高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第1课时导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第1课时导学案，共12页。学案主要包含了三角函数的定义及应用，特殊角的三角函数值，三角函数符号的判断等内容，欢迎下载使用。

第1课时 任意角的三角函数
学习目标 1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.2.熟记特殊角的三角函数值.3.掌握任意角的三角函数值在各个象限的符号．
导语
游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，既好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标系，假设你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课．
一、三角函数的定义及应用
问题1 初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样规定的？
提示 在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边．
问题2 之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？
提示 有交点，交点唯一．
知识梳理
任意角的三角函数的定义
注意点：
三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
例1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，y))(y<0)，则tan α＝________.
答案 －eq \f(4,3)
解析 因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，y))(y<0)在单位圆上，
则由勾股定理得eq \f(9,25)＋y2＝1，
所以y＝－eq \f(4,5)，所以tan α＝－eq \f(4,3).
(2)(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝－eq \f(3,10)eq \r(10)，则x的值为( )
A．－eq \r(3) B．－1
C．1 D.eq \r(3)
答案 BC
解析 OP＝eq \r(x2＋9)，
∵sin α＝eq \f(－3,OP)＝eq \f(－3,\r(x2＋9))＝－eq \f(3,10)eq \r(10)，
解得x2＝1，∴x＝±1.
延伸探究 在本例(2)中，将“sin α＝－eq \f(3,10)eq \r(10)”改为“cs α＝－eq \f(\r(10),10)”求x的值．
解 OP＝eq \r(x2＋9)，
∴cs α＝eq \f(x,OP)＝eq \f(x,\r(x2＋9))＝－eq \f(\r(10),10)，
解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1.
反思感悟 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x).
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝eq \r(x2＋y2)，再求sin α＝eq \f(y,r)，
cs α＝eq \f(x,r).
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cs α的值．
解 r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，
所以2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5).
所以2sin α＋cs α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1.
二、特殊角的三角函数值
例2 利用定义求eq \f(2π,3)的正弦、余弦和正切值．
解 如图所示，eq \f(2π,3)的终边与单位圆的交点为P，
过点P作PB⊥x轴于点B，
在Rt△OPB中，OP＝1，∠POB＝eq \f(π,3)，
则PB＝eq \f(\r(3),2)，OB＝eq \f(1,2)，
则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
所以sin eq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，
cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
tan eq \f(2π,3)＝eq \f(\f(\r(3),2),－\f(1,2))＝－eq \r(3).
反思感悟 先在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值．
跟踪训练2 eq \f(5π,3)的正弦、余弦和正切值分别为________．
答案 －eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)，－eq \r(3)
解析 在直角坐标系中，作∠AOB＝eq \f(5π,3)，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
所以sin eq \f(5π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
cs eq \f(5π,3)＝eq \f(1,2)，tan eq \f(5π,3)＝－eq \r(3).
三、三角函数符号的判断
问题3 根据三角函数的定义，大家大胆猜测一下三角函数值在各个象限内的符号．
提示 三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α＝y，cs α＝x，tan α＝\f(y,x)))，正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负．
知识梳理
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
例3 (1)若sin αtan α<0，且eq \f(cs α,tan α)<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．
由eq \f(cs α,tan α)<0可知cs α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．
综上可知，α是第三象限角．
(2)(多选)下列选项中，符号为负的是( )
A．sin(－100°) B．cs(－220°)
C．tan 10 D．cs π
答案 ABD
解析 －100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cs(－220°)<0；10∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π，\f(7π,2)))在第三象限，故tan 10>0；cs π＝－1<0.
反思感悟 判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
跟踪训练3 已知点P(sin α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵点P(sin α，cs α)在第三象限，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α<0，,cs α<0，))∴α为第三象限角．
1．知识清单：
(1)三角函数的定义及求法．
(2)特殊角的三角函数值．
(3)三角函数值在各象限内的符号．
2．方法归纳：转化与化归、分类讨论．
3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
1．已知sin α＝eq \f(5,13)，cs α＝－eq \f(12,13)，则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)，－\f(12,13))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)，\f(12,13)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，－\f(5,13))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)，\f(5,13)))
答案 D
解析 设交点坐标为P(x，y)，
则y＝sin α＝eq \f(5,13)，x＝cs α＝－eq \f(12,13)，
∴点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)，\f(5,13))).
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cs α等于( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
答案 D
解析 设点P(－4,3)，
则OP＝eq \r(－42＋32)＝5，
∴cs α＝eq \f(－4,OP)＝－eq \f(4,5).
3．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
4．若点P(eq \r(3)，－1)在角α的终边上，则sin α＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 因为P(eq \r(3)，－1)，故OP＝2，
故sin α＝eq \f(－1,2)＝－eq \f(1,2).
1．已知点P(1，－2)是角α终边上一点，则sin α＋cs α等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(3\r(5),5)
C．－eq \f(3\r(5),5) D．－eq \f(\r(5),5)
答案 D
解析 因为点P(1，－2)是角α终边上一点，
所以sin α＝－eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin α＋cs α＝－eq \f(\r(5),5).
2．若cs α＝－eq \f(\r(3),2)，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2eq \r(3) B．±2eq \r(3) C．－2eq \r(2) D．－2eq \r(3)
答案 D
解析 因为cs α＝－eq \f(\r(3),2)<0，所以x<0，
又r＝eq \r(x2＋22)，由题意得eq \f(x,\r(x2＋22))＝－eq \f(\r(3),2)，
所以x＝－2eq \r(3).
3．(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是( )
A．cs 80°<0 B．sin 140°>0
C．tan eq \f(9π,8)>0 D．tan eq \f(5π,12)>0
答案 BCD
解析 ∵0°<80°<90°，
∴cs 80°>0；
∵90°<140°<180°，
∴sin 140°>0；
∵eq \f(9π,8)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
∴tan eq \f(9π,8)>0；
∵eq \f(5π,12)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴tan eq \f(5π,12)>0.
4．(多选)若sin θ·cs θ>0，则θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 AC
解析 因为sin θ·cs θ>0，
所以sin θ<0，cs θ<0或sin θ>0，cs θ>0，
所以θ的终边在第一象限或第三象限．
5．已知sin θcs θ<0，且|cs θ|＝cs θ，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
解析 ∵sin θcs θ<0，∴sin θ，cs θ是一正一负，
又|cs θ|＝cs θ，∴cs θ≥0，
综上有sin θ<0，cs θ>0，
即θ为第四象限角．
6．式子sin 1·cs 2·tan 4的符号为( )
A．正 B．负
C．零 D．不能确定
答案 B
解析 ∵1,2,4分别是第一、二、三象限角，
∴sin 1>0，cs 2<0，tan 4>0，
∴sin 1·cs 2·tan 4<0.
7．点P(tan 2 022°，cs 2 022°)位于第________象限．
答案 四
解析 因为2 022°＝5×360°＋222°，
所以2 022°的终边与222°的终边相同，
又222°是第三象限角，
所以tan 2 022°>0，cs 2 022°<0，
即点P位于第四象限．
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．
答案 (－2,3]
解析 由cs α≤0，sin α>0可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2>0，))
解得－29．已知角α的终边在直线y＝eq \r(2)x上，求sin α＋cs α的值．
解 在角α的终边上任取一点P(x，y)，
则y＝eq \r(2)x.
当x>0时，r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(3)x，
sin α＋cs α＝eq \f(y,r)＋eq \f(x,r)＝eq \f(\r(2),\r(3))＋eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(6)＋\r(3),3)；
当x<0时，r＝eq \r(x2＋y2)＝－eq \r(3)x，
sin α＋cs α＝eq \f(y,r)＋eq \f(x,r)＝－eq \f(\r(2),\r(3))－eq \f(1,\r(3))＝－eq \f(\r(6)＋\r(3),3).
10．已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，求sin θ，tan θ.
解 由题意知r＝OP＝eq \r(x2＋9)，
由三角函数定义得cs θ＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(x2＋9))，
又因为cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，
所以eq \f(x,\r(x2＋9))＝eq \f(\r(10),10)x.
因为x≠0，所以x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝eq \f(3,\r(12＋32))＝eq \f(3\r(10),10)，
tan θ＝eq \f(3,1)＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝eq \f(3,\r(－12＋32))＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝eq \f(3,－1)＝－3.
11．函数y＝eq \r(sin x)＋eq \r(－cs x)的定义域是( )
A．{x|2kπB.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)≤x≤2kπ＋π，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)≤x≤kπ＋π，k∈Z))))
D．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
答案 B
解析 由sin x≥0，－cs x≥0，
得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角，
所以2kπ＋eq \f(π,2)≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
12．已知α是第二象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＝－cs eq \f(α,2)，则sin eq \f(α,2)( )
A．为负 B．为正
C．可正可负 D．不确定
答案 A
解析 因为α是第二象限角，
所以2kπ＋eq \f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z.
所以kπ＋eq \f(π,4)所以eq \f(α,2)为第一、三象限角．
又因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＝－cs eq \f(α,2)，
所以cs eq \f(α,2)<0.
所以eq \f(α,2)为第三象限角．
所以sin eq \f(α,2)＜0.
13．在△ABC中，若sin Acs Btan C<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
答案 C
解析 在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，
∵sin A>0，∴cs B·tan C<0，
∴B，C一个为锐角，另一个为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
14．函数y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(tan x,|tan x|)的值域是________．
答案 {－1,3}
解析 依题意，角x的终边不在坐标轴上，
当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3，
当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1，
当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1，
当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1，
综上有值域为{－1,3}．
15．(多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( )
A．sin 2α>0 B．cs 2α>0
C．cs eq \f(α,2)>0 D．tan eq \f(α,2)>0
答案 AD
解析 由α是第一象限角，2kπ<α0.cs 2α的正负不确定；又因为kπ0，cs eq \f(α,2)的正负不确定．
16．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且OM＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，可知sin α<0，
由lg(cs α)有意义可知cs α>0，
∴角α位于第四象限．
(2)∵OM＝1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，
解得m＝±eq \f(4,5).
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5).
由正弦函数的定义可知sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,OM)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).条件
如图，α为任意角，它的终边上异于原点的任一点P(x，y)与原点的距离r＝eq \r(x2＋y2)，此时点P是角α的终边与半径为r的圆的交点
定义
正弦
比值eq \f(y,r)叫作α的正弦，记作sin α＝eq \f(y,r)
余弦
比值eq \f(x,r)叫作α的余弦，记作cs α＝eq \f(x,r)
正切
比值eq \f(y,x)(x≠0)叫作α的正切，记作tan α＝eq \f(y,x)
三角函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
余弦函数y＝cs x，x∈R
正切函数y＝tan x，x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z