高中数学7.3 三角函数的图象和性质第1课时导学案

这是一份高中数学7.3 三角函数的图象和性质第1课时导学案，共12页。学案主要包含了正弦函数，“五点法”画函数的图象等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
导语
网上百度一下一个物理实验：“沙摆实验”，就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上，我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么？
这个轨迹与我们今天要学习的正弦函数、余弦函数的图象有关．
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
问题1 结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？
提示 先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质．
问题2 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)?
提示 如图，在x轴上任取一点O′，以O′为圆心，单位长为半径作圆．在⊙O′中，设的长为x0(即∠AO′P＝x0)，则MP＝sin x0，所以点S(x0，sin x0)是以的长为横坐标，正弦线MP的数量为纵坐标的点．
问题3 我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
提示 在⊙O′中，作出对应于eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，…，eq \f(11π,6)的角及相应的正弦线，相应地，把x轴上从0到2π这一段分成12等份．把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示．
最后我们只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
问题4 如何画余弦函数的图象呢？
提示 根据诱导公式sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，将正弦曲线向左平移eq \f(π,2)个单位，可得到余弦函数的图象．
知识梳理
正弦函数、余弦函数的图象
例1 (多选)下列叙述正确的有( )
A．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称
B．y＝cs x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称
C．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象在x＝π时到达最高点
D．正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围
答案 ABD
解析 由函数y＝sin x和y＝cs x的图象，易知ABD均正确．
反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( )
A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
答案 A
解析 由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确．
二、“五点法”画函数的图象
知识梳理
“五点法”作图
例2 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝－2cs x＋3，x∈[0,2π]．
解 (1)列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
(2)列表：
描点、连线得出函数y＝－2cs x＋3，x∈[0,2π]的图象．
反思感悟 作形如y＝asin x＋b(或y＝acs x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤
跟踪训练2 利用“五点法”作出函数y＝2＋cs x(0≤x≤2π)的简图．
解 列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
例3 方程2sin x－1＝0，x∈[0,2π]的解集为________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))
解析 因为2sin x－1＝0，所以sin x＝eq \f(1,2).
在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及y＝eq \f(1,2)的图象．又sin eq \f(π,6)＝sin eq \f(5π,6)＝eq \f(1,2).
所以当x∈[0,2π]时，方程2sin x－1＝0的根为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6).
延伸探究
1．不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))
答案 D
解析 因为2sin x－1≥0，所以sin x≥eq \f(1,2).
在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及y＝eq \f(1,2)的图象．又sin eq \f(π,6)＝sin eq \f(5π,6)＝eq \f(1,2).
所以根据图象可知，sin x≥eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
2．在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．
解 在x∈[0,2π]上的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
所以x∈R时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).
反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cs x>a)的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cs x＝a)的x值．
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集．
(4)根据公式一写出定义域内的解集．
跟踪训练3 解关于x的不等式eq \f(1,2)解 作出正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象，作出直线y＝eq \f(1,2)和y＝eq \f(\r(3),2)，如图所示．
由图可知，在[0,2π]上当eq \f(π,6)1．知识清单：
(1)正弦、余弦函数图象的初步认识．
(2)五点法作图．
(3)正弦、余弦函数图象的应用．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：五点法时选取点错误．
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )
答案 B
解析 y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.
2．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 将y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝1的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，
显然，数形结合可知，只有1个交点．
3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
答案 B
解析 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
4．函数y＝cs x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，4))
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝cs x＋4，,y＝4))得cs x＝0，
当x∈[0,2π]时，x＝eq \f(π,2)或eq \f(3π,2)，
∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，4)).
1．已知余弦函数过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，m))，则m的值为( )
A．0 B．－1
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 设余弦函数为y＝cs x，
由函数过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，m))，
可得m＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2).
2．(多选)用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))
C．(π，0) D．(2π，3)
答案 AD
解析 五个关键点的横坐标依次是0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π.代入计算得B，C是关键点．
3．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得g(x)的图象
D．向右平移eq \f(π,2)个单位长度，得g(x)的图象
答案 D
解析 f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，
g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝sin x，
f(x)的图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度得到g(x)的图象．
4．在[0,2π]上，函数y＝eq \r(2sin x－\r(2))的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 B
解析 依题意得2sin x－eq \r(2)≥0，即sin x≥eq \f(\r(2),2).作出y＝sin x在[0,2π]上的图象及直线y＝eq \f(\r(2),2)，如图所示．
由图象可知，满足sin x≥eq \f(\r(2),2)的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，故选B.
5．函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝eq \f(1,2)交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，
可知其与直线y＝eq \f(1,2)有2个交点．
6．(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cs x>sin x成立的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(5π,4)))
答案 AC
解析 在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，当cs x＝sin x时，x＝eq \f(π,4)或x＝eq \f(5π,4)，结合图象可知满足cs x>sin x的是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π)).
7．函数f(x)＝sin x－1，x∈[0,2π]与x轴交点的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))
解析 令f(x)＝0，∴sin x＝1，
又x∈[0,2π]，
∴x＝eq \f(π,2).
∴f(x)与x轴交点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0)).
8．函数y＝1＋cs x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝eq \f(3,2)的交点有________个．
答案 2
解析 令1＋cs x＝eq \f(3,2)，
即cs x＝eq \f(1,2)，
∵x∈[0,2π]，
∴x＝eq \f(π,3)或eq \f(5π,3)，
所以函数y＝1＋cs x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝eq \f(3,2)的交点有2个．
9．用“五点法”作出下列函数的图象y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]．
解 列表：
描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象如图所示．
10．已知函数y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解 (1)y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπ，k∈Z，))
图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
11．(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]与y＝a有一个交点，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
答案 BD
解析 画出y＝sin x－1的图象．如图．
依题意a＝0或a＝－2.
12．方程sin x＝eq \f(x,10)的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 A
解析 在同一平面直角坐标系内画出y＝eq \f(x,10)和y＝sin x的图象如图所示．
根据图象可知方程有7个根．
13.如图，在平面直角坐标系中，角α(0<α<π)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转eq \f(π,2)至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为Q.记线段BQ的长为y，则函数y＝f(α)的图象大致是( )
答案 B
解析 由题可得A(cs α，sin α)，将OA绕坐标原点逆时针旋转eq \f(π,2)至OB，
可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))))，
即B(－sin α，cs α)．
因为线段BQ的长为y，
所以函数y＝f(α)＝|cs α|.
14．已知函数f(x)＝2cs x＋1，若f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，m))，则m＝________；若f(x)<0，则x的取值集合为________．
答案 1 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ解析 当x＝eq \f(π,2)时，f(x)＝2cs eq \f(π,2)＋1＝1，
∴m＝1.
f(x)<0，即cs x<－eq \f(1,2)，作出y＝cs x在x∈[0,2π]上的图象，如图所示．
由图知x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ15．函数y＝2cs x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
答案 4π
解析 如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
16．若方程sin x＝eq \f(1－a,2)在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))上有两个实数根，求a的取值范围．
解 在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))的图象，y＝eq \f(1－a,2)的图象，由图象可知，当eq \f(\r(3),2)≤eq \f(1－a,2)<1，即当－1函数
y＝sin x
y＝cs x
图象
曲线
正弦曲线：正弦函数的图象
余弦曲线：余弦函数的图象
函数
y＝sin x
y＝cs x
图象画法
五点法
五点法
关键五点
(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)
(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
－2cs x
－2
0
2
0
－2
－2cs x＋3
1
3
5
3
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
2＋cs x
3
2
1
2
3
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋2sin x
1
3
1
－1
1