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    专题06 特殊平行四边形重点知识讲义 八年级下册数学辅导讲义(人教版)
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    专题06 特殊平行四边形重点知识讲义 八年级下册数学辅导讲义(人教版)

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    这是一份专题06 特殊平行四边形重点知识讲义 八年级下册数学辅导讲义(人教版),文件包含专题06特殊平行四边形重点知识讲义解析版docx、专题06特殊平行四边形重点知识讲义原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共45页, 欢迎下载使用。

    专题06 特殊平行四边形重点知识讲义


    性质
    判定
    矩形
    ①边——两组对边分别平行且相等;
    ②角——每个角都是90°;
    ③对角线——两条对角线相等且互相平分.

    ①有一个角是90°的平行四边形是矩形;
    ②对角线相等的平行四边形是矩形;
    ③有三个角90°的四边形是矩形.
    菱形
    ①边——两组对边分别平行且相等,邻边相等;
    ②角——两组对角分别相等;
    ③对角线——两条对角线垂直且互相平分,每条对角线平分一组对角.
    ①一组邻边相等的平行四边形是菱形;
    ②对角线垂直的平行四边形是菱形;
    ③四条边相等的四边形是菱形.
    正方形
    四条边都相等;
    四个角都是90°;
    对角线相等且互相垂直平分;
    每条对角线平分一组对角;
    正方形的中点四边形是正方形;
    矩形四个角平分线所成的四边形是正方形.
    四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形;
    一组邻边相等的矩形是正方形;
    一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;
    有一个角是直角的菱形是正方形;
    对角线相等的菱形是正方形;
    对角线互相垂直的矩形是正方形;
    对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形.

    几个结论
    1. 平行四边形对角线与边关系

    AC2+BD2=2(AB2+BC2)
    思考:在证明含有线段平分的关系时,考虑勾股定理,而勾股定理离不开直角三角形,故而需要作垂线构造直角三角形.
    理由:过A,D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,
    则AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2
    = AE2+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2
    =AE2+BC2-2BC·BE+BE2+BC2+2BC·CF+CF2+DF2
    = AE2+BC2+BE2+BC2+CF2+DF2
    =2(AB2+BC2)
    2. 对角线互相垂直四边形

    四边形ABCD对角线,AC⊥BD,
    结论:S=AC·BD
    AB2+CD2=BC2+AD2
    3. 中点四边形
    任意四边形中点四边形均为平行四边形
    对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形
    对角线相等的四边形的中点四边形为菱形
    对角线垂直且相等的四边形的中点四边形为正方形
    4. 三角形一边的中线等于这边的一半,则该三角形为直角三角形.

    由图,知∠ACB=x+y=90°.
    5. 正方形中的“蝴蝶”

    四边形ABCD为正方形,BN⊥AM,则BN=AM.
    典例解析
    1.【特殊四边形判定】
    【例1】(2021·重庆渝中区月考)下列命题中,是真命题的是(   )
    A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.一组邻边相等的四边形是菱形
    C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
    【答案】C.
    【解析】解:A、对角线相等的平行四边形是矩形,A错误;
    B、一组邻边相等的平行四边形是菱形,B错误;
    C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,C正确;
    D、四个角相等的四边形是矩形,D错误;
    故答案为:C.
    【变式1-1】下列命题中,正确的是( )
    A.两邻边相等的四边形是菱形
    B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
    C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
    D.对角线垂直的四边形是菱形
    【答案】B.
    【解析】解:两邻边相等的平行四边形是菱形,故A错误;
    一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形,故B正确;
    对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形,比如筝形,故C错误;
    对角线垂直的平行四边形是菱形,故D错误;
    故答案为:B.
    【例2】(2020·银翔实验中学月考)下列四个命题中,假命题是( )
    A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
    B.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
    C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
    【答案】B.
    【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,是真命题;
    B、对角线相等且平分的四边形是矩形,原命题是假命题;
    C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,是真命题;
    D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,是真命题;
    故答案为:B.
    【变式2-1】(2020·河南开封期末)下列命题中,真命题是( )
    A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
    B.有一个角是直角的四边形是矩形
    C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
    D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形
    【答案】D.
    【解析】A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形,错误;
    B.有一个角是直角的平行四边形是矩形,错误;
    C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,错误;
    D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形,正确.
    故答案为:D.
    【变式2-2】(2020·河南驻马店期末)下列说法正确的个数是( )
    ①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形;
    ②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形;
    ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;
    ④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【答案】D.
    【解析】解:①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形,正确;②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形,正确;③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,正确;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,正确;
    故答案为:D.
    【例3】(2020·石家庄市期中)如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B、C两点不重合),过点D作DE//AC,DF//AB,分别交AB、AC于E、F两点,下列说法错误的是( )

    A.四边形AEDF是平行四边形
    B.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
    C.若AB⊥AC,则四边形AEDF是矩形
    D.若BD=CD,则四边形AEDF是正方形
    【答案】D.
    【解析】解:∵DE//AC,DF//AB,
    ∴四边形AEDF是平行四边形,故A正确;
    若AD平分∠BAC,则∠EAD=∠FAD,
    又∵∠EAD=∠FDA,
    ∴∠FAD=∠FDA
    ∴FA=FD,
    ∴平行四边形AEDF是菱形,故B正确;
    ∵AB⊥AC,
    ∴平行四边形AEDF是矩形,故C正确;
    若BD=CD,则四边形AEDF不一定是正方形;选项D错误.
    故答案为:D.
    【变式3-1】(2021·上海月考)已知四边形是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
    A.当时,四边形是菱形
    B.当时,四边形是菱形
    C.当时,四边形是矩形
    D.当时,四边形是正方形
    【答案】D.
    【解析】解:根据邻边相等的平行四边形是菱形,A叙述正确;
    根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,B叙述正确;
    根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,C叙述正确;
    根据对角线相等的平行四边形是矩形,D叙述错误,符合题意;
    故答案为:D.
    【变式3-2】(2021·辽宁铁岭市期末)如图,点O为矩形的对称中心,,点E从点B出发(不含点B)沿向点C运动,移动到点C停止,延长交于点F,则四边形形状的变化依次为( )

    A.平行四边形→菱形→正方形→矩形 B.平行四边形→正方形→菱形→矩形
    C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 D.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
    【答案】C.
    【解析】解:连接BD

    ∵点O为矩形ABCD的对称中心,
    ∴BD经过点O,OD=OB,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠FDO=∠EBO,
    ∴△DFO≌△BEO,
    ∴DF=BE,
    ∵DF∥BE,
    ∴四边形BEDF是平行四边形,
    观察图形可知,四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.
    故答案为:C.
    【例4】(2021·广东模拟)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.
    (1)求证:四边形DBEC是菱形;
    (2)若AD=5,DF=2,求四边形DBEC面积.

    【答案】(1)见解析;(2).
    【解析】(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,
    ∴四边形DBEC为平行四边形.
    ∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,
    ∴CD=BD=AC,
    ∴平行四边形DBEC是菱形;
    (2)∵点D,F分别是AC,AB的中点,AD=5,DF=2,
    ∴DF是△ABC的中位线,AC=2AD=10,S△BCD=S△ABC
    ∴BC=2DF=4.
    ∵∠ABC=90°,
    ∴AB=,
    ∵平行四边形DBEC是菱形,
    ∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB•BC=.
    【变式4-1】(2021·山东济宁市)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
    (1)求证:△AEF≌△DEB;
    (2)证明四边形ADCF是菱形.

    【答案】见解析.
    【解析】解:(1)∵AF∥BC,
    ∴∠AFE=∠DBE,
    ∵E是AD的中点,
    ∴AE=DE,
    ∵∠AEF=∠DEB
    ∴△AEF≌△DEB;
    (2)由(1)可知,AF=BD,
    ∵D是BC的中点,
    ∴BD=CD,
    ∴AF=CD,
    ∵AF∥CD,
    ∴四边形ADCF是平行四边形,
    ∵△ABC为直角三角形,
    ∴AD=CD,
    ∴四边形ADCF是菱形.
    【例5】(2021·湖南娄底市)如图,已知平行四边形ABCD,若M,N是BD上两点,且BM=DN,AC=2OM,
    (1)求证:四边形 AMCN 是矩形;
    (2)△ABC 满足什么条件,四边形AMCN是正方形,请说明理由.

    【答案】见解析.
    【解析】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,
    ∴OA=OC,OB=OD,
    ∵BM=DN,
    ∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
    ∴四边形AMCN是平行四边形,
    ∴MN=2OM,
    ∵ AC=2OM,
    ∴MN=AC,
    ∴四边形AMCN是矩形;
    (2)当AB=BC时,四边形AMCN是正方形;
    ∵AB=BC,四边形ABCD是平行四边形,
    ∴ 四边形ABCD是菱形,
    ∴ AC⊥BD,
    ∴AC⊥MN,
    由(1)可知四边形ABCD是矩形,
    ∴四边形ABCD是正方形;
    【变式5-1】(2020·赣州市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m//AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接CD、BE.
    (1)求证:CE=AD;
    (2)当点D是AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
    (3)若点D是AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?

    【答案】见解析.
    【解析】(1)证明:∵直线m//AB,
    ∴EC//AD.
    ∵∠ACB=90°,
    ∴BC⊥AC.
    又∵DE⊥BC,
    ∴DE//AC.
    ∵EC//AD,DE//AC,
    ∴四边形ADEC是平行四边形,
    ∴CE=AD.
    (2)当点D是AB中点时,四边形BECD是菱形.
    证明:∵D是AB中点,
    ∴DB=DA,
    又∵直线m//AB,CE=AD,
    ∴DB=CE,DB//CE,
    ∴四边形BDCE是平行四边形,
    又∵DE⊥BC,
    ∴四边形BECD是菱形,
    (3)当∠A的大小是45°时,四边形BECD是正方形.
    证明:∵D是AB中点,
    ∴DB=DA,
    又∵直线m//AB,CE=AD,
    ∴DB=CE,DB//CE,
    ∴四边形BDCE是平行四边形,
    ∵DE⊥BC,
    ∴四边形BECD是菱形,
    ∴BC平分∠EBD,
    ∵∠A=45°,
    ∴∠CBA=45°,
    ∴∠EBD=90°,
    ∴菱形BECD是正方形.
    【变式5-2】(2020·四川广安市期末)如图,在中,点O是边上的一个动点,过点O作直线,设交的角平分线于点E,交的外角的平分线于点F,连接.
    (1)求证:;
    (2)当点O运动到何处时,四边形是矩形?并证明你的结论.
    (3)在(2)的条件下,满足什么条件时,四边形是正方形?并说明理由.

    【答案】见解析.
    【解析】(1)证明:∵MN∥BC
    ∴∠3=∠2.
    又∵CF平分∠ACG,
    ∴∠1=∠2,
    ∴∠1=∠3,
    ∴OC=OF,
    同理,OC=OE,
    ∴OE=OF.

    (2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
    证明如下:当点O运动到AC的中点时,OA=OC.
    又∵OE=OF,
    ∴四边形AECF是平行四边形,
    由(1)可知,OC=OF,
    ∴AC=EF,
    ∴四边形AECF是矩形.
    (3)在(2)的条件下,∠ACB=90°时,四边形AECF是正方形.
    理由:由(2)知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
    ∵MN∥BC,
    ∴∠AOE=∠ACB,
    当∠ACB=90°时,∠AOE=90°,即AC⊥EF,
    ∴四边形AECF是正方形.
    2.【特殊四边形性质应用】
    【例6】(2020·吉水县期末)如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长是_____.

    【答案】.
    【解析】解:连接CH,
    ∵四边形ABCD,四边形EFCG都是正方形,
    ∴∠F=∠D=90°,
    ∴△CFH与△CDH都是直角三角形,
    在Rt△CFH与Rt△CDH中,
    ∵,
    ∴△CFH≌△CDH(HL).
    ∴∠DCH=∠DCF=(90°﹣30°)=30°.
    在Rt△CDH中,CD=3,
    ∴DH=.
    故答案为:.

    【变式6-1】(2021·重庆南开中学月考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点,E,F分别是AB,BC边上的中点,连接EF.若,,则菱形ABCD的周长为(   )

    A. B.16 C. D.32
    【答案】C.
    【解析】解:∵E,F分别是AB,BC边上的中点,EF=,
    ∴AC=2EF=,
    ∵四边形ABCD是菱形,BD=8,
    ∴AC⊥BD,OA=AC=,OB=BD=4,
    ∴AB==,
    ∴菱形ABCD的周长为:=.
    故答案为:C.
    【变式6-2】(2021·四川成都市期中)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,则CE的长为(  )

    A.5 B. C.3 D.
    【答案】C.
    【解析】解:过E作EF⊥AC,交CA的延长线于F,

    ∵四边形ABDE为正方形,
    ∴∠BAE=90°,AE=AB,
    ∵∠EAF+∠AEF=90°,∠EAF+∠BAC=90°,
    ∴∠AEF=∠BAC,
    在△AEF和△BAC中,

    ∴△AEF≌△BAC(AAS),
    ∴EF=AC=AF=BC=3,
    在Rt△ECF中,EF=3,FC=FA+AC=3+3=6,
    根据勾股定理得:CE=.
    故答案为:C.
    【例7】(2020·渠县期末)如图,在中,,为的中线,过点作于点,过点作的平行线,交的延长线于点,在的延长线上截取,连接,.若,,则四边形的周长为______.

    【答案】20.
    【解析】解:∵AG∥BD,BD=FG,
    ∴四边形BGFD是平行四边形,
    ∵CF⊥BD,
    ∴CF⊥AG,
    又∵点D是AC中点,
    ∴BD=DF=AC,
    ∴四边形BGFD是菱形,
    设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,
    在Rt△AFC中,由勾股定理可得:36+(13-x)2=(2x)2,
    解得:x=5,即GF=5
    ∴四边形BDFG的周长=4GF=20.
    故答案为:20.
    【例8】(2021·沭阳县月考)如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则EG2+FH2的值为(  )

    A.9 B.18 C.36 D.48
    【答案】C.
    【解析】解:连接EF、FG、GH、EH,设EG和FH交于点O,
    ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,
    ∴EF∥AC,HG∥AC,EF=AC,FG=BD,
    ∴EF∥HG,

    同理:EH∥FG,
    ∴四边形EFGH为平行四边形,
    ∵AC=BD,
    ∴EF=FG,
    ∴平行四边形EFGH为菱形,
    ∴EG⊥FH,EG=2OG,FH=2OH,
    ∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4(OE2+OH2)=4EH2=4×(BD)2=62=36;
    故答案为:C.
    【例9】(2020·四川广安市期末)如图,O是菱形的对角线的交点,E,F分别是的中点给出下列结论:①;②四边形也是菱形;③四边形的面积大小等于;④;⑤是轴对称图形.其中正确的结论有( )

    A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
    【答案】C.
    【解析】解:∵E、F分别是OA、OC的中点.
    ∴AE=OE.
    ∵S△ADEAE×ODOE×OD=S△EOD
    ∴S△ADE=S△EOD ①正确.
    ∵四边形ABCD是菱形,E,F分别是OA,OC的中点.
    ∴EF⊥OD,OE=OF.
    ∵OD=OB.
    ∴四边形BFDE是菱形.②正确
    ∵菱形ABCD的面积AC×BD.
    ∵E、F分别是OA、OC的中点.
    ∴EFAC.
    ∴菱形ABCD的面积=EF×BD.③正确
    由已知可求得∠FDO=∠EDO,而无法求得∠ADE=∠EDO.④不正确
    ∵EF⊥OD,OE=OF,OD=OD.
    ∴△DEO≌△DFO.
    ∴△DEF是轴对称图形.⑤正确
    ∴正确的结论有四个,分别是①②③⑤,
    故答案为:C.
    【例10】(2020·浙江杭州月考)如图,菱形的边长为,且,E是中点,P点在上,则的最小值为_______.

    【答案】.
    【解析】解:在菱形ABCD中,点A、C关于BD对称,AB=BC,连接AE,与BD的交点即为所求作的点P,

    ∵∠ABC= 60°,AB=BC,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∵AB=BC=4,点E是BC的中点,
    ∴BE=2,
    ∴AE⊥BC,
    ∴AE==,
    即PE+PC的最小值为,
    故答案为:.
    【例11】(2020·广东惠州市期末)如图,在矩形中,点为对角线的中点,过点作交于点,交于点,连接,.

    (1)求证:四边形是菱形;
    (2)连接,若,,求的长.
    【答案】见解析.
    【解析】证明:(1)∵O是AC的中点,且EF⊥AC,
    ∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD∥BC,
    ∴∠AFO=∠CEO,
    在△AOF和△COE中,

    ∴△AOF≌△COE(AAS),
    ∴AF=CE,
    ∴AF=CF=CE=AE,
    ∴四边形AECF是菱形;
    (2)如图,连接BO,

    ∵AB=4,AF=AE=EC=5,
    ∴BE=,
    ∴BC=8,
    ∴AC=,
    ∵AO=CO,∠ABC=90°,
    ∴BO=AC=2.
    【变式11-1】(2021·山东潍坊市期末)如图,在四边形中,分别是的中点,分别是对角线的中点,依次连接连接.

    (1)求证:四边形是平行四边形;
    (2)当时,与有怎样的位置关系?请说明理由;
    (3)若,则 .
    【答案】(1)(2)见解析;(3)25.
    【解析】证明:(1)∵E、G分别是AD、BD的中点,
    ∴EG∥AB,AB=2EG
    同理可证:FH∥AB,AB=2HF
    ∴EG∥HF,EG=HF
    ∴四边形EGFH是平行四边形;
    (2)GH⊥EF,
    理由:∵G、F分别是BD、BC的中点,
    ∴FG=CD,
    由(1)知GE=AB,
    又∵AB=CD,
    ∴GE=GF
    又四边形EGFH是平行四边形,
    ∴四边形EGFH是菱形,
    ∴GH⊥EF;
    (3)由题意,EG∥AB,HF∥AB,GE=AB
    ∴EG∥HF,
    同理,EH∥FG,GF=CD
    ∴四边形EGFH是平行四边形,
    ∵AB=CD,
    ∴GE=GF,
    ∴四边形EGFH是菱形,
    ∵∠ABD=20°,∠BDC=70°,EG∥AB,GF∥CD,
    ∴∠EGD=∠ABD=20°,∠BGF=∠BDC=70°,
    ∴∠DGF=180°-∠BGF=110°,
    ∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°,
    ∴∠GEH=180°-∠EGF=50º,
    ∵FE平分∠GEH,
    ∴∠GEF=∠GEH=25°.
    故答案为:25.
    【例12】(2020·河南郑州月考)如图,在平行四边形中,是边上的高,将沿方向平移,使点与点重合,得.

    (1)求证:;
    (2)若,当______时,四边形是菱形;
    (3)若,当______时,四边形是正方形.
    【答案】(1)见解析;(2);(3).
    【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,AB=CD.
    ∵AE⊥BC,
    ∴CG⊥AD,AE=CG,
    ∴∠AEB=∠CGD=90°.
    在Rt△ABE与Rt△CDG中,

    ∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL),
    ∴BE=DG.
    (2)当BC=AB时,四边形ABFG是菱形.
    证明:∵AB∥GF,AG∥BF,
    ∴四边形ABFG是平行四边形.
    ∵Rt△ABE中,∠B=60°,
    ∴∠BAE=30°,
    ∴BE=AB,
    ∵BE=CF,BC=AB,
    ∴EF=AB.
    ∴AB=BF.
    ∴四边形ABFG是菱形.
    故答案是:;
    (3)BC=AB时,四边形AECG是正方形.
    ∵AE⊥BC,GC⊥CB,
    ∴AE∥GC,∠AEC=90°,
    ∵AG∥CE,
    ∴四边形AECG是矩形,
    当AE=EC时,矩形AECG是正方形,
    ∵∠B=60°,
    ∴EC=AE=AB,BE=AB,
    ∴BC=AB.
    故答案是:.
    【变式12-1】(2020·渠县月考)如图所示,为的边上一动点,过点的直,设分别交的平分线及其外角平分线于点.

    (1)求证:
    (2)当点在何处时,四边形是矩形?
    (3)在(2)的条件下,请在中添加条件,使四边形变为正方形,并说明你的理由.
    【答案】见解析.
    【解析】(1)证明:∵MN∥BC,
    ∴∠OEC=∠BCE,
    ∵CE平分∠ACB,
    ∴∠BCE=∠OCE,
    ∴∠OEC=∠OCE,
    ∴EO=CO,
    同理:FO=CO,
    ∴EO=FO;
    (2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形; 理由如下:
    由(1)得:EO=FO,
    又∵O是AC的中点,
    ∴AO=CO,
    ∴四边形CEAF是平行四边形,
    ∵EO=FO=CO,
    ∴EO=FO=AO=CO,
    ∴EF=AC,
    ∴四边形CEAF是矩形;
    (3)解:当点O运动到AC的中点时,且∠ACB为直角时,四边形AECF是正方形.
    理由如下:
    ∵当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
    ∵MN∥BC∠ACB=90°,
    ∴∠AOE=∠ACB=90°,
    ∴AC⊥EF,
    ∴四边形AECF是正方形.
    【例13】(2021·广东深圳期末)如图,在直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=8,OC=6,点D是对角线AC的中点,过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F.
    (1)求证:四边形EAFC是平行四边形;
    (2)当CE=CF时,求EF的长;
    (3)在条件(2)的情况下,P为x轴上一点,当以E,F,P为顶点的三角形为等腰三角形时,请求出点P的坐标.

    【答案】(1)见解析;(2);(3)点P的坐标为(8,0)或(,0)或(﹣,0)或(,0).
    【解析】(1)证明:∵四边形OABC是矩形,
    ∴BC∥OA,
    ∴∠FCD=∠DAE,∠CFD=∠AED,
    ∵D是AC的中点,
    ∴CD=AD,
    ∴△CDF≌△ADE,
    ∴DF=DE,
    ∴四边形EAFC是平行四边形;
    (2)解:∵四边形EAFC是平行四边形,CE=CF,
    ∴四边形EAFC是菱形,
    ∴CE=EA,AC⊥EF,
    设CE=AE=x,
    ∵OC2+OE2=CE2,
    ∴62+(8﹣x)2=x2,
    ∴x=,
    ∴CE=,
    ∵OA=8,OC=6,
    ∴AC===10,
    ∴CD=AC=5,
    ∴ED===,
    ∴EF=2ED=;
    (3)由(2)可知,AE=CE=,OE=,
    ①若PE=PF,点P与点A重合,
    ∴P(8,0),
    ②若EF=EP=,
    当点P在x轴的正半轴上,OP=OE+PE==,
    ∴P(,0),
    当点P在x轴的负半轴上,OP=PE﹣OE==,
    ∴P(﹣,0),
    ③若EF=FP,过点F作FG⊥AE于点G,
    则EG=CF﹣OE=﹣=,
    ∴EP=9,
    ∴OP=OE+EP=+9=,
    ∴P(,0).
    综上可得,点P的坐标为(8,0)或(,0)或(﹣,0)或(,0).

    【变式13-1】(2021·广东佛山期末)如图,在中,,,.点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动,同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点、 运动的时间是秒.过点作于点,连接、.
    (1)请用含有的式子填空:______,______,______;
    (2)是否存在某一时刻使四边形为菱形?如果存在,求出相应的值;如果不存在,说明理由;
    (3)当为何值时,为直角三角形?请说明理由.

    (备用图)
    【答案】见解析.
    【解析】解:(1)由题意知,AQ=t,
    ∵∠C=90°,AC=10,∠A=60,
    ∴∠B=30°,
    ∴AB=2AC=20,
    ∴AP=AB-BP=20-2t,
    ∵PM⊥BC,
    ∴∠PMB=90°,
    ∴PM=PB=t.
    故答案为:AQ=t,AP=20-2t,PM=t.
    (2)存在,理由如下:由(1)知,AQ=PM
    ∵AC⊥BC,PM⊥CB
    ∴AQ∥PM
    ∴四边形AQMP是平行四边形.
    当AP=AQ时,四边形AQMP是菱形
    即20-2t=t,解得:t=.
    故当t=时四边形AQMP为菱形.
    (3)①当∠MPQ=90°时,此时四边形CMPQ为矩形
    在Rt△APQ中,∠A=60°,∠APQ=30°
    ∴AP=2AQ,即20-2t=2t,解得:t=5
    ②当∠MQP=90°时,
    同理,AQ=2AP,
    即t=2(20-2t),解得:t=8
    ③当∠PMQ=90°时,此种情况不存在.
    综上所述,t=5或t=8时,△PQM为直角三角形.
    【变式13-2】(2020·江苏泰州市月考)对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 及点 Q,给出如下定义:若点 Q 满足 QM=QN,则称点Q为线段MN的“中垂点”;当 QM=QN=MN 时,称点 Q为线段 MN 的“完美中垂点”.
    (1)如图 1,A(4,0),在Q1(0,4)、Q2(2,-4)、Q3(1,)中,可以是线段 OA 的中垂点是 ;
    (2)如图 2,点 A为x轴上一点,若点Q(2,2)为线段 OA 的“完美中垂点”,请求出线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标;
    (3)若点A为x轴正半轴上一点,点Q为线段 OA 的“完美中垂点”,点 P(0,m)在 y轴上,在线段 PA 上方画出线段 AP 的“完美中垂点”M,请问∠MQA的度数是否是一个定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

    【答案】(1)(2,-4);(2)(4,0)或(-2,2);(3)∠MQA =90,见解析.
    【解析】解:(1)根据“中垂点”的定义得: QM=QN,
    ∴点Q在线段OA 的垂直平分线上,
    ∵O(0,0),A(4,0),
    ∴线段OA 的垂直平分线是:x=2,
    在Q1(0,4)、Q2(2,-4)、Q3(1,)中,只有Q2(2,-4)符合题意,
    ∴可以是线段 OA 的中垂点是Q2(2,-4),
    故答案为:Q2(2,-4);
    (2) ∵Q(2,2),
    ∴OQ=4,
    ∵点Q(2,2)为线段 OA 的“完美中垂点”,
    ∴OA=QA=OQ=4,即A(4,0)为线段 OQ 的“完美中垂点”,
    设线段 OQ 的另外一个“完美中垂点”为D,如图所示:

    则OD=QD=OA=QA=OQ=4,
    ∴四边形AODQ为菱形,
    ∴DQ∥OA,
    ∴D (-2,2),
    ∴线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标为(4,0)或(-2,2);
    (3) ∠MQA的度数是一个定值,∠MQA =90°,
    理由如下:
    如图所示,点M为线段 AP 的“完美中垂点”,

    ∵点Q为线段 OA 的“完美中垂点”,
    ∴PA=PM=AM,OA=QA=OQ,
    ∴△OAQ和△PAM为等边三角形,
    ∴∠OAQ=∠PAM=60°,
    ∴∠OAP=∠QAM,
    在△OAP和△QAM中,

    ∴△OAP≌△QAM(SAS),
    ∴∠MQA=∠POA=90°.
    【变式13-3】(2020·株洲市期中)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P,Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.

    (1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?
    (2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?
    (3)若AB=8,如果Q点的移动速度不变,要使PQBA是正方形,则P点移动速度是多少?
    【答案】(1)6s;(2)s;(3)cm/s.
    【解析】解:(1)∵PD∥CQ,
    ∴当PD=CQ时,四边形PQCD是平行四边形,
    设运动时间为t,PD=24-t,CQ=3t,
    则24﹣t=3t,解得t=6,
    ∴经过6秒,四边形PQCD是平行四边形;
    (2)∵AP∥BQ,∠B=90°,
    ∴当AP=BQ时,四边形PQBA是矩形,
    设运动时间为t,AP=t,BQ=26-3t
    t=26﹣3t,
    解得t=,
    ∴经过秒,四边形PQBA是矩形;
    (3)当BQ=AB=8时,四边形PQCD是正方形,
    设运动时间为t,
    26﹣3t=8,解得t=6,
    ∵PA=6•VP=8,
    ∴VP=cm/s.
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