专题09 一次函数动点及实际应用知识讲义 八年级下册数学辅导讲义（人教版）

专题09 一次函数动点及实际应用知识讲义

典例解析

【动点及其图象】

【例1】（2021·山东枣庄期中）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与之间的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ）

A．10 B．16 C．20 D．36

【例2】（2021·江苏南通市）如图，点P是边长为2cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设P点运动的路程为xcm，则POD的面积y（cm2）随x（cm）变化的关系图象为（   ）

A． B． C． D．

【例3】（2021·山西晋中市期末）如图①，在边长为的正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C止，过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动2.5秒时，的长度是（    ）．

A．2 B．3 C． D．

【例4】（2021·浙江月考）如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴，直线从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，那么的面积为（    ）

A．3 B．6 C． D．

【例5】（2021·江西模拟）如图1，，是平面内的两个定点，，为射线上一动点，过点作的垂线交直线于点．设的度数为，的度数为．小贤对与之间满足的等量关系进行了探究．下面是小贤的探究过程，请补充完整：

（1）如图2，当时，依题意补全图形；

（2）按照下表中的值进行取点、画图、计算，分别得到了与的几组对应值，补全表格；

（3）如图3所示的是平面直角坐标系；

①通过描出表中各组数值所对应的点，画出与的函数图象；

②结合①中的图象填空，当时，的值为          ；

（4）关于的函数表达式为          （需写出自变量的取值范围）．

【动点与最值】

【例6】（2021·西安铁一中模拟）如图，四边形是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1），，直线过A、C两点，P是上一动点，当的值最大时，P点的坐标为______．

【例7】（2021·江苏苏州期末）在中，点为边上的动点，速度为．

（1）如图1，点为边上一点，，动点从点出发，在的边上沿的路径匀速运动，当到达点时停止运动．设的面积为的面积为，点运动的时间为与之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：

①在图1中，                                    ；

②在图2中，求和的交点的坐标；

（2）在（1）的条件下，如图3，若点，点同时从点出发，在的边上沿的路径匀速运动，点运动的速度为，当点到达点时，点与点同时停止运动．求为何值时，最大？最大值为多少？

【例8】（2021·北京月考）已知点，，在轴上的点，使得最小，则点的横坐标为（     ）

A． B． C．2 D．

【例9】（2021·福建省惠安月考）在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，m－4），则AB＋OB的最小值是（    ）

A．4 B．8 C． D．4

【例10】（2020·浙江期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点轴上有一点为轴上一动点，把线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结，则当长度最小时，线段的长为（    ）

A． B． C．5 D．

【动点与面积】

【例11】（2021·陕西模拟）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点B，且S△AOB＝4，则k的值是（　　）

A． B． C．或 D．或

【例12】（2021·江苏南通市模拟）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，Q为线段OA上的一个动点，连接CQ．

（1）点C的坐标为　       　；

（2）当S△ACQ：S四边形CQOB＝2：7时，求直线CQ对应的函数关系式．

【例13】（2021·南京模拟）如图，在直角坐标系中，的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（8，0），B（12，4），直线以每秒2个单位的速度向右平移，经过_____秒该直线可将的面积平分．

【例14】（2021·河北唐山市模拟）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝－5与x轴交于点D，直线与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E．点B，E关于x轴对称，连接AB．

（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；

（2）设面积的和S＝S△CDE＋S四边形ABDO，求S的值；

（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．

【例15】（2021·辽宁沈阳市模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为8的等边三角形，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，以每秒2个单位长的速度先沿点O到点A的方向向左平移，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，当点D与点B重合时，△CDE停止移动．

（1）求直线OB的函数表达式；

（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为　　；

（3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC，当△ACE的面积为36时，请直接写出此时点E的坐标为　　．

【例16】（2020·浙江期中）如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（   ）

A． B． C． D．，

【图形存在性】

【例17】（2021·重庆月考）如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点，与直线l1交于点D（2，t）．

（1）求直线l2的解析式；

（2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作轴交l2于点Q，交x轴于点G，使，求此时P点的坐标；

（3）将直线向左平移10个单位得到直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点，过点F作直线轴．在直线l4上是否存在动点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【例18】（2021·江苏省江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）．

（1）写出点B的坐标是（　   　，　   　）；

（2）当时，求点E的坐标；

（3）在点E的整个运动过程中，

①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标；

②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为　     　．（请直接写出答案）

【例19】（2021·福建省福州期中）在平面直角坐标系中，点，，，且．

（1）点的坐标为______，点的坐标为______；

（2）将线段平移至，点和点为对应点，点和点为对应点，当点和点分别落在两条坐标轴上时，求点的坐标；

（3）若点在第一象限，且在直线上，点关于轴的对称点为点．若的面积为8，求点的坐标．

【例20】（2020·浙江期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与轴分别相交于点平分交x轴于点C．

（1）求点的坐标和线段的长；

（2）求线段的长，并写出点C的坐标；

（3）若过原点的直线平行于直线，动点P在直线上运动，当时，求点P的坐标．

【例21】（2020·浙江金华市期中）已知直线a：分别与x、y轴交于点A，C．将直线a竖直向下平移7个单位后得到直线b，直线b交直线于点E．已知点M是第一象限直线a上的任意一点，过点M作直线轴，交直线b于点N，H为直线上任意一点，是否存在点M，使得成为等腰直角三角形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

【例22】（2021·盐城市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线、直线与轴分别交于点，与轴分别交于点，两直线相交于点．

（1）求交点的坐标：

（2）求的面积：

（3）点在直线上，轴，交直线于点，若，直接写出点的坐标．

【方案选择】

【例23】（2021·湖北恩施）为更好践行党史学习活动，某学校计划租用汽车送部分团员学生和党员教师共人到革命英雄纪念馆开展党史学习教育，其中团员的人数比党员人数的倍还多人．现在甲、乙两种客车（不能超员），它们的载客量和租金如下表所示：

为确保安全，学校规定：每辆车上至少要有名教师．如果学校预算此次活动的租金总费用不超过元，请解答下列问题：

（1）参加此次活动的团员和党员各多少人？

（2）设租用辆甲种客车，租车总费用为元．

①学校共有哪几种租车方案？

②写出与的函数关系式，并求租车总费用的最小值．

【例24】（2021·天津）2020年新冠肺炎疫情席卷而来，为了员工的健康安全，某公司欲购进一批口罩，在甲药店不管一次购买多少包，每包价格为70元，在乙药店购买同样的口罩，一次购数量不超过30包时，每包售价为80元，一次购买数量超过30包时，超过部分价格打八折．设在同一家药店一次购买这种口罩的包数为x（x为非负整数）

（Ⅰ）根据题意填写下表：

（Ⅱ）设在甲药店购买这种口罩的金额为元，在乙药店购买这种口罩的金额为元，分别写出、关于x的函数关系式；

（Ⅲ）根据题意填空：

①若该公司在甲药店和乙药店一次购买口罩的数量相同，且花费相同，则该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为__________包；

②若该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为120包，则该公司在甲、乙两家药店中的_________药店购买花费少；

③若该公司在同一家药店一次购买口罩花费了4200元，则该公司在甲、乙两家店中的_________药店购买数量多．

【行程问题】

【例25】（2021·吉林长春市）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后, 继续按原速前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午准时到达乙地．设汽车离甲地的路程为（千米），汽车出发时间为（时），图中折线表示接到通知前与之间的函数图象．

（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为　　    千米时．

（2）求线段所表示的与之间的函数关系式．

（3）汽车要想准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度．

【例26】（2021·辽宁大连）甲、乙两车先后从城出发前往城，乙到达城后立即以原速度返回城，在整个行程中，甲、乙两车离开城的距离（单位：km）与甲车的行驶时间（单位：h）的函数图象如图所示．

（1）甲车的速度为          ；

（2）求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．