新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】第6章 章末复习课

章末复习课

一、幂函数

幂函数的图象及应用是考查重点，主要应用有两方面：一是识图或用图，二是单调性的应用，渗透直观想象与逻辑推理的核心素养．

例1　(1)若函数(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为________．

答案　1

解析　由图象可知，m2－2m－3为负偶数，且m∈Z，所以m＝1.

(2)实数的大小关系是____________________．

答案　

解析　∵在其定义域内是增函数，

而，0.7<<1.7，

反思感悟　幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

(2)比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量．可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象进行判断．

跟踪训练1　已知函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的正整数a＝________.

答案　3

解析　∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∴<0，∴a>1.

又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，且在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)为偶函数，

∴1－a为负偶数，∴a为奇数，

∴最小的正整数a＝3.

二、指数函数、对数函数的图象及其应用

1．指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题．

2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．

例2　(1)已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)

答案　C

解析　函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B，

若0<a<1，则f(x)＝ax是减函数，

此时g(x)＝loga是减函数，C，D都不满足；若a>1，则f(x)＝ax是增函数，

此时g(x)＝loga是增函数，C满足．

(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)－k＝0有3个根，则实数k的取值范围是(　　)

A．[0,1]   B．(0,1)

C．(0,1]   D．[1，＋∞)

答案　C

解析　方程f(x)－k＝0有3个根，即函数f(x)的图象与直线y＝k有3个不同的交点．作出函数f(x)的图象，如图．根据图象可得，当0<k≤1时，函数f(x)的图象与直线y＝k有3个不同的交点，所以当方程f(x)－k＝0有3个根时，0<k≤1.

反思感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．

跟踪训练2　(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)

答案　A

解析　若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，

又由函数y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴x＝在y轴左侧，A，B，C，D都不满足．

若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

函数y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴

x＝在y轴右侧，A满足．

(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　)

A．(0，＋∞)

B．(－∞，0]∪(1，＋∞)

C．(－∞，0]

D．(0,1]

答案　D

解析　作出f(x)的图象如图所示，要使关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同实数根，即f(x)的图象与直线y＝m有两个交点，如图，0<m≤1.

三、指数函数、对数函数的性质及其应用

1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解，解决与指数、对数函数有关的复合函数等问题．

2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养．

例3　(1)设a＝log2π，，c＝π－2，则(　　)

A．a>b>c   B．b>a>c

C．a>c>b   D．c>b>a

答案　C

解析　∵a＝log2π>log22＝1，

c＝π－2＝，即0<c<1，

∴a>c>b.

(2)已知函数f(x)＝log2(a∈R)是奇函数．

①求a的值；

②对任意的x∈(－∞，0)，不等式f(2x＋1)>log2(m－2x)恒成立，求实数m的取值范围．

解　①方法一　令＋1>0，

则>0.

∴x<－a－1或x>－a.

∵f(x)是奇函数，

∴其定义域关于原点对称，∴－a－1－a＝0，

∴a＝－.

验证a＝－时，f(x)＝log2，

则f(－x)＝log2＝log2

＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数，

综上，a＝－.

方法二　f(x)＝log2

＝log2，

则>0⇔

A＝，

因为f(x)是奇函数，

故∀x∈A，f(－x)＝－f(x)，

即log2＝－log2

＝log2，

所以＝，

即(1＋a)2－x2＝a2－x2，

解得a＝－.

②由①得f(2x＋1)>log2(m－2x)⇒log2

>log2(m－2x)⇒m<2x＋＋＋，

令u＝2x＋，x∈(－∞，0)，

所以u∈，令g(u)＝u＋＋.

易知g(u)≥，当且仅当u＝，即u＝1时取等号，所以m<，

又由m－2x>0⇒m>2x，故m≥1，

所以实数m的取值范围是.

反思感悟　要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决；研究复合函数的奇偶性、单调性时勿忘定义域．

跟踪训练3　(1)若0<x<y<1，则(　　)

A．3y<3x   B．logx3<logy3

C．log4x<log4y   D.x<y

答案　C

解析　因为0<x<y<1，则

对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误；

对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误；

对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确；

对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，D错误．

(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.

①求a的值；

②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．

解　①因为loga3>loga2，所以a>1，

所以f(x)＝logax在[a,3a]上单调递增．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，

所以loga(3a)－logaa＝1，

即loga3＝1，

所以a＝3.

②函数y＝(log3x)2－log3＋2

＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.

令t＝log3x，

因为1≤x≤3，

所以0≤log3x≤1，

即0≤t≤1.

所以y＝2＋∈，

所以所求函数的值域为.