初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试测试题

这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试测试题，文件包含第08课勾股定理全章复习与巩固教师版八年级数学下册同步精品讲义人教版docx、第08课勾股定理全章复习与巩固学生版八年级数学下册同步精品讲义人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
第08课 勾股定理全章复习与巩固

目标导航


课程标准
1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

知识精讲


知识点01 勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）求作长度为的线段.
知识点02 勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题
　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理
　　 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.
3.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
知识点03 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

能力拓展


考法01 勾股定理及逆定理的应用
【典例1】如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一点，且AE＝，求点E到CD的距离EF．

【分析】连接DE、CE将EF转化为△DCE一边CD上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE的面积，所以利用面积法只需求出CD的长度，即可求出EF的长度，过点D作DH⊥BC于H，在Rt△DCH中利用勾股定理即可求出DC．
【答案与解析】
解：过点D作DH⊥BC于H，连接DE、CE，则AD＝BH，AB＝DH，
∴ CH＝BC－BH＝ DH＝AB＝，
在Rt△CDH中，，
∴ CD＝25，
∵


又∵ ，
∴ ，∴ EF＝10．
【点睛】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换．

【即学即练】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．


【答案】
解：在△ABD中，由可知：
，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°．
在Rt△ADC中，．
考法02 勾股定理与其他知识结合应用
【典例2】如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？

【分析】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．
【答案与解析】
解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：

在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．
∵ 点G、A关于直线CD对称，∴ AI＝GI，AE＝GE．
由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．
最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作BD的垂线交于点H，在直角三角形GHB中，
∵ GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，
∴ 由勾股定理得．
∴ GB＝1000，即最短路程为1000米．
【点睛】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．

【即学即练】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．

【答案】
解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，
即最短距离EP＋BP也就是ED．

∵ AE＝3，EB＝1，∴ AB＝AE＋EB＝4，
∴ AD＝4，根据勾股定理得： ．
∵ ED＞0，∴ ED＝5，∴ 最短距离EP＋BP＝5．

【典例3】如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：线段AE,BF,EF之间的数量关系.

【分析】：由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE和∠BCF合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE旋转到△BCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到△ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．
【答案与解析】
解：(1)，理由如下：
将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合，
即△ACF′≌△BCF，
∵ 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴ ∠CAF′＝∠B＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．
∵ ∠ECF＝45°，∴ ∠ACE＋∠BCF＝45°．
∵ ∠ACF′＝∠BCF，∴ ∠ECF′＝45°．
在△ECF和△ECF′中：

∴ △ECF≌△ECF′(SAS)，∴ EF＝EF′．
在Rt△AEF′中，，
∴ ．
【点睛】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．

【典例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．
（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为　 　三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为　 　三角形．
（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：
当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？
【分析】
（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．
【答案与解析】
解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边==10，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角；钝角；
（2）∵c为最长边，2+4=6，
∴4≤c＜6，
a2+b2=22+42=20，
①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，
∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，
∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，
∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
考法03 本章中的数学思想方法
1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
【典例5】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.
　　　
【答案与解析】
解：连接AD．因为∠BAC＝90°，AB＝AC．
又因为 AD为△ABC的中线，
所以 AD＝DC＝DB．AD⊥BC．
且∠BAD＝∠C＝45°．
因为∠EDA＋∠ADF＝90°．
又因为∠CDF＋∠ADF＝90°．
所以∠EDA＝∠CDF．
所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以 AE＝FC＝5．
同理：AF＝BE＝12．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
，所以EF＝13.
【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.

【即学即练】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，
求证：

【答案】
解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．
　　由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．
　　
∵ BD＝DE，∠BDE＝60°
　　∴ △BDE为等边三角形，BE＝BD
易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB
∵ 四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°
∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°
∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°
∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°
∴
∴
2.方程的思想方法
【典例6】如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ，求的值.
　　
【答案与解析】
解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°，
则 ，由勾股定理，得.
因为 ，所以，
，，.
【点睛】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

【即学即练】直角三角形周长为12，斜边长为5，求直角三角形的面积.
【答案】
解：设此直角三角形两直角边长分别是，根据题意得：
　　
　　　由（1）得：，
　　　∴，即 (3)
　　　(3)－(2)，得：
　　　∴直角三角形的面积是＝×12＝6（）
【即学即练】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？

【答案】
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），
∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
分层提分


题组A 基础过关练
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）．
A．1.5，2，2 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
【答案】A
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【详解】
解：A、1.52+22≠22，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可．
【详解】
解：A、∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A＝∠B＋∠C，
∵∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
B、如果a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此选项不正确；
C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，
设∠A=x，则∠B=3x，∠C=2x，则x+3x+2x=180°，
解得：x=30°，则3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的边上的高，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算AC的长，利用割补法可得△ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：由勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝3×3−×1×2−×1×3−×2×3＝，
∴AC•BD＝，
∴•BD＝7，
∴BD＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
4．如图，在四边形中，，，，，则（ ）．

A．20 B．25 C．35 D．30
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得的长度，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：
由勾股定理可得：

故选B
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据∠C＝90°确定直角边为，对式子两边平方，再根据勾股定理得到的值，即可求解．
【详解】
解：根据∠C＝90°确定直角边为，∴
∵
∴，即
∴
∴
故选A
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定的值．
6．如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（ ）

A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明△BDF≌△ADC，得到BF=AC=，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵和是△ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBF=∠CAD，
∵，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∴△BDF≌△ADC，
∴BF=AC=，
在Rt△BDF中，DF=．
故选：D
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF≌△ADC是解题关键．
7．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（　　）

A．9 B．13 C．14 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
画出该圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，然后根据勾股定理求出AB即可求出结论．
【详解】
解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，

根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB
AB恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，即长为24÷2=12
宽为5
∴AB==13
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是勾股定理与最短路径问题，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键．
8．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若是“匀称三角形”，且，，则为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE，它是AC边上的中线，设AC=2a，则CE=a，BE=2a，在Rt△BCE中∠BCE=90°，根据勾股定理可求出BC、AB，则AC：BC：AB的值可求出．
【详解】
解：如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，

∵∠ACB=90°，
∴，
又在Rt△中，AD＞AC＞BC，

∴满足条件的中线是BE，它是AC边上的中线，
设AC=2a，则
在Rt△BCE中∠BCE=90°，
∴
在Rt△ABC中，
∴AC：BC：AB=
故选：B．
【点睛】
考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题．
9．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E．若∠BDC＝62°，则∠DEF的度数为（ ）

A．31° B．28° C．62° D．56°
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用互余计算出∠BDE＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD＝∠BDE＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DEF的度数，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∵，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE＝28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°，
∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键．
10．如图，在中，，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是


A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【解析】
【分析】
①利用全等三角形的判定得≌，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得，再利用三角形的面积计算 结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．
【详解】
解：如图：


对于①，因为，
所以，
，
因此．
又因为，
所以．
又因为，所以．
因此≌，所以．
故①正确．
对于②，由①知≌，所以．
又因为，
所以，连接FD，
因此≌．
所以．
在中，因为，
所以．
故②正确．
对于③，设EF与AD交于G．
因为，
所以．
因此．
故③正确．
对于④，因为，
又在中，
又是以EF为斜边的等腰直角三角形，
所以
因此，
故④正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积．
题组B 能力提升练
11．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺．

【答案】13
【解析】
【分析】
设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】
解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
12．如图，等腰中，，，于，且．则__________．

【答案】
【解析】
【分析】
在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD，再设AD=x，则AB=AC=AD+CD=6+x，最后在Rt△ABD中由勾股定理求出x即可求解．
【详解】
解：在Rt△BCD中，由勾股定理可知，
设AD=x，则AB=AC=AD+CD=x+6，
在Rt△ABD中，由勾股定理可知AB²=AD²+BD²，代入数据：
(x+6)²=x²+8²，解得x=，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理解直角三角形，本题的关键是设AD=x，进而将AB用x的代数式表示，在Rt△ABD中使用勾股定理求出x求解．
13．如图，在四边形ABCD中，，，，，，那么四边形ABCD的面积是___________．

【答案】+24
【解析】
【分析】
连结BD，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出△BDC是直角三角形，两个三角形面积相加即可．
【详解】
解：连结BD，
∵，
∴，
∵，，
∴BD=6，
∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，
BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
S△ABD=，
S△BDC=，
四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC=+24
故答案为：+24．

【点睛】
本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为________

【答案】
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．
【详解】
解：如图：

由图可知：，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．
15．如图一只蚂蚁从长为5cm，宽为3cm，高为4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短距离是__________cm．

【答案】
【解析】
【分析】
把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【详解】
解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得;
（2）展开前面上面由勾股定理得;
（3）展开左面上面由勾股定理得;
所以最短路径的长为;
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面展开—最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
题组C 培优拔尖练
16．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，求斜边c的长．
【答案】斜边c的长为
【解析】
【分析】
根据勾股定理的定义“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”解答即可．
【详解】
根据勾股定理可知：斜边c的长．
故斜边c的长为．
【点睛】
本题考查勾股定理及二次根式的混合运算．掌握勾股定理的定义是解答本题的关键．
17．在四边形中，，为边上的点．

（1）连接，，；
①如图，若，求证：；
②如图，若，求证：平分；
（2）如图，是的平分线上的点，连接，，若，，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）①根据条件得出，即可求证；
②延长交的延长线于点，得出再证明即可；
（2）解法1：过点分别作，，得到，由，，得到，设，求得，在和中，由勾股定理即可求得的长．
解法2：在上截取，得出，过作，根据，即可求得的长．
【详解】
（1）①证明：，
，，
，
在和中
，，，
，
．

②证明：延长交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．

（2）解法1：如图，过点分别作，，分别交及的延长线于点，．

平分，
，
又，，
，
在和中
，，，
，
，，
在和中
，，，
，
设，
，，
，，
，
，
，
，
在和中
，，，

．
解法2：如图，在上截取，

，，
，
在和中
，，，
，
，
，
，
过作，垂足为，
，
，
在和中


．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线以及利用方程解决问题．
18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求的度数．
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）；（2）海港受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为小时．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】
（1），，，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（2）海港受台风影响，
过点作，

是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响．
（3）当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
【点睛】
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
19．（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲?

【答案】（1）；（2）；（3）昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，列出方程求解即可．
【详解】
（1）最长的为斜对角线：=；
（2）这根细线的长为：=；
（3）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中，

∵x>0，解得：
答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲．


【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键．
20．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．




……
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律________，_________；
（2）请推算出的长；
（3）求出的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用S1，S2，S3的值和变化规律直接得出答案即可；
（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出；
（3）根据总结的规律计算，得到答案．
【详解】
解：（1）∵，，
，，
，，
……，
∴，；
（2）∵OA1=，OA2=，OA3=，…，
∴OA10=，
故答案为：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
=()2+()2+()2+…+()2
= (1+2+3+…+10)
=．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．