高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质第4课时学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质第4课时学案，共15页。学案主要包含了正切函数的图象与性质，正切函数图象与性质的综合应用等内容，欢迎下载使用。

第4课时　正切函数的图象与性质
学习目标　1.了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
导语
我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究．我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？
一、正切函数的图象与性质
问题1　我们采用什么方法画正弦函数图象的？
提示　采用平移正弦线的方法，先画出一个周期的图象，再向左、右平移得到正弦函数的图象．
问题2　我们能否采用类似的方法画出函数y＝tan x的图象呢？
提示　可以参照画正弦函数的方法，先利用正切线画出y＝tan x，x∈的图象，如图；再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x的图象．


知识梳理
正切函数的图象与性质

解析式
y＝tan x
图象

曲线
正切函数的图象称为正切曲线
定义域

值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
每个开区间(k∈Z)都是函数的增区间
对称性
对称中心(k∈Z)

注意点：
(1)研究正切函数时应注意定义域；
(2)正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．
角度1　奇偶性与周期性
例1　(1)函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
答案　A
解析　方法一　T＝＝＝.
方法二　f(x)＝tan
＝tan
＝tan
＝f ，
∴T＝.
(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案　A
解析　f(x)的定义域为，关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
反思感悟　与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
角度2　单调性
例2　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：
①tan ________tan ；
②tan ________tan.
答案　①<　②<
解析　①tan ＝tan ，且0<<<，
又y＝tan x在上是增函数，
所以tan  ②tan ＝tan ，tan＝tan ，
因为0<<<，
又y＝tan x在上是增函数，
所以tan  (2)求函数y＝tan的单调区间．
解　∵y＝tan x在(k∈Z)上是增函数，∴－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，
即－＋ ∴函数y＝tan的增区间是(k∈Z)，无减区间．
反思感悟　(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案　A
解析　要使f(x)有意义，必须满足
即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝－
＝－f(x)，
故f(x)＝是奇函数．
(2)函数y＝3tan的减区间为________________．
答案　，k∈Z
解析　y＝3tan可化为
y＝－3tan，
由kπ－ 得2kπ－ 故减区间为，k∈Z.

二、正切函数图象与性质的综合应用
例3　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
解　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，
得x≠＋2kπ(k∈Z)，
所以f(x)的定义域是.
因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ 所以函数f(x)的增区间是(k∈Z)，无减区间．
由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集是
.
反思感悟　解答正切函数图象与性质问题的注意点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个开区间(k∈Z)上都是增函数，但不能说其在定义域内是增函数．
跟踪训练2　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
解　由y＝|tan x|得y＝
其图象如图，

由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数．
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
函数y＝|tan x|的增区间为，k∈Z，减区间为，k∈Z.

1．知识清单：
(1)正切函数的图象与性质．
(2)正切函数图象与性质的综合应用．
2．方法归纳：整体代换、换元法．
3．常见误区：最小正周期T＝(ω>0)，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z)．

1．函数y＝－2＋tan的增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　A
解析　由－＋kπ 解得－＋2kπ 2．函数y＝tan的一个对称中心是(　　)
A．(0,0) B. C. D．(π，0)
答案　C
解析　令x＋＝，k∈Z，
得x＝－，k∈Z，
所以函数y＝tan的对称中心是，k∈Z.
令k＝2，可得函数的一个对称中心为.
3．函数y＝tan，x∈的值域为________．
答案　(－1，)
解析　∵x∈，∴x－∈，
∴tan∈(－1，)，
∴值域为(－1，)．
4．比较大小：tan ________tan .
答案　>
解析　因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，
又0<<<，
y＝tan x在内是增函数，
所以tan 



1．函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.
2．函数y＝tan的最小正周期为(　　)
A．2π B．π C. D.
答案　C
解析　根据周期公式计算得T＝＝.
3．函数f(x)＝sin xtan x(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案　B
解析　f(x)的定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sin x·tan x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
4．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．8
答案　C
解析　由题意可得f(x)的最小正周期为，则＝，∴ω＝3.
5．(多选)与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
答案　AD
解析　令2x－＝＋kπ，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，
∴直线x＝＋，k∈Z与函数
y＝tan的图象不相交，
∴令k＝－1，x＝－.
k＝0，x＝.
6．(多选)下列关于函数y＝tan的说法不正确的是(　　)
A．在区间上是增函数
B．最小正周期是π
C．图象关于点对称
D．图象关于直线x＝对称
答案　ACD
解析　令kπ－
7．函数y＝tan的增区间是__________．
答案　，k∈Z
解析　令－＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，
则－ 所以函数y＝tan的增区间是，k∈Z.
8．函数y＝的值域为______________________________.
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　当－ 所以<－1；
当0 所以>1.
即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9．设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解　(1)∵ω＝，
∴最小正周期T＝＝＝3π.
令－＝(k∈Z)，得x＝π＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝π；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．

10．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和减区间；
(2)试比较f(π)与f 的大小．
解　(1)因为f(x)＝3tan
＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－<－ 得4kπ－ 因为y＝3tan在(k∈Z)内是增函数，
所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)内是减函数．
故原函数的最小正周期为4π.
减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，
f ＝3tan＝3tan＝－3tan ，
因为0<<<，
且y＝tan x 在上是增函数，
所以tan f .



11．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　A
解析　因为函数的图象过点，
所以tan＝0，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.
12．已知函数y＝tan ωx在区间内是减函数，则(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
答案　B
解析　∵y＝tan ωx在内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0.
13．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；
③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)


A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
答案　D
解析　y＝tan(－x)＝－tan x在上是减函数，只有图象d符合，即d对应③，故选D.
14．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．
答案　[－4,4]
解析　∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．

15．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)


答案　D
解析　当 当x＝π时，y＝0；
当πsin x，y＝2sin x，且－2 16．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．
解　(1)由题意可得f(x)的周期为
T＝－＝＝，所以ω＝，
得f(x)＝Atan，它的图象过点，
所以tan＝0，即tan＝0，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝－，
于是f(x)＝Atan，
它的图象过点(0，－3)，
所以Atan＝－3，得A＝3.
所以f(x)＝3tan.
(2)因为3tan≥，
所以tan≥，
得kπ＋≤x－ 解得＋≤x<＋，k∈Z，
所以满足f(x)≥的x的取值范围是，k∈Z.