初中数学第一章 全等三角形综合与测试课后练习题

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》单元综合测试题（附答案）

一．选择题（共8小题，满分40分）

1．如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（　　）

A．AD＝AC B．∠E＝∠B C．ED＝BC D．∠D＝∠C

2．如图，△ABC≌△AED，点D在BC边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（　　）

A．50° B．60° C．65° D．30°

3．小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（　　）

A．① B．② C．③ D．都可以

4．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，则∠1与∠2的关系是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180°

6．如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（　　）

A．50° B．60° C．40° D．20°

7．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．11

8．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（　　）

①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤

二．填空题（共8小题，满分40分）

9．如图，已知△ABC≌△DFE，∠B＝80°，∠ACB＝30°，则∠D＝　   　°．

10．如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为 　   　cm．

11．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是 　   　．

12．如图是由四个相同的小正方形组成的网格图，则∠1+∠2＝　   　．

13．如图，已知AB＝3，AC＝CD＝1，∠D＝∠BAC＝90°，则△ACE的面积是 　   　．

14．已知，如图，在△ABC中，∠B＝60°，D，E分别为AB，BC上的点，且AE，CD交于点F，AE，CD为△ABC的角平分线．

（1）求∠AFC＝　   　；

（2）若AD＝6，CE＝4，求AC＝　   　．

15．如图，点P在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，PA＝PC，PA平分∠BAD，设∠ABC＝α，∠ADP＝β，则α与β满足的数量关系是 　   　．

16．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B、D、E三点在一条直线上．若∠3＝55°，∠2＝30°，则∠1的度数为 　   　．

三．解答题（共5小题，满分40分）

17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD，AD＝2，求AB的长．

18．如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．

（1）求证：AD＝CE；

（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．

19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．

（1）求证：BD＝DC．

（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

20．如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，

N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．

（1）试说明：△ABE≌△DBC；

（2）探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．

21．综合与探究

如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．

（1）求证：△ACE≌△ABD．

（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．

（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．

参考答案

一．选择题（共8小题，满分40分）

1．解：∵∠EAB＝∠DAC，

∴∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD，

∴∠EAD＝∠BAC，

A．AB＝AE，∠EAD＝∠BAC，AD＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；

B．∠E＝∠B，AB＝AE，∠EAD＝∠BAC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；

C．AB＝AE，ED＝BC，∠EAD＝∠BAC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△AED≌△ABC，故本选项符合题意；

D．∠D＝∠C，∠EAD＝∠BAC，AB＝AE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；

故选：C．

2．解：∵△ABC≌△AED，

∴∠BAC＝∠EAD，∠EDA＝∠C，AD＝AC，

∴∠DAC＝∠EAB＝50°，

∴∠ADE＝∠ADC＝∠C＝65°，

故选：C．

3．解：由图可知，带③能满足“角边角”，可以配一块与原玻璃一样形状和大小的玻璃．

故选：C．

4．解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，

∵AC＝9，

∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，

∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，

∴∠CAD＝∠BAD，

在△APE和△APB中，

，

∴△APE≌△APB（SAS），

∴PE＝PB＝3，

∵4﹣3＜PC＜4+3，

解得1＜PC＜7，

∴PC取6，

故选：A．

5．解：如图，

在△ABC与△EDF中，

，

∴△ABC≌△EDF（SAS），

∴∠1＝∠ABC．

∵∠ABC+∠2＝180°，

∴∠1+∠2＝180°．

故选：D．

6．解：如图，∵∠1＝∠2＝110°，

∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2，

∵∠ADC＝∠180°﹣∠1，∠AEB＝180°﹣∠2，

∴∠ADC＝∠AEB，

在△ACD和△ABE中，

，

∴△ACD≌△ABE（SAS），

∴∠CAD＝∠BAE＝60°，

∴∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，

∴∠CAE＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣110°﹣50°＝20°，

∴∠CAE的度数为20°，

故选：D．

7．解：∵H是高MQ和NR的交点，

∴∠P+∠PMQ＝90°，∠PMQ＝∠RHM＝90°，∠QHN+∠HNQ＝90°，

∵∠RHM＝∠QHN，

∴∠P＝∠QHN，

在△PMQ与△HNQ中，

，

∴△PMQ≌△HNQ（AAS），

∴PQ＝HQ，MQ＝QN，

∵MH＝3，PQ＝2，

∴MQ＝NQ＝MH+HQ＝MH+PQ＝3+2＝5，

∴PN＝PQ+QN＝2+5＝7，

故选：B．

8．解：∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，故①正确；

∵AD为△ABC的中线，

∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；

在△BDF和△CDE中，

，

∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；

∴∠F＝∠DEC，

∴BF∥CE，故④正确；

∵△BDF≌△CDE，

∴CE＝BF，故⑤错误，

故选：C．

二．填空题（共8小题，满分40分）

9．解：∵∠B＝80°，∠ACB＝30°，

∴∠A＝180°﹣80°﹣30°＝70°，

∵△ABC≌△DFE，

∴∠D＝∠A＝70°，

故答案为：70．

10．解：在△AOB和△DOC中，

，

∴△AOB≌△DOC（SAS），

∴AB＝CD＝6cm，

∵EF＝8cm，

∴圆柱形容器的壁厚是×（8﹣6）＝1（cm），

故答案为：1．

11．解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

故答案为：角边角（ASA）．

12．解：由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，

∴△ABC≌△EDC（SAS），

∴∠BAC＝∠1，

∠1+∠2＝180°．

故答案为：180°．

13．解：在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（ASA），

∴DE＝AB＝3，

又∵∠D＝90°，

∴S△ACE＝AC•DE＝＝，

故答案为：．

14．解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，

∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，

∵∠B＝60°，

∴∠BAC+∠BCA＝120°，

∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180°﹣×120°＝120°．

故答案为：120°；

（2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．

∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，

∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE，

∵∠AFC＝120°，

∴∠AFD＝∠CFE＝60°，

在△ADF和△AGF中，

，

∴△ADF≌△AGF（SAS），

∴∠AFD＝∠AFG＝60°，

∴∠GFC＝∠CFE＝60°，

在△CGF和△CEF中，

，

∴△CGF≌△CEF（ASA），

∴CG＝CE＝4，

∴AC＝AG+CG＝10．

故答案为：10．

15．解：连接PB，

∵PA平分∠BAD，

∴∠PAB＝∠PAD，

在△PAB和△PAD中，

，

∴△PAB≌△PAD（SAS），

∴PB＝PD，∠ABP＝∠ADP，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SSS），

∴∠ABP＝∠CBP，

∴∠ABC＝2∠ABP，

∴α＝2β．

故答案为：α＝2β．

16．解：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠2，

∵∠3＝∠ABD+∠1，

∴∠1＝∠3﹣∠2＝55°﹣30°＝25°．

故答案为：25°．

三．解答题（共5小题，满分40分）

17．解：∵AD⊥BC，

∴∠BDF＝∠ADC＝90°，

在Rt△BDF和Rt△ADC中，

，

∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），

∴BD＝AD＝2，

∴．

18．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，

∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，

∴∠ABD＝∠CBE．

在△ADB和△CEB中，

，

∴△ADB≌△CEB（SAS），

∴AD＝CE；

（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，

∵∠AFC＝45°，

∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，

∵△ADB≌△CEB，

∴∠BAD＝∠BCE＝15°，

∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．

19．（1）证明：∵E是AD的中点，

∴AE＝DE．

∵AF∥BC，

∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE．

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）．

∴AF＝BD．

∵AF＝DC，

∴BD＝DC．

（2）解：四边形ADCF是矩形；

证明：∵AF＝DC，AF∥DC，

∴四边形ADCF是平行四边形．

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°．

∴平行四边形ADCF是矩形．

20．（1）证明：∵DB是高，

∴∠ABE＝∠DBC＝90°．

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC（SAS）；

（2）解：BM＝BN，BM⊥BN，理由如下：

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAM＝∠BDN，

在△ABM 和△DBN中，

，

∴△ABM≌△DBN（SAS），

∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，

∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°，

∴MB⊥BN．

21．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．

∴∠CAE＝∠BAD．

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD（SAS）；

（2）解：∵△ACE≌△ABD，

∴∠AEC＝∠ADB，

∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．

∴∠DAE+∠DFE＝180°，

∵∠BFC+∠DFE＝180°，

∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；

（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．

∵△ACE≌△ABD，

∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，

∵AJ⊥CE，AH⊥BD．

∴，

∴AJ＝AH．

在Rt△AFJ和Rt△AFH中，

，

∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），

∴FJ＝FH．

在Rt△AJE和Rt△AHD中，

，

∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），

∴EJ＝DH，

∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．