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专题06 特殊平行四边形重点知识讲义 八年级下册数学辅导讲义(人教版)
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这是一份专题06 特殊平行四边形重点知识讲义 八年级下册数学辅导讲义(人教版),文件包含专题06特殊平行四边形重点知识讲义解析版docx、专题06特殊平行四边形重点知识讲义原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共45页, 欢迎下载使用。
专题06 特殊平行四边形重点知识讲义
性质
判定
矩形
①边——两组对边分别平行且相等;
②角——每个角都是90°;
③对角线——两条对角线相等且互相平分.
①有一个角是90°的平行四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③有三个角90°的四边形是矩形.
菱形
①边——两组对边分别平行且相等,邻边相等;
②角——两组对角分别相等;
③对角线——两条对角线垂直且互相平分,每条对角线平分一组对角.
①一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②对角线垂直的平行四边形是菱形;
③四条边相等的四边形是菱形.
正方形
四条边都相等;
四个角都是90°;
对角线相等且互相垂直平分;
每条对角线平分一组对角;
正方形的中点四边形是正方形;
矩形四个角平分线所成的四边形是正方形.
四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形;
一组邻边相等的矩形是正方形;
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;
有一个角是直角的菱形是正方形;
对角线相等的菱形是正方形;
对角线互相垂直的矩形是正方形;
对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形.
几个结论
1. 平行四边形对角线与边关系
AC2+BD2=2(AB2+BC2)
思考:在证明含有线段平分的关系时,考虑勾股定理,而勾股定理离不开直角三角形,故而需要作垂线构造直角三角形.
理由:过A,D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,
则AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2
= AE2+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2
=AE2+BC2-2BC·BE+BE2+BC2+2BC·CF+CF2+DF2
= AE2+BC2+BE2+BC2+CF2+DF2
=2(AB2+BC2)
2. 对角线互相垂直四边形
四边形ABCD对角线,AC⊥BD,
结论:S=AC·BD
AB2+CD2=BC2+AD2
3. 中点四边形
任意四边形中点四边形均为平行四边形
对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形
对角线相等的四边形的中点四边形为菱形
对角线垂直且相等的四边形的中点四边形为正方形
4. 三角形一边的中线等于这边的一半,则该三角形为直角三角形.
由图,知∠ACB=x+y=90°.
5. 正方形中的“蝴蝶”
四边形ABCD为正方形,BN⊥AM,则BN=AM.
典例解析
1.【特殊四边形判定】
【例1】(2021·重庆渝中区月考)下列命题中,是真命题的是( )
A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.一组邻边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
【答案】C.
【解析】解:A、对角线相等的平行四边形是矩形,A错误;
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形,B错误;
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,C正确;
D、四个角相等的四边形是矩形,D错误;
故答案为:C.
【变式1-1】下列命题中,正确的是( )
A.两邻边相等的四边形是菱形
B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线垂直的四边形是菱形
【答案】B.
【解析】解:两邻边相等的平行四边形是菱形,故A错误;
一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形,故B正确;
对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形,比如筝形,故C错误;
对角线垂直的平行四边形是菱形,故D错误;
故答案为:B.
【例2】(2020·银翔实验中学月考)下列四个命题中,假命题是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】B.
【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,是真命题;
B、对角线相等且平分的四边形是矩形,原命题是假命题;
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,是真命题;
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,是真命题;
故答案为:B.
【变式2-1】(2020·河南开封期末)下列命题中,真命题是( )
A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】D.
【解析】A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形,错误;
B.有一个角是直角的平行四边形是矩形,错误;
C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,错误;
D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形,正确.
故答案为:D.
【变式2-2】(2020·河南驻马店期末)下列说法正确的个数是( )
①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形;
②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形;
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D.
【解析】解:①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形,正确;②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形,正确;③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,正确;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,正确;
故答案为:D.
【例3】(2020·石家庄市期中)如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B、C两点不重合),过点D作DE//AC,DF//AB,分别交AB、AC于E、F两点,下列说法错误的是( )
A.四边形AEDF是平行四边形
B.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
C.若AB⊥AC,则四边形AEDF是矩形
D.若BD=CD,则四边形AEDF是正方形
【答案】D.
【解析】解:∵DE//AC,DF//AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,故A正确;
若AD平分∠BAC,则∠EAD=∠FAD,
又∵∠EAD=∠FDA,
∴∠FAD=∠FDA
∴FA=FD,
∴平行四边形AEDF是菱形,故B正确;
∵AB⊥AC,
∴平行四边形AEDF是矩形,故C正确;
若BD=CD,则四边形AEDF不一定是正方形;选项D错误.
故答案为:D.
【变式3-1】(2021·上海月考)已知四边形是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A.当时,四边形是菱形
B.当时,四边形是菱形
C.当时,四边形是矩形
D.当时,四边形是正方形
【答案】D.
【解析】解:根据邻边相等的平行四边形是菱形,A叙述正确;
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,B叙述正确;
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,C叙述正确;
根据对角线相等的平行四边形是矩形,D叙述错误,符合题意;
故答案为:D.
【变式3-2】(2021·辽宁铁岭市期末)如图,点O为矩形的对称中心,,点E从点B出发(不含点B)沿向点C运动,移动到点C停止,延长交于点F,则四边形形状的变化依次为( )
A.平行四边形→菱形→正方形→矩形 B.平行四边形→正方形→菱形→矩形
C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 D.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
【答案】C.
【解析】解:连接BD
∵点O为矩形ABCD的对称中心,
∴BD经过点O,OD=OB,
∵AD∥BC,
∴∠FDO=∠EBO,
∴△DFO≌△BEO,
∴DF=BE,
∵DF∥BE,
∴四边形BEDF是平行四边形,
观察图形可知,四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.
故答案为:C.
【例4】(2021·广东模拟)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.
(1)求证:四边形DBEC是菱形;
(2)若AD=5,DF=2,求四边形DBEC面积.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,
∴四边形DBEC为平行四边形.
∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,
∴CD=BD=AC,
∴平行四边形DBEC是菱形;
(2)∵点D,F分别是AC,AB的中点,AD=5,DF=2,
∴DF是△ABC的中位线,AC=2AD=10,S△BCD=S△ABC
∴BC=2DF=4.
∵∠ABC=90°,
∴AB=,
∵平行四边形DBEC是菱形,
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB•BC=.
【变式4-1】(2021·山东济宁市)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)证明四边形ADCF是菱形.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
∵∠AEF=∠DEB
∴△AEF≌△DEB;
(2)由(1)可知,AF=BD,
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴AF=CD,
∵AF∥CD,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵△ABC为直角三角形,
∴AD=CD,
∴四边形ADCF是菱形.
【例5】(2021·湖南娄底市)如图,已知平行四边形ABCD,若M,N是BD上两点,且BM=DN,AC=2OM,
(1)求证:四边形 AMCN 是矩形;
(2)△ABC 满足什么条件,四边形AMCN是正方形,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BM=DN,
∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∴MN=2OM,
∵ AC=2OM,
∴MN=AC,
∴四边形AMCN是矩形;
(2)当AB=BC时,四边形AMCN是正方形;
∵AB=BC,四边形ABCD是平行四边形,
∴ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC⊥BD,
∴AC⊥MN,
由(1)可知四边形ABCD是矩形,
∴四边形ABCD是正方形;
【变式5-1】(2020·赣州市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m//AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接CD、BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若点D是AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵直线m//AB,
∴EC//AD.
∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AC.
又∵DE⊥BC,
∴DE//AC.
∵EC//AD,DE//AC,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD.
(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是菱形.
证明:∵D是AB中点,
∴DB=DA,
又∵直线m//AB,CE=AD,
∴DB=CE,DB//CE,
∴四边形BDCE是平行四边形,
又∵DE⊥BC,
∴四边形BECD是菱形,
(3)当∠A的大小是45°时,四边形BECD是正方形.
证明:∵D是AB中点,
∴DB=DA,
又∵直线m//AB,CE=AD,
∴DB=CE,DB//CE,
∴四边形BDCE是平行四边形,
∵DE⊥BC,
∴四边形BECD是菱形,
∴BC平分∠EBD,
∵∠A=45°,
∴∠CBA=45°,
∴∠EBD=90°,
∴菱形BECD是正方形.
【变式5-2】(2020·四川广安市期末)如图,在中,点O是边上的一个动点,过点O作直线,设交的角平分线于点E,交的外角的平分线于点F,连接.
(1)求证:;
(2)当点O运动到何处时,四边形是矩形?并证明你的结论.
(3)在(2)的条件下,满足什么条件时,四边形是正方形?并说明理由.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵MN∥BC
∴∠3=∠2.
又∵CF平分∠ACG,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴OC=OF,
同理,OC=OE,
∴OE=OF.
(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
证明如下:当点O运动到AC的中点时,OA=OC.
又∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
由(1)可知,OC=OF,
∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
(3)在(2)的条件下,∠ACB=90°时,四边形AECF是正方形.
理由:由(2)知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC,
∴∠AOE=∠ACB,
当∠ACB=90°时,∠AOE=90°,即AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
2.【特殊四边形性质应用】
【例6】(2020·吉水县期末)如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长是_____.
【答案】.
【解析】解:连接CH,
∵四边形ABCD,四边形EFCG都是正方形,
∴∠F=∠D=90°,
∴△CFH与△CDH都是直角三角形,
在Rt△CFH与Rt△CDH中,
∵,
∴△CFH≌△CDH(HL).
∴∠DCH=∠DCF=(90°﹣30°)=30°.
在Rt△CDH中,CD=3,
∴DH=.
故答案为:.
【变式6-1】(2021·重庆南开中学月考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点,E,F分别是AB,BC边上的中点,连接EF.若,,则菱形ABCD的周长为( )
A. B.16 C. D.32
【答案】C.
【解析】解:∵E,F分别是AB,BC边上的中点,EF=,
∴AC=2EF=,
∵四边形ABCD是菱形,BD=8,
∴AC⊥BD,OA=AC=,OB=BD=4,
∴AB==,
∴菱形ABCD的周长为:=.
故答案为:C.
【变式6-2】(2021·四川成都市期中)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,则CE的长为( )
A.5 B. C.3 D.
【答案】C.
【解析】解:过E作EF⊥AC,交CA的延长线于F,
∵四边形ABDE为正方形,
∴∠BAE=90°,AE=AB,
∵∠EAF+∠AEF=90°,∠EAF+∠BAC=90°,
∴∠AEF=∠BAC,
在△AEF和△BAC中,
,
∴△AEF≌△BAC(AAS),
∴EF=AC=AF=BC=3,
在Rt△ECF中,EF=3,FC=FA+AC=3+3=6,
根据勾股定理得:CE=.
故答案为:C.
【例7】(2020·渠县期末)如图,在中,,为的中线,过点作于点,过点作的平行线,交的延长线于点,在的延长线上截取,连接,.若,,则四边形的周长为______.
【答案】20.
【解析】解:∵AG∥BD,BD=FG,
∴四边形BGFD是平行四边形,
∵CF⊥BD,
∴CF⊥AG,
又∵点D是AC中点,
∴BD=DF=AC,
∴四边形BGFD是菱形,
设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,
在Rt△AFC中,由勾股定理可得:36+(13-x)2=(2x)2,
解得:x=5,即GF=5
∴四边形BDFG的周长=4GF=20.
故答案为:20.
【例8】(2021·沭阳县月考)如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则EG2+FH2的值为( )
A.9 B.18 C.36 D.48
【答案】C.
【解析】解:连接EF、FG、GH、EH,设EG和FH交于点O,
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,
∴EF∥AC,HG∥AC,EF=AC,FG=BD,
∴EF∥HG,
同理:EH∥FG,
∴四边形EFGH为平行四边形,
∵AC=BD,
∴EF=FG,
∴平行四边形EFGH为菱形,
∴EG⊥FH,EG=2OG,FH=2OH,
∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4(OE2+OH2)=4EH2=4×(BD)2=62=36;
故答案为:C.
【例9】(2020·四川广安市期末)如图,O是菱形的对角线的交点,E,F分别是的中点给出下列结论:①;②四边形也是菱形;③四边形的面积大小等于;④;⑤是轴对称图形.其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C.
【解析】解:∵E、F分别是OA、OC的中点.
∴AE=OE.
∵S△ADEAE×ODOE×OD=S△EOD
∴S△ADE=S△EOD ①正确.
∵四边形ABCD是菱形,E,F分别是OA,OC的中点.
∴EF⊥OD,OE=OF.
∵OD=OB.
∴四边形BFDE是菱形.②正确
∵菱形ABCD的面积AC×BD.
∵E、F分别是OA、OC的中点.
∴EFAC.
∴菱形ABCD的面积=EF×BD.③正确
由已知可求得∠FDO=∠EDO,而无法求得∠ADE=∠EDO.④不正确
∵EF⊥OD,OE=OF,OD=OD.
∴△DEO≌△DFO.
∴△DEF是轴对称图形.⑤正确
∴正确的结论有四个,分别是①②③⑤,
故答案为:C.
【例10】(2020·浙江杭州月考)如图,菱形的边长为,且,E是中点,P点在上,则的最小值为_______.
【答案】.
【解析】解:在菱形ABCD中,点A、C关于BD对称,AB=BC,连接AE,与BD的交点即为所求作的点P,
∵∠ABC= 60°,AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∵AB=BC=4,点E是BC的中点,
∴BE=2,
∴AE⊥BC,
∴AE==,
即PE+PC的最小值为,
故答案为:.
【例11】(2020·广东惠州市期末)如图,在矩形中,点为对角线的中点,过点作交于点,交于点,连接,.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)连接,若,,求的长.
【答案】见解析.
【解析】证明:(1)∵O是AC的中点,且EF⊥AC,
∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AFO=∠CEO,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE(AAS),
∴AF=CE,
∴AF=CF=CE=AE,
∴四边形AECF是菱形;
(2)如图,连接BO,
∵AB=4,AF=AE=EC=5,
∴BE=,
∴BC=8,
∴AC=,
∵AO=CO,∠ABC=90°,
∴BO=AC=2.
【变式11-1】(2021·山东潍坊市期末)如图,在四边形中,分别是的中点,分别是对角线的中点,依次连接连接.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)当时,与有怎样的位置关系?请说明理由;
(3)若,则 .
【答案】(1)(2)见解析;(3)25.
【解析】证明:(1)∵E、G分别是AD、BD的中点,
∴EG∥AB,AB=2EG
同理可证:FH∥AB,AB=2HF
∴EG∥HF,EG=HF
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)GH⊥EF,
理由:∵G、F分别是BD、BC的中点,
∴FG=CD,
由(1)知GE=AB,
又∵AB=CD,
∴GE=GF
又四边形EGFH是平行四边形,
∴四边形EGFH是菱形,
∴GH⊥EF;
(3)由题意,EG∥AB,HF∥AB,GE=AB
∴EG∥HF,
同理,EH∥FG,GF=CD
∴四边形EGFH是平行四边形,
∵AB=CD,
∴GE=GF,
∴四边形EGFH是菱形,
∵∠ABD=20°,∠BDC=70°,EG∥AB,GF∥CD,
∴∠EGD=∠ABD=20°,∠BGF=∠BDC=70°,
∴∠DGF=180°-∠BGF=110°,
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°,
∴∠GEH=180°-∠EGF=50º,
∵FE平分∠GEH,
∴∠GEF=∠GEH=25°.
故答案为:25.
【例12】(2020·河南郑州月考)如图,在平行四边形中,是边上的高,将沿方向平移,使点与点重合,得.
(1)求证:;
(2)若,当______时,四边形是菱形;
(3)若,当______时,四边形是正方形.
【答案】(1)见解析;(2);(3).
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD.
∵AE⊥BC,
∴CG⊥AD,AE=CG,
∴∠AEB=∠CGD=90°.
在Rt△ABE与Rt△CDG中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL),
∴BE=DG.
(2)当BC=AB时,四边形ABFG是菱形.
证明:∵AB∥GF,AG∥BF,
∴四边形ABFG是平行四边形.
∵Rt△ABE中,∠B=60°,
∴∠BAE=30°,
∴BE=AB,
∵BE=CF,BC=AB,
∴EF=AB.
∴AB=BF.
∴四边形ABFG是菱形.
故答案是:;
(3)BC=AB时,四边形AECG是正方形.
∵AE⊥BC,GC⊥CB,
∴AE∥GC,∠AEC=90°,
∵AG∥CE,
∴四边形AECG是矩形,
当AE=EC时,矩形AECG是正方形,
∵∠B=60°,
∴EC=AE=AB,BE=AB,
∴BC=AB.
故答案是:.
【变式12-1】(2020·渠县月考)如图所示,为的边上一动点,过点的直,设分别交的平分线及其外角平分线于点.
(1)求证:
(2)当点在何处时,四边形是矩形?
(3)在(2)的条件下,请在中添加条件,使四边形变为正方形,并说明你的理由.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠OCE,
∴∠OEC=∠OCE,
∴EO=CO,
同理:FO=CO,
∴EO=FO;
(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形; 理由如下:
由(1)得:EO=FO,
又∵O是AC的中点,
∴AO=CO,
∴四边形CEAF是平行四边形,
∵EO=FO=CO,
∴EO=FO=AO=CO,
∴EF=AC,
∴四边形CEAF是矩形;
(3)解:当点O运动到AC的中点时,且∠ACB为直角时,四边形AECF是正方形.
理由如下:
∵当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
∵MN∥BC∠ACB=90°,
∴∠AOE=∠ACB=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
【例13】(2021·广东深圳期末)如图,在直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=8,OC=6,点D是对角线AC的中点,过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F.
(1)求证:四边形EAFC是平行四边形;
(2)当CE=CF时,求EF的长;
(3)在条件(2)的情况下,P为x轴上一点,当以E,F,P为顶点的三角形为等腰三角形时,请求出点P的坐标.
【答案】(1)见解析;(2);(3)点P的坐标为(8,0)或(,0)或(﹣,0)或(,0).
【解析】(1)证明:∵四边形OABC是矩形,
∴BC∥OA,
∴∠FCD=∠DAE,∠CFD=∠AED,
∵D是AC的中点,
∴CD=AD,
∴△CDF≌△ADE,
∴DF=DE,
∴四边形EAFC是平行四边形;
(2)解:∵四边形EAFC是平行四边形,CE=CF,
∴四边形EAFC是菱形,
∴CE=EA,AC⊥EF,
设CE=AE=x,
∵OC2+OE2=CE2,
∴62+(8﹣x)2=x2,
∴x=,
∴CE=,
∵OA=8,OC=6,
∴AC===10,
∴CD=AC=5,
∴ED===,
∴EF=2ED=;
(3)由(2)可知,AE=CE=,OE=,
①若PE=PF,点P与点A重合,
∴P(8,0),
②若EF=EP=,
当点P在x轴的正半轴上,OP=OE+PE==,
∴P(,0),
当点P在x轴的负半轴上,OP=PE﹣OE==,
∴P(﹣,0),
③若EF=FP,过点F作FG⊥AE于点G,
则EG=CF﹣OE=﹣=,
∴EP=9,
∴OP=OE+EP=+9=,
∴P(,0).
综上可得,点P的坐标为(8,0)或(,0)或(﹣,0)或(,0).
【变式13-1】(2021·广东佛山期末)如图,在中,,,.点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动,同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点、 运动的时间是秒.过点作于点,连接、.
(1)请用含有的式子填空:______,______,______;
(2)是否存在某一时刻使四边形为菱形?如果存在,求出相应的值;如果不存在,说明理由;
(3)当为何值时,为直角三角形?请说明理由.
(备用图)
【答案】见解析.
【解析】解:(1)由题意知,AQ=t,
∵∠C=90°,AC=10,∠A=60,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=20,
∴AP=AB-BP=20-2t,
∵PM⊥BC,
∴∠PMB=90°,
∴PM=PB=t.
故答案为:AQ=t,AP=20-2t,PM=t.
(2)存在,理由如下:由(1)知,AQ=PM
∵AC⊥BC,PM⊥CB
∴AQ∥PM
∴四边形AQMP是平行四边形.
当AP=AQ时,四边形AQMP是菱形
即20-2t=t,解得:t=.
故当t=时四边形AQMP为菱形.
(3)①当∠MPQ=90°时,此时四边形CMPQ为矩形
在Rt△APQ中,∠A=60°,∠APQ=30°
∴AP=2AQ,即20-2t=2t,解得:t=5
②当∠MQP=90°时,
同理,AQ=2AP,
即t=2(20-2t),解得:t=8
③当∠PMQ=90°时,此种情况不存在.
综上所述,t=5或t=8时,△PQM为直角三角形.
【变式13-2】(2020·江苏泰州市月考)对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 及点 Q,给出如下定义:若点 Q 满足 QM=QN,则称点Q为线段MN的“中垂点”;当 QM=QN=MN 时,称点 Q为线段 MN 的“完美中垂点”.
(1)如图 1,A(4,0),在Q1(0,4)、Q2(2,-4)、Q3(1,)中,可以是线段 OA 的中垂点是 ;
(2)如图 2,点 A为x轴上一点,若点Q(2,2)为线段 OA 的“完美中垂点”,请求出线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标;
(3)若点A为x轴正半轴上一点,点Q为线段 OA 的“完美中垂点”,点 P(0,m)在 y轴上,在线段 PA 上方画出线段 AP 的“完美中垂点”M,请问∠MQA的度数是否是一个定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2,-4);(2)(4,0)或(-2,2);(3)∠MQA =90,见解析.
【解析】解:(1)根据“中垂点”的定义得: QM=QN,
∴点Q在线段OA 的垂直平分线上,
∵O(0,0),A(4,0),
∴线段OA 的垂直平分线是:x=2,
在Q1(0,4)、Q2(2,-4)、Q3(1,)中,只有Q2(2,-4)符合题意,
∴可以是线段 OA 的中垂点是Q2(2,-4),
故答案为:Q2(2,-4);
(2) ∵Q(2,2),
∴OQ=4,
∵点Q(2,2)为线段 OA 的“完美中垂点”,
∴OA=QA=OQ=4,即A(4,0)为线段 OQ 的“完美中垂点”,
设线段 OQ 的另外一个“完美中垂点”为D,如图所示:
则OD=QD=OA=QA=OQ=4,
∴四边形AODQ为菱形,
∴DQ∥OA,
∴D (-2,2),
∴线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标为(4,0)或(-2,2);
(3) ∠MQA的度数是一个定值,∠MQA =90°,
理由如下:
如图所示,点M为线段 AP 的“完美中垂点”,
∵点Q为线段 OA 的“完美中垂点”,
∴PA=PM=AM,OA=QA=OQ,
∴△OAQ和△PAM为等边三角形,
∴∠OAQ=∠PAM=60°,
∴∠OAP=∠QAM,
在△OAP和△QAM中,
,
∴△OAP≌△QAM(SAS),
∴∠MQA=∠POA=90°.
【变式13-3】(2020·株洲市期中)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P,Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.
(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?
(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?
(3)若AB=8,如果Q点的移动速度不变,要使PQBA是正方形,则P点移动速度是多少?
【答案】(1)6s;(2)s;(3)cm/s.
【解析】解:(1)∵PD∥CQ,
∴当PD=CQ时,四边形PQCD是平行四边形,
设运动时间为t,PD=24-t,CQ=3t,
则24﹣t=3t,解得t=6,
∴经过6秒,四边形PQCD是平行四边形;
(2)∵AP∥BQ,∠B=90°,
∴当AP=BQ时,四边形PQBA是矩形,
设运动时间为t,AP=t,BQ=26-3t
t=26﹣3t,
解得t=,
∴经过秒,四边形PQBA是矩形;
(3)当BQ=AB=8时,四边形PQCD是正方形,
设运动时间为t,
26﹣3t=8,解得t=6,
∵PA=6•VP=8,
∴VP=cm/s.
专题06 特殊平行四边形重点知识讲义
性质
判定
矩形
①边——两组对边分别平行且相等;
②角——每个角都是90°;
③对角线——两条对角线相等且互相平分.
①有一个角是90°的平行四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③有三个角90°的四边形是矩形.
菱形
①边——两组对边分别平行且相等,邻边相等;
②角——两组对角分别相等;
③对角线——两条对角线垂直且互相平分,每条对角线平分一组对角.
①一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②对角线垂直的平行四边形是菱形;
③四条边相等的四边形是菱形.
正方形
四条边都相等;
四个角都是90°;
对角线相等且互相垂直平分;
每条对角线平分一组对角;
正方形的中点四边形是正方形;
矩形四个角平分线所成的四边形是正方形.
四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形;
一组邻边相等的矩形是正方形;
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;
有一个角是直角的菱形是正方形;
对角线相等的菱形是正方形;
对角线互相垂直的矩形是正方形;
对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形.
几个结论
1. 平行四边形对角线与边关系
AC2+BD2=2(AB2+BC2)
思考:在证明含有线段平分的关系时,考虑勾股定理,而勾股定理离不开直角三角形,故而需要作垂线构造直角三角形.
理由:过A,D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,
则AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2
= AE2+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2
=AE2+BC2-2BC·BE+BE2+BC2+2BC·CF+CF2+DF2
= AE2+BC2+BE2+BC2+CF2+DF2
=2(AB2+BC2)
2. 对角线互相垂直四边形
四边形ABCD对角线,AC⊥BD,
结论:S=AC·BD
AB2+CD2=BC2+AD2
3. 中点四边形
任意四边形中点四边形均为平行四边形
对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形
对角线相等的四边形的中点四边形为菱形
对角线垂直且相等的四边形的中点四边形为正方形
4. 三角形一边的中线等于这边的一半,则该三角形为直角三角形.
由图,知∠ACB=x+y=90°.
5. 正方形中的“蝴蝶”
四边形ABCD为正方形,BN⊥AM,则BN=AM.
典例解析
1.【特殊四边形判定】
【例1】(2021·重庆渝中区月考)下列命题中,是真命题的是( )
A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.一组邻边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
【答案】C.
【解析】解:A、对角线相等的平行四边形是矩形,A错误;
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形,B错误;
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,C正确;
D、四个角相等的四边形是矩形,D错误;
故答案为:C.
【变式1-1】下列命题中,正确的是( )
A.两邻边相等的四边形是菱形
B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线垂直的四边形是菱形
【答案】B.
【解析】解:两邻边相等的平行四边形是菱形,故A错误;
一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形,故B正确;
对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形,比如筝形,故C错误;
对角线垂直的平行四边形是菱形,故D错误;
故答案为:B.
【例2】(2020·银翔实验中学月考)下列四个命题中,假命题是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】B.
【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,是真命题;
B、对角线相等且平分的四边形是矩形,原命题是假命题;
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,是真命题;
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,是真命题;
故答案为:B.
【变式2-1】(2020·河南开封期末)下列命题中,真命题是( )
A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】D.
【解析】A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形,错误;
B.有一个角是直角的平行四边形是矩形,错误;
C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,错误;
D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形,正确.
故答案为:D.
【变式2-2】(2020·河南驻马店期末)下列说法正确的个数是( )
①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形;
②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形;
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D.
【解析】解:①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形,正确;②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形,正确;③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,正确;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,正确;
故答案为:D.
【例3】(2020·石家庄市期中)如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B、C两点不重合),过点D作DE//AC,DF//AB,分别交AB、AC于E、F两点,下列说法错误的是( )
A.四边形AEDF是平行四边形
B.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
C.若AB⊥AC,则四边形AEDF是矩形
D.若BD=CD,则四边形AEDF是正方形
【答案】D.
【解析】解:∵DE//AC,DF//AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,故A正确;
若AD平分∠BAC,则∠EAD=∠FAD,
又∵∠EAD=∠FDA,
∴∠FAD=∠FDA
∴FA=FD,
∴平行四边形AEDF是菱形,故B正确;
∵AB⊥AC,
∴平行四边形AEDF是矩形,故C正确;
若BD=CD,则四边形AEDF不一定是正方形;选项D错误.
故答案为:D.
【变式3-1】(2021·上海月考)已知四边形是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A.当时,四边形是菱形
B.当时,四边形是菱形
C.当时,四边形是矩形
D.当时,四边形是正方形
【答案】D.
【解析】解:根据邻边相等的平行四边形是菱形,A叙述正确;
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,B叙述正确;
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,C叙述正确;
根据对角线相等的平行四边形是矩形,D叙述错误,符合题意;
故答案为:D.
【变式3-2】(2021·辽宁铁岭市期末)如图,点O为矩形的对称中心,,点E从点B出发(不含点B)沿向点C运动,移动到点C停止,延长交于点F,则四边形形状的变化依次为( )
A.平行四边形→菱形→正方形→矩形 B.平行四边形→正方形→菱形→矩形
C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 D.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
【答案】C.
【解析】解:连接BD
∵点O为矩形ABCD的对称中心,
∴BD经过点O,OD=OB,
∵AD∥BC,
∴∠FDO=∠EBO,
∴△DFO≌△BEO,
∴DF=BE,
∵DF∥BE,
∴四边形BEDF是平行四边形,
观察图形可知,四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.
故答案为:C.
【例4】(2021·广东模拟)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.
(1)求证:四边形DBEC是菱形;
(2)若AD=5,DF=2,求四边形DBEC面积.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,
∴四边形DBEC为平行四边形.
∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,
∴CD=BD=AC,
∴平行四边形DBEC是菱形;
(2)∵点D,F分别是AC,AB的中点,AD=5,DF=2,
∴DF是△ABC的中位线,AC=2AD=10,S△BCD=S△ABC
∴BC=2DF=4.
∵∠ABC=90°,
∴AB=,
∵平行四边形DBEC是菱形,
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB•BC=.
【变式4-1】(2021·山东济宁市)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)证明四边形ADCF是菱形.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
∵∠AEF=∠DEB
∴△AEF≌△DEB;
(2)由(1)可知,AF=BD,
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴AF=CD,
∵AF∥CD,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵△ABC为直角三角形,
∴AD=CD,
∴四边形ADCF是菱形.
【例5】(2021·湖南娄底市)如图,已知平行四边形ABCD,若M,N是BD上两点,且BM=DN,AC=2OM,
(1)求证:四边形 AMCN 是矩形;
(2)△ABC 满足什么条件,四边形AMCN是正方形,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BM=DN,
∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∴MN=2OM,
∵ AC=2OM,
∴MN=AC,
∴四边形AMCN是矩形;
(2)当AB=BC时,四边形AMCN是正方形;
∵AB=BC,四边形ABCD是平行四边形,
∴ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC⊥BD,
∴AC⊥MN,
由(1)可知四边形ABCD是矩形,
∴四边形ABCD是正方形;
【变式5-1】(2020·赣州市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m//AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接CD、BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若点D是AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵直线m//AB,
∴EC//AD.
∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AC.
又∵DE⊥BC,
∴DE//AC.
∵EC//AD,DE//AC,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD.
(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是菱形.
证明:∵D是AB中点,
∴DB=DA,
又∵直线m//AB,CE=AD,
∴DB=CE,DB//CE,
∴四边形BDCE是平行四边形,
又∵DE⊥BC,
∴四边形BECD是菱形,
(3)当∠A的大小是45°时,四边形BECD是正方形.
证明:∵D是AB中点,
∴DB=DA,
又∵直线m//AB,CE=AD,
∴DB=CE,DB//CE,
∴四边形BDCE是平行四边形,
∵DE⊥BC,
∴四边形BECD是菱形,
∴BC平分∠EBD,
∵∠A=45°,
∴∠CBA=45°,
∴∠EBD=90°,
∴菱形BECD是正方形.
【变式5-2】(2020·四川广安市期末)如图,在中,点O是边上的一个动点,过点O作直线,设交的角平分线于点E,交的外角的平分线于点F,连接.
(1)求证:;
(2)当点O运动到何处时,四边形是矩形?并证明你的结论.
(3)在(2)的条件下,满足什么条件时,四边形是正方形?并说明理由.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵MN∥BC
∴∠3=∠2.
又∵CF平分∠ACG,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴OC=OF,
同理,OC=OE,
∴OE=OF.
(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
证明如下:当点O运动到AC的中点时,OA=OC.
又∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
由(1)可知,OC=OF,
∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
(3)在(2)的条件下,∠ACB=90°时,四边形AECF是正方形.
理由:由(2)知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC,
∴∠AOE=∠ACB,
当∠ACB=90°时,∠AOE=90°,即AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
2.【特殊四边形性质应用】
【例6】(2020·吉水县期末)如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长是_____.
【答案】.
【解析】解:连接CH,
∵四边形ABCD,四边形EFCG都是正方形,
∴∠F=∠D=90°,
∴△CFH与△CDH都是直角三角形,
在Rt△CFH与Rt△CDH中,
∵,
∴△CFH≌△CDH(HL).
∴∠DCH=∠DCF=(90°﹣30°)=30°.
在Rt△CDH中,CD=3,
∴DH=.
故答案为:.
【变式6-1】(2021·重庆南开中学月考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点,E,F分别是AB,BC边上的中点,连接EF.若,,则菱形ABCD的周长为( )
A. B.16 C. D.32
【答案】C.
【解析】解:∵E,F分别是AB,BC边上的中点,EF=,
∴AC=2EF=,
∵四边形ABCD是菱形,BD=8,
∴AC⊥BD,OA=AC=,OB=BD=4,
∴AB==,
∴菱形ABCD的周长为:=.
故答案为:C.
【变式6-2】(2021·四川成都市期中)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,则CE的长为( )
A.5 B. C.3 D.
【答案】C.
【解析】解:过E作EF⊥AC,交CA的延长线于F,
∵四边形ABDE为正方形,
∴∠BAE=90°,AE=AB,
∵∠EAF+∠AEF=90°,∠EAF+∠BAC=90°,
∴∠AEF=∠BAC,
在△AEF和△BAC中,
,
∴△AEF≌△BAC(AAS),
∴EF=AC=AF=BC=3,
在Rt△ECF中,EF=3,FC=FA+AC=3+3=6,
根据勾股定理得:CE=.
故答案为:C.
【例7】(2020·渠县期末)如图,在中,,为的中线,过点作于点,过点作的平行线,交的延长线于点,在的延长线上截取,连接,.若,,则四边形的周长为______.
【答案】20.
【解析】解:∵AG∥BD,BD=FG,
∴四边形BGFD是平行四边形,
∵CF⊥BD,
∴CF⊥AG,
又∵点D是AC中点,
∴BD=DF=AC,
∴四边形BGFD是菱形,
设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,
在Rt△AFC中,由勾股定理可得:36+(13-x)2=(2x)2,
解得:x=5,即GF=5
∴四边形BDFG的周长=4GF=20.
故答案为:20.
【例8】(2021·沭阳县月考)如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则EG2+FH2的值为( )
A.9 B.18 C.36 D.48
【答案】C.
【解析】解:连接EF、FG、GH、EH,设EG和FH交于点O,
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,
∴EF∥AC,HG∥AC,EF=AC,FG=BD,
∴EF∥HG,
同理:EH∥FG,
∴四边形EFGH为平行四边形,
∵AC=BD,
∴EF=FG,
∴平行四边形EFGH为菱形,
∴EG⊥FH,EG=2OG,FH=2OH,
∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4(OE2+OH2)=4EH2=4×(BD)2=62=36;
故答案为:C.
【例9】(2020·四川广安市期末)如图,O是菱形的对角线的交点,E,F分别是的中点给出下列结论:①;②四边形也是菱形;③四边形的面积大小等于;④;⑤是轴对称图形.其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C.
【解析】解:∵E、F分别是OA、OC的中点.
∴AE=OE.
∵S△ADEAE×ODOE×OD=S△EOD
∴S△ADE=S△EOD ①正确.
∵四边形ABCD是菱形,E,F分别是OA,OC的中点.
∴EF⊥OD,OE=OF.
∵OD=OB.
∴四边形BFDE是菱形.②正确
∵菱形ABCD的面积AC×BD.
∵E、F分别是OA、OC的中点.
∴EFAC.
∴菱形ABCD的面积=EF×BD.③正确
由已知可求得∠FDO=∠EDO,而无法求得∠ADE=∠EDO.④不正确
∵EF⊥OD,OE=OF,OD=OD.
∴△DEO≌△DFO.
∴△DEF是轴对称图形.⑤正确
∴正确的结论有四个,分别是①②③⑤,
故答案为:C.
【例10】(2020·浙江杭州月考)如图,菱形的边长为,且,E是中点,P点在上,则的最小值为_______.
【答案】.
【解析】解:在菱形ABCD中,点A、C关于BD对称,AB=BC,连接AE,与BD的交点即为所求作的点P,
∵∠ABC= 60°,AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∵AB=BC=4,点E是BC的中点,
∴BE=2,
∴AE⊥BC,
∴AE==,
即PE+PC的最小值为,
故答案为:.
【例11】(2020·广东惠州市期末)如图,在矩形中,点为对角线的中点,过点作交于点,交于点,连接,.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)连接,若,,求的长.
【答案】见解析.
【解析】证明:(1)∵O是AC的中点,且EF⊥AC,
∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AFO=∠CEO,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE(AAS),
∴AF=CE,
∴AF=CF=CE=AE,
∴四边形AECF是菱形;
(2)如图,连接BO,
∵AB=4,AF=AE=EC=5,
∴BE=,
∴BC=8,
∴AC=,
∵AO=CO,∠ABC=90°,
∴BO=AC=2.
【变式11-1】(2021·山东潍坊市期末)如图,在四边形中,分别是的中点,分别是对角线的中点,依次连接连接.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)当时,与有怎样的位置关系?请说明理由;
(3)若,则 .
【答案】(1)(2)见解析;(3)25.
【解析】证明:(1)∵E、G分别是AD、BD的中点,
∴EG∥AB,AB=2EG
同理可证:FH∥AB,AB=2HF
∴EG∥HF,EG=HF
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)GH⊥EF,
理由:∵G、F分别是BD、BC的中点,
∴FG=CD,
由(1)知GE=AB,
又∵AB=CD,
∴GE=GF
又四边形EGFH是平行四边形,
∴四边形EGFH是菱形,
∴GH⊥EF;
(3)由题意,EG∥AB,HF∥AB,GE=AB
∴EG∥HF,
同理,EH∥FG,GF=CD
∴四边形EGFH是平行四边形,
∵AB=CD,
∴GE=GF,
∴四边形EGFH是菱形,
∵∠ABD=20°,∠BDC=70°,EG∥AB,GF∥CD,
∴∠EGD=∠ABD=20°,∠BGF=∠BDC=70°,
∴∠DGF=180°-∠BGF=110°,
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°,
∴∠GEH=180°-∠EGF=50º,
∵FE平分∠GEH,
∴∠GEF=∠GEH=25°.
故答案为:25.
【例12】(2020·河南郑州月考)如图,在平行四边形中,是边上的高,将沿方向平移,使点与点重合,得.
(1)求证:;
(2)若,当______时,四边形是菱形;
(3)若,当______时,四边形是正方形.
【答案】(1)见解析;(2);(3).
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD.
∵AE⊥BC,
∴CG⊥AD,AE=CG,
∴∠AEB=∠CGD=90°.
在Rt△ABE与Rt△CDG中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL),
∴BE=DG.
(2)当BC=AB时,四边形ABFG是菱形.
证明:∵AB∥GF,AG∥BF,
∴四边形ABFG是平行四边形.
∵Rt△ABE中,∠B=60°,
∴∠BAE=30°,
∴BE=AB,
∵BE=CF,BC=AB,
∴EF=AB.
∴AB=BF.
∴四边形ABFG是菱形.
故答案是:;
(3)BC=AB时,四边形AECG是正方形.
∵AE⊥BC,GC⊥CB,
∴AE∥GC,∠AEC=90°,
∵AG∥CE,
∴四边形AECG是矩形,
当AE=EC时,矩形AECG是正方形,
∵∠B=60°,
∴EC=AE=AB,BE=AB,
∴BC=AB.
故答案是:.
【变式12-1】(2020·渠县月考)如图所示,为的边上一动点,过点的直,设分别交的平分线及其外角平分线于点.
(1)求证:
(2)当点在何处时,四边形是矩形?
(3)在(2)的条件下,请在中添加条件,使四边形变为正方形,并说明你的理由.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠OCE,
∴∠OEC=∠OCE,
∴EO=CO,
同理:FO=CO,
∴EO=FO;
(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形; 理由如下:
由(1)得:EO=FO,
又∵O是AC的中点,
∴AO=CO,
∴四边形CEAF是平行四边形,
∵EO=FO=CO,
∴EO=FO=AO=CO,
∴EF=AC,
∴四边形CEAF是矩形;
(3)解:当点O运动到AC的中点时,且∠ACB为直角时,四边形AECF是正方形.
理由如下:
∵当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
∵MN∥BC∠ACB=90°,
∴∠AOE=∠ACB=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
【例13】(2021·广东深圳期末)如图,在直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=8,OC=6,点D是对角线AC的中点,过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F.
(1)求证:四边形EAFC是平行四边形;
(2)当CE=CF时,求EF的长;
(3)在条件(2)的情况下,P为x轴上一点,当以E,F,P为顶点的三角形为等腰三角形时,请求出点P的坐标.
【答案】(1)见解析;(2);(3)点P的坐标为(8,0)或(,0)或(﹣,0)或(,0).
【解析】(1)证明:∵四边形OABC是矩形,
∴BC∥OA,
∴∠FCD=∠DAE,∠CFD=∠AED,
∵D是AC的中点,
∴CD=AD,
∴△CDF≌△ADE,
∴DF=DE,
∴四边形EAFC是平行四边形;
(2)解:∵四边形EAFC是平行四边形,CE=CF,
∴四边形EAFC是菱形,
∴CE=EA,AC⊥EF,
设CE=AE=x,
∵OC2+OE2=CE2,
∴62+(8﹣x)2=x2,
∴x=,
∴CE=,
∵OA=8,OC=6,
∴AC===10,
∴CD=AC=5,
∴ED===,
∴EF=2ED=;
(3)由(2)可知,AE=CE=,OE=,
①若PE=PF,点P与点A重合,
∴P(8,0),
②若EF=EP=,
当点P在x轴的正半轴上,OP=OE+PE==,
∴P(,0),
当点P在x轴的负半轴上,OP=PE﹣OE==,
∴P(﹣,0),
③若EF=FP,过点F作FG⊥AE于点G,
则EG=CF﹣OE=﹣=,
∴EP=9,
∴OP=OE+EP=+9=,
∴P(,0).
综上可得,点P的坐标为(8,0)或(,0)或(﹣,0)或(,0).
【变式13-1】(2021·广东佛山期末)如图,在中,,,.点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动,同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点、 运动的时间是秒.过点作于点,连接、.
(1)请用含有的式子填空:______,______,______;
(2)是否存在某一时刻使四边形为菱形?如果存在,求出相应的值;如果不存在,说明理由;
(3)当为何值时,为直角三角形?请说明理由.
(备用图)
【答案】见解析.
【解析】解:(1)由题意知,AQ=t,
∵∠C=90°,AC=10,∠A=60,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=20,
∴AP=AB-BP=20-2t,
∵PM⊥BC,
∴∠PMB=90°,
∴PM=PB=t.
故答案为:AQ=t,AP=20-2t,PM=t.
(2)存在,理由如下:由(1)知,AQ=PM
∵AC⊥BC,PM⊥CB
∴AQ∥PM
∴四边形AQMP是平行四边形.
当AP=AQ时,四边形AQMP是菱形
即20-2t=t,解得:t=.
故当t=时四边形AQMP为菱形.
(3)①当∠MPQ=90°时,此时四边形CMPQ为矩形
在Rt△APQ中,∠A=60°,∠APQ=30°
∴AP=2AQ,即20-2t=2t,解得:t=5
②当∠MQP=90°时,
同理,AQ=2AP,
即t=2(20-2t),解得:t=8
③当∠PMQ=90°时,此种情况不存在.
综上所述,t=5或t=8时,△PQM为直角三角形.
【变式13-2】(2020·江苏泰州市月考)对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 及点 Q,给出如下定义:若点 Q 满足 QM=QN,则称点Q为线段MN的“中垂点”;当 QM=QN=MN 时,称点 Q为线段 MN 的“完美中垂点”.
(1)如图 1,A(4,0),在Q1(0,4)、Q2(2,-4)、Q3(1,)中,可以是线段 OA 的中垂点是 ;
(2)如图 2,点 A为x轴上一点,若点Q(2,2)为线段 OA 的“完美中垂点”,请求出线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标;
(3)若点A为x轴正半轴上一点,点Q为线段 OA 的“完美中垂点”,点 P(0,m)在 y轴上,在线段 PA 上方画出线段 AP 的“完美中垂点”M,请问∠MQA的度数是否是一个定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2,-4);(2)(4,0)或(-2,2);(3)∠MQA =90,见解析.
【解析】解:(1)根据“中垂点”的定义得: QM=QN,
∴点Q在线段OA 的垂直平分线上,
∵O(0,0),A(4,0),
∴线段OA 的垂直平分线是:x=2,
在Q1(0,4)、Q2(2,-4)、Q3(1,)中,只有Q2(2,-4)符合题意,
∴可以是线段 OA 的中垂点是Q2(2,-4),
故答案为:Q2(2,-4);
(2) ∵Q(2,2),
∴OQ=4,
∵点Q(2,2)为线段 OA 的“完美中垂点”,
∴OA=QA=OQ=4,即A(4,0)为线段 OQ 的“完美中垂点”,
设线段 OQ 的另外一个“完美中垂点”为D,如图所示:
则OD=QD=OA=QA=OQ=4,
∴四边形AODQ为菱形,
∴DQ∥OA,
∴D (-2,2),
∴线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标为(4,0)或(-2,2);
(3) ∠MQA的度数是一个定值,∠MQA =90°,
理由如下:
如图所示,点M为线段 AP 的“完美中垂点”,
∵点Q为线段 OA 的“完美中垂点”,
∴PA=PM=AM,OA=QA=OQ,
∴△OAQ和△PAM为等边三角形,
∴∠OAQ=∠PAM=60°,
∴∠OAP=∠QAM,
在△OAP和△QAM中,
,
∴△OAP≌△QAM(SAS),
∴∠MQA=∠POA=90°.
【变式13-3】(2020·株洲市期中)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P,Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.
(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?
(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?
(3)若AB=8,如果Q点的移动速度不变,要使PQBA是正方形,则P点移动速度是多少?
【答案】(1)6s;(2)s;(3)cm/s.
【解析】解:(1)∵PD∥CQ,
∴当PD=CQ时,四边形PQCD是平行四边形,
设运动时间为t,PD=24-t,CQ=3t,
则24﹣t=3t,解得t=6,
∴经过6秒,四边形PQCD是平行四边形;
(2)∵AP∥BQ,∠B=90°,
∴当AP=BQ时,四边形PQBA是矩形,
设运动时间为t,AP=t,BQ=26-3t
t=26﹣3t,
解得t=,
∴经过秒,四边形PQBA是矩形;
(3)当BQ=AB=8时,四边形PQCD是正方形,
设运动时间为t,
26﹣3t=8,解得t=6,
∵PA=6•VP=8,
∴VP=cm/s.
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