专题08 一次函数重点知识讲义 八年级下册数学辅导讲义（人教版）

专题08 一次函数重点知识讲义

典例解析

【函数】

【例1】（2020·山东菏泽市月考）圆的周长公式是，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是（    ）

A．2是常量，C、、r是变量 B．2、π是常量，C、r是变量

C．2是常量，r是变量 D．2是常量，C、r是变量

【例2】（2020·青神县期中）下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数（　　）

A． B． C． D．

【例3】（2020·河南许昌市期末）下列关系式中，不是的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【例4】下列变量之间是函数关系的有（    ）

①正方形的面积S与边长a；②长方形的周长C与长a；

③圆的周长C与半径R；④中的y与x．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例5】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据

下列说法错误的是（    ）

A．这个问题中，空气温度和声速都是变量

B．空气温度每降低10℃，声速减少6m/s

C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m

D．由数据可以推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快

【例6】是饮水机的图片．饮水桶中的水由图1的位置下降到图2的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（   ）

A． B． C． D．

【例7】（2019·福建漳州市期中）“龟兔赛跑”：龟跑得慢，但坚持不懈；而兔跑得快，看不起龟，中途睡觉，醒来龟已到终点．下列哪个图象能大致表示“龟兔赛跑”中路程s与时间t的关系（   ）

A． B． C． D．

【例8-1】（2021·重庆月考）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（    ）

A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2

【例8-2】（2021·山东威海市期末）函数的自变的取值范围是（    ）

A． B． C． D．且

【例9-1】（2020·浙江期末）一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估算．假设物体从超过10米的高度自由下落，小明要计算这个物体每经过1米所需要的时间，则经过第5个1米时所需要的时间最接近（    ）

A．1秒 B．0.4秒 C．0.2秒 D．0.1秒

【例9-2】（2020·湖南月考）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（    ）

A．± B．4 C．±或4 D．4或－

【例9-3】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是6和2，输出的y值相等，则b等于（    ）

A． B． C． D．

【例10-1】（2020·辽宁锦州市期末）图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层（n为正整数）圆点的个数，则变量y与n之间的关系式为________ ．

【例10-2】（2021·安徽安庆市期末）在学校，每一位同学都对应着一个学籍号，在数学中也有一些对应．现定义一种对应关系f，使得数对和数z是对应的，此时把这种关系记作：．对于任意的数m，n（），对应关系f由如表给出：

如：，，，则使等式成立的x的值是___________．

【例11】（2020·四川达州市期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：

(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；

(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；

(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？

【一次函数】

【例12-1】对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣ D．

【例12-2】（2021·浙江台州）若是一次函数图象上两个不同的点，且，则_______．

【例13-1】（2021·陕西西安市月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点．若直线分别与轴、直线交于点，，则的面积为（    ）

A． B．1 C． D．2

【例13-2】平面直角坐标系中，的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做的勾股值，记为，即．若点B在第一象限且满足，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【例13-3】（2021·山东模拟）如图1，四边形中，，点P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为s，s关于t的函数图象如图2所示，当P运动到中点时，的面积为_______．

【例13-4】（2020·广西南宁市月考）如图在直角梯形中，，，，，，点P，Q同时从点B出发，其中点P以的速度沿着点运动；点Q以的速度沿着点运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动．

（1）当运动时间时，则三角形的面积为_____；

（2）当运动时间时，则三角形的面积为_____；

（3）当运动时间为时，请用含t的式子表示三角形的面积．

【例14】（2021·西安市模拟）把直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后，与直线y＝﹣x+3的交点在第二象限，则n的取值范围是（　　）

A．1＜n＜ B．1＜n＜10 C．n＞1 D．n＜7

【例15-1】（2020·重庆月考）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题：

①列表：

②描点；

③连线．

（1）在函数中，自变量的取值范围为______；

（2）表格中，______，______；

（3）如图，在平面直角坐标系中，画出函数图象；

（4）观察图象，当______时，随的增大而减小；若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围为______．

【例15-2】（2020·河南期末）某班数学兴趣小组对函数的图像和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

其中，m=______________；

（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数的另一部分图像；

（3）方程的解是__________________；

（4）关于x的方程有4个实数解，则a的取值范围是______________________．

【例16】（2021·河南郑州市期末）小明说，在一次函数中，x每增加1，增加了k，b没变，因此y也增加了k．而如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2.

（1）小明这种确定k的方法有道理吗？说说你的认识；

（2）已知一次函数的图象经过、两点，下面运用两种方法求了这个一次函数的表达式，请你将过程补充完整．

方法一：设该一次函数的表达式为，

∵一次函数的图象经过、两点，

∴________．

∵x从0变成1时，增加了1，函数值从3变为1，增加了，∴________．

∴该一次函数的表达式为________．

方法二：设该一次函数的表达式为，

∵一次函数的图象经过、两点，

把、代入得_______，解得________．

∴该一次函数的表达式为_________．

（3）像（2）中的方法二，先设出函数的表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做_________．

【例17-1】（2021·陕西西安市月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【例17-2】若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（　　）

A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1

【例17-3】如图，在平面直角坐标系中，点，直线交坐标轴于B、C，且，点M在直线上，且，则直线的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【例17-4】（2021·西安市模拟）若直线l1：y＝ax﹣3与直线l2：y＝﹣2x＋b关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标是（    ）

A．(0，﹣3) B．(，0) C．(﹣，0) D．(4，﹣5)

【函数与方程、不等式】

【例18-1】（2021·河南郑州期末）如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象，则二元一次方程组的解是（ ）

A． B． C． D．

【例18-2】（2021·陕西西安模拟）若直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（0，3），且与直线y＝mx﹣m（m≠0）始终交于同一点，则k的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．2

【例19-1】（2021·郑州市期中）如图，一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（  ）

A．x＜ B．x＜2 C．x＞ D．x＞2

【例19-2】（2021·山东济南市模拟）如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【例19-3】（2020·江西南昌月考）一次函数的图象如图所示，当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是_____．

【例19-4】（2020·浙江期末）如图，己知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是_________．

【例19-5】（2020·浙江期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．

（1）求a的值及一次函数的解析式；

（2）直接写出关于x的不等式的解集．

【例19-6】（2021·河南省实验中学月考）请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝∣2x－1∣的图像和性质，并解决问题．

（1）根据函数表达式，填空m＝      ，n＝      ；

（2）利用（1）中表格画出函数y＝∣2x－1∣的图像．

（3）观察图像，当x        时，y随x的增大而减小；

（4）利用图像，直接写出不等式∣2x－1∣＜x＋1的解集．