初中数学第十八章 平行四边形综合与测试复习练习题

第14课  平行四边形全章复习与巩固

知识点01  基本概念

一、多边形

1、由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形叫做四边形。

2、四边形的内角和等于360°。

3、四边形的外角和等于360°。

4、n边形的内角和为180°×（n-2）。

5、任何多边形的外角和为360°。

二、平行四边形

平行四边形的性质

三、平行四边形的常用判定方法

知识点02  中点四边形

一个四边形四边中点所连得到的四边形叫做中点四边形，它的形状仅仅与原来四边形的对角线有关。

知识点03  平行四边形的面积

考法01   平行四边形

【典例1】在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积是（       ）

A．36 B．48 C．40 D．24

【答案】B

【解析】

【分析】

设BC=x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．

【详解】

解：设BC=x，

∵▱ABCD的周长为40，

∴CD=20-x，

∵▱ABCD的面积=BC•AE=CD•AF，

∴4x=6（20-x），

解得x=12，

∴▱ABCD的面积=BC•AE=12×4=48．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解，根据面积的表示出列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键．

【典例2】如图，在中，对角线，交于点，为的中点，点在的延长线上，且．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当线段和之间满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由；

（3）当线段和之间满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【解析】

【分析】

（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形．

（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．只要证明∠EOB=90°即可解决问题；

（3）当AD⊥BD，AD=BD时，四边形OBFE是正方形．根据中位线性质再证OB=OE即可．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O是AC的中点．

又∵点E是边AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥BC，

又∵点F在CB的延长线上，

∴OE∥BF．

∵EF∥BD，即EF∥OB，

∴四边形OBFE是平行四边形．

（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．

理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，

又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，

∴FC⊥BD，

∴∠OBF=90°，

∴四边形OBFE是矩形．

（3）结论：当AD⊥BD，AD=BD时，四边形OBFE是正方形．

理由：∵OE为△ABD的中位线，

∴OE=AD，

∵O为BD中点，

∴OB=BD，

∵AD=BD，

∴OB=OE，

∵当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形，

∴当AD⊥BD，AD=BD时，四边形OBFE是正方形．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定、矩形的判定、正方形的判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．

【典例3】如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E. F，连结BE、DF，求证：四边形BEDF是平行四边形.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质，结合题意，由全等三角形的判定定理（ASA），再根据全等三角形的性质得到OB= =OF即可解决问题．

【详解】

证明：∵ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点，

∴OB=OD,DE∥BF，

∴∠EDO=∠FOB，∠EOD=∠FOB，

∴△DOE≌△BOF（ASA），

∴OE=OF，

∴四边形DEBF是平行四边形.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定定理（ASA）和性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理（ASA）和性质、平行四边形的判定与性质.

【即学即练】已知：如图，是平行四边形的对角线上的两点，．

求证：（1）；

（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据AE=CF推出AF=CE，利用平行四边形的性质得到AD=CB，AD∥BC，得到，即可得到结论；

（2）利用（1）的得到，即可得到EB∥DF.

【详解】

证明：(1)∵AE=CF，

，

即，

又∵四边形是平行四边形，

，

，

在与中

，

；

(2)∵,

,

.

【点睛】

此题考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，正确观察图形得到证明全等的条件是解题的关键.

【即学即练】如图，已知在中，是对角线上的两点，，点分别在BA和DC的延长线上，且，连接．求证：四边形GEHF是平行四边形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由条件可证明，可得到，，可证得，可证得结论．

【详解】

解：证明：∵四边形是平行四边形，

∴，，

∵，

∴，．

又∵，

∴．

∴，，

∴，

∴，

又∵，

∴四边形是平行四边形．

【点睛】

本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①平行四边形两组对边分别平行，②平行四边形两组对边分别相等，③平行四边形一组对边平行且相等，④平行四边形两组对角分别相等，⑤平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形．

考法02  特殊的平行四边形

【典例4】如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请证明你的结论

【答案】（1）见解析；（2）四边形BEDF是菱形， 证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）只要证明AE=CF，∠C=∠EAD，BC=AD，即可根据SAS证明△ADE≌△CDF；

（2）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形BEDF是平行四边形，再证明DE=BE，根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠C，AD=CB，AB=CD，

∵点E，F分别是AB，CD的中点，

∴AE=AB，CF=CD，

∴AE=CF．

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE=AB，DF=CD．

∴BE=DF，BE∥DF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵四边形AGBD是矩形，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，∵E为AB的中点，

∴AE=BE=DE，

∴平行四边形BEDF是菱形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定、矩形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【典例5】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F． E，垂足为O．

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)若AB=4，BC=8，求菱形AFCE的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）20

【解析】

【分析】

（1）先证明△AOE≌△COF，得出OE＝OF，再根据EF垂直平分AC，可得出四边形AFCE为菱形；

（2）设AF＝x，由AB＝4，BC＝8，得BF＝8−x，根据勾股定理可得出AF的长，根据菱形的面积求解即可．

【详解】

（1）证明：∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，∠AOE＝∠COF，

在△AOE和△COF中，

∠EAO＝∠FOC

AO＝CO

∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∴四边形AFCE为菱形；

（2）解：设AF＝x，

∵AB＝4，BC＝8，

∴BF＝8−x，

∴AF2＝AB2＋BF2，

∴x2＝42＋（8−x）2，

∴x＝5，

∴S菱形AFCE＝FC•AB＝5×4＝20，

∴菱形面积为20．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、矩形的性质以及面积的求法，是重点知识，要熟练掌握．

【即学即练】已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．

（1）求证：AB=AF；

（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析

【解析】

【分析】

（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；

（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；

【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠AFC=∠DCG，

∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，

∴△AGF≌△DGC，

∴AF=CD，

∴AB=AF．

（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．

理由：∵AF=CD，AF∥CD，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠FAG=60°，

∵AB=AG=AF，

∴△AFG是等边三角形，

∴AG=GF，

∵△AGF≌△DGC，

∴FG=CG，∵AG=GD，

∴AD=CF，

∴四边形ACDF是矩形．

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

【即学即练】如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE

求证：四边形BECD是矩形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．

【详解】

证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，

∴BD⊥AC，AD=CD．

∵四边形ABED是平行四边形，

∴，BE=AD，

∴BE=CD，

∴四边形BECD是平行四边形．

∵BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴▱BECD是矩形．

【点睛】

本题考查矩形的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．

【典例6】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．

(1)求证：△AEH≌△CGF．

(2)若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；

(2)先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG＝90°，即可证得该平行四边形是正方形．

【详解】

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C．

在△AEH与△CGF中，

，

∴△AEH≌△CGF(SAS)；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．

∵AE＝CG，AH＝CF，

∴EB＝DG，HD＝BF．

∴△BEF≌△DGH(SAS)，

∴EF＝HG．

又∵△AEH≌△CGF，

∴EH＝GF．

∴四边形HEFG为平行四边形．

∴EH∥FG，

∴∠HEG＝∠FGE．

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG＝∠FEG，

∴∠FGE＝∠FEG，

∴EF＝GF，

∴平行四边形EFGH是菱形．

又∵∠EFG＝90°，

∴平行四边形EFGH是正方形．

【点睛】

本题主要考查了四边形的综合性问题，关键要注意正方形和菱形的性质定理，结合考虑三角形的全等的证明，这是中考的必考点，必须熟练掌握.

【典例7】如图，正方形的对角线、相交于点，、分别在、上，，求证：．

【答案】见详解．

【解析】

【分析】

根据正方形的性质得到OA=OB，AC⊥BD，证明△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质证明结论．

【详解】

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴OA=OB，AC⊥BD，

在△AOE和△BOF中，

，

∴△AOE≌△BOF（SAS）

∴AE=BF．

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线垂直、平分且相等是解题的关键．