2023届湖南省永州市第一中学高三上学期入学考试数学试题含解析

2023届湖南省永州市第一中学高三上学期入学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据集合并集的定义作答即可

【详解】

故选：C

2．设函数，则的值为 （       ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据解析式判断-2所在的范围，先求的值，再把的值当自变量，判断的范围并代入相应的解析式求值.

【详解】解：因为，所以，

又，所以.

故选：C.

3．定义在上的偶函数在单调递增，且，则的的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先得，再根据偶函数化简，即为，由单调性可得，运用绝对值不等式的解法可得的取值范围.

【详解】定义在上的偶函数在单调递增，

且，可得，

，即为，

可得，

即，

解得，

即的取值范围是，故选A.

【点睛】首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.

4．已知命题，，若是假命题，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出命题，由条件可得是真命题，然后由可得，然后根据的范围可得答案.

【详解】因为命题，，所以命题，，

因为是假命题，所以是真命题，

由可得，因为，所以，

故选：B

5．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的根的情况，判断在处取得极小值时，实数的取值范围即可.

【详解】，有两个根，

若函数在处取得极小值，则，解得，

故选：B

6．已知，则取到最小值时，的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据对数的定义域求得的取值范围.结合对数运算,可求得等量关系,变形后结合基本不等式可求得取到最小值的值,即可求得的值.

【详解】根据对数定义域可知,则

由对数运算,化简

可得,即

化简可得,则

所以

当且仅当时取等号,此时

即,解得

所以

故选：B

【点睛】关键点点睛：化简对数式后可得，继续变形得，转化为等式一边为1可得，再根据“1”的变形使用结合均值不等式求解，属于较难题目.

7．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯()在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（       ）(当较小时，)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】若“天津四”的亮度是，则“心宿二”的亮度是，结合已知公式得，进而求其近似值即可.

【详解】若“天津四”的亮度是，则“心宿二”的亮度是，

∴，即，

∴.

故选：C.

8．已知，函数，若函数恰有三个零点，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．

【详解】当时，，得；最多一个零点；

当时，，

，

当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；

当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，

如图：

且，

解得，，．

故选．

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.

二、多选题

9．（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（       ）

A． B．  C．  D．

【答案】AC

【分析】由偶函数的定义及单调性依次判断选项即可.

【详解】易得四个函数定义域均为R，对于A，令，则，且在上单调递增，A正确；

对于B，令，，B错误；

对于C，令，，且在上单调递增，C正确；

对于D，令，， D错误.

故选：AC.

10．已知，则下列不等式中成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据指数函数和对数函数的性质，不等式的性质分析判断即可

【详解】对于A，因为在上为减函数，且，

所以，所以A错误，

对于B，因为在上为增函数，，

所以，所以B正确，

因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，

对于D，因为，所以，所以，所以D错误，

故选：BC

11．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ）

A．是以4为周期的周期函数

B．

C．函数有3个零点

D．当时，

【答案】ACD

【分析】首先判断出的周期，然后求得.利用图象法判断C选项的正确性，通过求在区间上的解析式来判断D选项的正确性.

【详解】依题意，为偶函数，且关于对称，

则

，

所以是周期为4的周期函数，A正确.

因为的周期为4，则，，

所以，B错误；

作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；

当时，，则，D正确.

故选：ACD

12．已知函数，则下列说法正确的有（       ）

A．直线y=0为曲线y=f(x)的一条切线

B．f(x)的极值点个数为3

C．f(x)的零点个数为4

D．若f()=f()(≠)，则+=0

【答案】AB

【解析】求导，令，即，令，，在同一坐标系中作出两函数的图像，得出导函数取得正负的区间，从而可得出原函数的单调性，再求出，，，可作出函数的图象，从而可得出选项.

【详解】因为，所以，令，即，

令，，在同一坐标系中作出两函数的图像，

由图像得：当和时，，所以此时，所以在和 上单调递增；当和时，，所以此时，所以在和上单调递减；且，，，作出函数的图象如下图所示：

对于A选项：根据函数的图象，知A选项正确；

对于B：由图象得有3个不同的解，有3个极值点，故B正确；

对于C：当或时，，所以函数有2个零点，故C不正确；

对于D：因为，所以函数是偶函数，所以函数关于y轴对称，若，则当时，，此时即，故D不正确.

故选：AB.

【点睛】本题考查运用导函数求函数的切线方程，运用导函数研究函数的单调性，极值，零点，关键在于由导函数的正负，得出原函数所对应的单调性，从而得出原函数的图象趋势，运用数形结合的思想解决问题，属于中档题.

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【详解】曲线在点处的斜率为：

根据点斜式写出直线方程为：.

故答案为.

14．某驾驶员喝了升酒后，血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．（精确到1小时）

【答案】4

【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升时，才能开车，因此只需由，求出的值即可.

【详解】当时，由得，解得，舍去；

当时，由得，即，解得，因为，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.

故答案为4

【点睛】本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型.

15．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若函数（且）有且仅有个零点，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意易知为的周期函数，函数（且）有且仅有个零点，等价于函数与函数有6个交点，分别画出两个函数图像，使其有6个交点，即可列出不等式组，解出即为答案.

【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，

又，所以，

所以为的周期函数，

令，则，

所以，

又，所以当时，

函数（且）有且仅有个零点，等价于函数与函数有6个交点，

当时，函数与函数只有2个交点，不满足题意；

当时，画出图像：

如图所示，要使函数与函数有6个交点，

则，

故答案为：.

16．已知函数有两个不同的极值点,且不等式恒成立,则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据函数有两个不同的极值点,通过求导,可以求出的取值范围,求出 的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出的取值范围.

【详解】,因为函数有两个不同的极值点,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有：,解得.

,

设,

,故在上单调递增,故,所以.因此

的取值范围是

故答案为

【点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键.

四、解答题

17．已知数列满足.

(1)求证：是等差数列；

(2)若，求的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）将原递推关系式变形即可证明；

（2）先求得，再用累加法即可求解.

【详解】(1)由题，即，

是公差为4的等差数列.

(2)

，累加可得

，当时也满足上式

.

18．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.

(1)求AC；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；

（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可

【详解】(1)因为的面积为，所以.

又因为，，所以.

由余弦定理得，，

，所以.

(2)因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.

19．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．

(1)证明：EF∥平面PCD

(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PD的中点G，连接CG，EG，则由三角形中位线定理可得，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF为平行四边形，从而得然后由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）由已知可得两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，然后利用空间向量求解即可

【详解】(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，

因为E，F分别为PA，BC的中点，

所以，

又底面ABCD为菱形，所以，

所以，

所以四边形EGCF为平行四边形，

所以

又平面PCD．平面PCD，

所以EF//平面PCD．

(2)解：连接，

因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为四边形ABCD为菱形，，

所以为等边三角形，

因为F为BC的中点，

所以，

因为∥，

所以，

所以两两垂直，

所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．

因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），

则．

设平面DEF的法向量，则

，令，得．

设直线AF与平面DEF所成的角为θ，

则，

所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为

20．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从年到年的“十四五”规划某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金该企业为了了解研发资金的投入额单位：百万元对年收入的附加额单位：百万元的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：

(1)求年收入的附加额与投入额的线性回归方程

(2)在（1）的条件下，若投入额为百万元，估计年收入的附加额为多少

(3)若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面个投入额中任意取个，用表示这个投入额为“优秀投资额”的个数，求的分布列及数学期望．

【参考数据】，，．

【附】在线性回归方程中，，．

【答案】(1)；

(2)百万元；

(3)分布列见解析，期望为.

【分析】（1）利用最小二乘法求解；

（2）把代入即得解；

（3）的所有可能取值为，，，，再求出对应的概率及分布列和期望.

【详解】(1)解：，，

，

又因为，所以，

所以年收入的附加额与投入额的线性回归方程为．

(2)解：由知，，

所以随着研发资金投入额的增加，年收入的附加额也增加．

研发资金投入额每增加百万元，年收入的附加额增加百万元．

所以，所以当时，，

所以当投入额为百万元时，估计年收入的附加额为百万元．

(3)解：个投入额中，“优秀投资额”的个数为个，

故的所有可能取值为，，，，

则的分布列为

则．

21．已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在实数m使得以为直径的圆过原点，若存在求出实数m的值；若不存在需说明理由

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】（1）根据焦点坐标和离心率求椭圆的，得到椭圆的方程；（2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，转化为坐标运算，建立等量关系求值.

【详解】（1）根据题意，抛物线的焦点是，

则，即，

又椭圆的离心率为，即，

解可得，则，则

故椭圆的方程为.

（2）由题意得直线l的方程为

由消去y得.

由，解得.

又，∴.

设，，则，.

则.

又由以为直径的圆过原点，则，

即

即，又

即存在使得以为直径的圆过原点.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型.

22．已知函数（是自然对数的底数）．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，若对于，曲线C：与曲线都有唯一的公共点，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解；

（2）根据已知条件将问题转化为方程的根，构造函数，再利用导数法求函数的极值即可求解.

【详解】(1)由题意可知，函数的定义域为，

因为，所以 ，

当时，，函数在单调递减；

当时，令，即，解得，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，函数在单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

(2)因为曲线与曲线有唯一的公共点，

所以方程有唯一解，即方程有唯一解，

令，所以，

当，即时，，函数在单调递增；

易知与有且只有一个交点，满足题意；

当即时，有两个根，且两根之和为，两根之积为，

若两根一个大于4，一个小于4，此时函数先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使有唯一实数根，

则大于极大值或小于极小值．

记为极大值点，则，则恒成立，

又，即，

则极大值，

因为，所以在上单调递增，，则；

记为极小值点，则，则，又，

所以恒成立，令，又，

所以时，，所以单调递减，无最小值，

所以不存在，使得恒成立．

若两根都大于4，设为极大值点，，则同理可得单调递减，所以，则；

设为极小值点，，可得不存在，使得恒成立．

综上所述，实数的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键第一问直接利用导数的正负与函数单调性的关系即可求解，第二问将问题转化为方程的根，构造新函数，利用导数法讨论函数的极值即可.