念的理解，函数的定义域，求函数值或函数的值域等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.会用集合语言和对应关系刻画函数.2.理解函数的概念，了解构成函数的要素.
3.会求简单函数的定义域与值域．
导语
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数．这个函数与正比例函数y＝4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y＝x与y＝eq \f(x2,x)是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念．
一、函数的概念的理解
问题1 你还记得初中所学函数的概念吗？
提示 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，x是自变量．
问题2 下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？
(1)某“复兴号”高速列车提速到350 km/h后保持匀速运行半小时，这半小时内，列车行进的路程s与运行时间t的关系是函数关系吗？
(2)如图是某市某日的空气质量指数变化图．你认为这里的空气质量指数I是时刻t的函数吗？
(3)国际上常用恩格尔系数req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r＝\f(食物支出金额,总支出金额)))反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．
上表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况．你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
提示 (1)中s是t的函数；(2)中I是t的函数；(3)中r是y的函数．
问题3 上述例子中的函数有哪些共同特征？
提示 每个例子中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定．每一个例子都涉及确定的函数．
知识梳理
注意点：
(1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集．
(2)应注意函数定义中的“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．
(3)函数符号“y＝f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积．
(4)函数三要素：定义域，对应关系与值域．
例1 (1)(多选)下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
答案 AD
解析 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的要求；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．
(2)下列各组函数表示同一个函数的序号是________．
①f(x)＝2x＋1与g(x)＝eq \f(2x2＋x,x)；
②f(x)＝|x2－1|与g(t)＝eq \r(t2－12)；
③f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1.
答案 ②
解析 对于①，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数；
对于②，f(x)＝|x2－1|，g(t)＝|t2－1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应关系都相同，是同一个函数；
对于③，f(x)，g(x)的定义域都是R，但对应关系不同，不是同一个函数．
反思感悟 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)判断两个函数为同一个函数的注意点
①先求定义域，定义域不同则不是同一个函数；
②若定义域相同，再看对应关系是否相同．
跟踪训练1 (1)(多选)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个选项，不能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
答案 ACD
解析 A中，因为在集合M中当1B中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以B是；
C中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以C不是；
D中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以D不是．
(2)下列各组函数中表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝eq \f(x2＋2x,x)，g(x)＝x＋2
B．f(x)＝x2－3x，g(t)＝t2－3t
C．f(x)＝(eq \r(x))2，g(x)＝x
D．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝x
答案 B
解析 A中，f(x)＝eq \f(x2＋2x,x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x＋2的定义域为R，故不是同一个函数；
B中，f(x)＝x2－3x与g(t)＝t2－3t定义域都为R，且解析式相同，故是同一个函数；
C中，f(x)＝(eq \r(x))2的定义域为{x|x≥0}，g(x)＝x的定义域为R，故不是同一个函数；
D中，f(x)＝eq \r(x2)＝|x|与g(x)＝x解析式不同，故不是同一个函数．
二、函数的定义域
问题4 初中我们学习过哪些函数？
提示 一次函数、二次函数和反比例函数．
问题5 你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？
提示 一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥\f(4ac－b2,4a)))))；当a<0时，它的值域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤\f(4ac－b2,4a)))))，对应关系实际上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；反比例函数f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)．
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝3－eq \f(1,2)x；(2)y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))；
(3)y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；(4)y＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)).
解 (1)函数y＝3－eq \f(1,2)x的定义域为R.
(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，
即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以函数y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为{x|x>－2，且x≠－1}．
(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))
解得x≤5，且x≠±3，
所以函数y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
(4)要使函数有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,x＋4x－1<0，))
解不等式组得－1≤x<1.
因此函数y＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4))的定义域为{x|－1≤x<1}．
反思感悟 求函数的定义域应关注三点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；
(2)y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x)).
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,x≤1.))
所以定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－3x－2≥0，,4－x>0，))
得x≤－eq \f(1,2)或2≤x<4，
所以定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,2)，或2≤x<4)))).
三、求函数值或函数的值域
例3 已知f(x)＝x2－4x＋2.
(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；
(2)求f(x)的值域；
(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．
解 (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，
f(a)＝a2－4a＋2，
f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2
＝a2－2a－1.
(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，
∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．
(3)g(3)＝3＋1＝4，
∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.
反思感悟 (1)函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得；
(2)求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则；
(3)配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
跟踪训练3 求下列函数的值域：
(1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1,0,1,2}；
(2)f(x)＝x2＋2x＋3.
解 (1)∵函数定义域为{－1,0,1,2}，
f(x)＝(x＋1)2＋2.
∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11，
∴函数f(x)的值域为{2,3,6,11}．
(2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，
∴f(x)的值域为[2，＋∞)．
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)求函数的定义域．
(3)求函数值或值域．
2．方法归纳：定义法．
3．常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义．
1．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )
A．y是x的函数
B．x是y的函数
C．对于不同的x，y也不同
D．f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
答案 AD
解析 由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．
2．下列图形中不是函数图象的是( )
答案 A
解析 A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义．
3．若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，则f(3)＝________，f(f(－2))＝________.
答案 －eq \f(1,8) eq \f(9,8)
解析 f(3)＝eq \f(1,1－9)＝－eq \f(1,8)，
f(f(－2))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(9,8).
4．函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域是________________________．
答案 {x|x≥－1且x≠1}
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,x－1≠0，))
所以x≥－1且x≠1，
故函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域为{x|x≥－1，且x≠1}．
1．(多选)下列四种说法中，正确的有( )
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
答案 ACD
解析 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
2．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1
C．6a2－2 D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
3．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
答案 B
解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1,2}，故错误．
4．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是( )
A．f：x→y＝eq \f(1,8)x B．f：x→y＝eq \f(1,4)x
C．f：x→y＝eq \f(1,2)x D．f：x→y＝x
答案 ABC
解析 根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．
5．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝eq \r(－2x3)与g(x)＝xeq \r(－2x)
B．f(x)＝x与g(x)＝eq \r(x2)
C．f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0)
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
答案 CD
解析 A项，f(x)＝eq \r(－2x3)＝－xeq \r(－2x)与g(x)＝xeq \r(－2x)的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．
B项，g(x)＝eq \r(x2)＝|x|与f(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．
C项，f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0)都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数．
D项，f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数．
6．函数f(x)＝eq \f(\r(2x－1),x2－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)))))
B．{x|x>1}
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x<1或x>1))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(1,2)或x>1))))
答案 C
解析 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,x2－1≠0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)，,x≠±1，))
即函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x＜1，或x>1)))).
7．已知函数f(x)＝eq \f(1,1＋x)，又知f(t)＝6，则t＝________.
答案 －eq \f(5,6)
解析 由f(t)＝6，得eq \f(1,1＋t)＝6，即t＝－eq \f(5,6).
8．若f(x)＝eq \f(2x,x2＋2)，x∈{1,2}，则函数的值域为________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))
解析 ∵函数的定义域为{1,2}，
∴f(1)＝eq \f(2×1,12＋2)＝eq \f(2,3)，
f(2)＝eq \f(2×2,22＋2)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，
∴函数的值域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))).
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \r(3x－1)＋eq \r(1－2x)＋4；
(2)f(x)＝eq \f(x＋30,\r(|x|－x)) .
解 (1)要使函数式有意义，
必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1≥0，,1－2x≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,3)，,x≤\f(1,2)，))所以eq \f(1,3)≤x≤eq \f(1,2)，
即函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x≤\f(1,2))))).
(2)要使函数式有意义，必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－3，,|x|>x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－3，,x<0.))
所以函数的定义域为{x|x<0，且x≠－3}．
10．已知函数f(x)＝eq \f(6,x－1)－eq \r(x＋4).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解 (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为{x|x≥－4，且x≠1}．
(2)f(－1)＝eq \f(6,－2)－eq \r(－1＋4)＝－3－eq \r(3).
f(12)＝eq \f(6,12－1)－eq \r(12＋4)＝eq \f(6,11)－4＝－eq \f(38,11).
11．已知eq \r(2)≈1.414 21，如果对应关系f将n对应到eq \r(2)的小数点后第n位上的数字，则f(2)＋f(4)等于( )
A．5 B．6 C．3 D．2
答案 C
解析 由题意f(2)＝1，f(4)＝2，
所以f(2)＋f(4)＝3.
12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝eq \f(1,x) D．f(x)＝|x|
答案 A
解析 对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2，f(x)＋1＝－x2＋1，不成立．
对于C选项，f(x＋1)＝eq \f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(1,x)＋1，不成立．
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．
13．若对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________，f(－1)＝________.
答案 2 0
解析 对任意x∈R,2f(x)－f(－x)＝3x＋1，
令x＝1，则2f(1)－f(－1)＝4， ①
令x＝－1，则2f(－1)－f(1)＝－2. ②
由①②解得f(1)＝2，f(－1)＝0.
14．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则从A到B的函数f(x)有________个．
答案 8
解析 利用表格确定函数的个数．
15．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域是________．
答案 {x|0解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<\f(x,2)<1，,－1即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2解得0于是函数g(x)的定义域为{x|016．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系吗？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 023)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 023)))的值．
解 (1)由f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)＝1－eq \f(1,x2＋1)，
所以f(2)＝1－eq \f(1,22＋1)＝eq \f(4,5)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \f(1,\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,5).
f(3)＝1－eq \f(1,32＋1)＝eq \f(9,10)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1－eq \f(1,\f(1,9)＋1)＝eq \f(1,10).
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1.
证明如下：
f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))
＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，
f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，
…，
f(2 023)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 023)))＝1.
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 023)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 023)))＝2 022.年份y
2011
2012
2013
2014
2015
恩格尔系数r(%)
33.53
33.87
29.89
29.35
28.57
概念
给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
对应关系
y＝f(x)，x∈A
对应关系相同，定义域相同的两个函数就是同一个函数
定义域
集合A(自变量x的取值范围)
值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5