2023届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期8月月考数学试题含答案

这是一份2023届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期8月月考数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求．）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“函数的定义域为R”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. “百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（）
A. 分B. 分C. 分D. 分
8. 已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（ ）
A. （2，4）B. （2，5）C. （1，5）D. （1，4）
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，有错选得0分，部分选对得2分．）
9. 已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
10. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 若集合中只有两个子集，则
B. 的增区间为
C. 若终边上有一点，则
D. 函数是周期函数，最小正周期是
11. 已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数B.
C. 图象关于点对称D.
12. 定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得极大值，极大值为
B. 有两个零点
C. 若在上恒成立，则
D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．）
13. 已知，且，则____.
14. 数列满足，且，则数列的前12项的和为__________．
15. 设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．
16. 已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．
四、解答题（共70分）
17. 已知，均为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
18. 在数列中，，
（1）设，求证：；
（2）求数列通项公式；
（3）求数列的前项和.
19. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）是否存在实数a，使方程有两个不同的实数根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
20. 已知数列的前项和为，且满足，
（1）求和
（2）求证：．
21. 已知函数
（1）若直线为的切线，求的值．
（2）若，恒成立，求的取值范围．
22. 已知函数，其导函数为.
（1）讨论函数在定义域内的单调性；
（2）已知，设函数.
①证明：函数在上存在唯一极值点；
②在①的条件下，当时，求的范围.
数学答案
单选题 1.C 2.C 3.B 4.D 5.D 6.C 7. B 8.A
多选题 9.AC 10.CD 11.ABC 12.ACD
填空题 13. 14. 42 15. 16.
解答题
17.（1） 因为，均为锐角，所以．又，，所以，．所以
18.（1）由条件可知：，，，，；
（2）由第（1）问可知，，当时，，当时，，当时，，当时，，以上各式相加，得，，，，即；
（3）由第（1）、（2）问知，，，则，设数列的通项公式，前项和为，则，，两式相减，得，，数列的前项和.
19.（1）定义域为，当时，递减，无极值。当时，令递减，在递增，有极小值，综上，
当时，无极值；当时，有极小值，无极大值；
存在，.
假设存在实数使得有两个不同实根，（1）当时，在递减，所以不存在，（2）当令递减，在也有一个零点，（3）当，此时只有一个零点，（4）当，令递增，
在上也有一个零点，综上
20.（1）时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式，所以，
（2）当时，，原式成立．
当时， 所以．
21.
22.解：（1）的定义域为：，，
设，则，当时，；，，
所以，单调递增，又，所以上，上
所以，的减区间为，增区间为；
（2）①，，令，则令，，由，，，
所以，在递减；在递增.即：在递减；在递增.
又，所以，存在，使得，
从而有，在递减；在递增，在定义域内有唯一的零点.
②证明：，在递增，，
所以，，，
设，