2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题含解析

这是一份2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题  一、单选题1．如图所示的几何体是（    ）A．圆锥 B．棱锥 C．圆台 D．棱柱【答案】D【解析】分析几何体的结构，可得出合适的选项.【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱.故选：D.【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题.2．已知向量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据平面向量的坐标运算可求得的值.【详解】已知向量，，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题.3．圆C: x2+y2= 1的面积是（    ）A． B． C．π D．2π【答案】C【解析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积.【详解】由圆的方程知：圆C的半径为1，所以面积，故选：C【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】直接由古典概型的概率公式求解即可【详解】解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是,故选：A【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题5．要得到函数y=1+sin x的图象，只需将函数y=sin x的图象（    ）A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度【答案】A【解析】由函数图象平移原则即可知如何平移y=sin x的图象得到y=1+sin x的图象.【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y=sin x的图象向上平移1个单位可得y=1+sin x的图象，故选：A.【点睛】本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题.6．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则a4=（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】由已知可得通项公式，即可求a4的值.【详解】由题意an+1=2an可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，故可得数列的通项公式为，∴， 故选：B.【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题.7．已知函数，若f(0)=a，则f(a)=（    ）A．4 B．2 C． D．0【答案】C【解析】先由f(0)=a，可得，从而可求出f(a)的值【详解】解：因为f(0)=a，代入分段函数中可得，得，所以，故选：C【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题8．函数的最小正周期是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.【详解】，所以，函数的最小正周期为.故选：B.【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9．用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（    ）A．3cm2 B．6cm2 C．9cm2 D．12cm2【答案】C【解析】由已知可得，而矩形的面积，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【详解】设矩形的长、宽分别为 cm，则有，即，∵矩形的面积，∴ cm2，当且仅当时等号成立，故选：C【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题.10．已知定义在上的函数y =f(x)的图象如图所示.下述四个结论: ①函数y=f(x)的值域为②函数y=f(x)的单调递减区间为③函数y=f(x)仅有两个零点④存在实数a满足其中所有正确结论的编号是（    ）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【解析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与轴交点的个数可得其零点的个数，当时，可得【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于，所以①错误；由图像可知函数y=f(x)的单调递减区间为，所以②正确；由图像可知其图像与轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误；当时，有，所以④正确，故选：D【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题  二、填空题11．已知集合，若，则______________.【答案】【解析】由，得到是方程是方程的根，代入即可求解.【详解】由题意，集合，因为，所以，即是方程是方程的根，解得，当，可得集合,此时满足，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题.12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________【答案】【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可【详解】解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人，所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为，故答案为：【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题13．已知直线l1:y=x，l2:y=kx.若l1⊥l2，则k=______________.【答案】-1【解析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k值.【详解】由l1⊥l2，知：，故答案为：-1.【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题.14．已知等差数列{an}满足a1=1，a2=2，则{ an }的前5项和S5= __________.【答案】15【解析】由题意可得等差数列通项公式，结合可得前n项和公式，进而求即可.【详解】由等差数列{an}满足a1=1，a2=2，知：公差，∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为，∴由等差数列前n项和公式，即可得，故答案为：15.【点睛】本题考查了求等差数列前n项和，属于简单题.15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.【答案】【解析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)，所以，故答案：【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题 三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【答案】（1）25小时；（2）0.3.【解析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有、，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为，则众数为；（2）由图知：不少于30小时的区间有、，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题.17．如图所示，△ABC中，AB=AC=2，BC=2.
 （1）求内角B的大小;（2）设函数f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值.【答案】（1），（2）f(x)的最大值为2，此时【解析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值【详解】解：（1）因为△ABC中，AB=AC=2，BC=2.所以，因为，所以，（2）由（1）可知，所以当时，取最大值2，即【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题18．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F分别为BC，PC的中点.（1）求证: EF//平面PAB;（2）已知AB=AC=4，PA=6，求三棱锥F-AEC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】（1）连接有中位线，结合与面的关系，由线面平行的判定即可证面；（2）过作交于易知是三棱锥F-AEC的高，结合已知有即可求三棱锥F-AEC的体积.【详解】（1）连接，在△中为中位线，故，∵面，面∴面；（2）过作交于，如下图示：∵PA⊥平面ABC，∴⊥平面ABC，即是三棱锥F-AEC的高，又F为PC的中点，∴由PA=6，则，又AB=AC=4，E为BC的中点且AB⊥AC，知：，∴三棱锥F-AEC的体积.【点睛】本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题.19．已知函数，其中，且.（1）判断的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式对都成立，求a的取值范围;（3）设，直线与的图象交于两点，直线与的图象交于两点，得到四边形ABCD.证明:存在实数，使四边形为正方形.【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）利用函数的奇偶性做出判断;（2）对都成立，可求出a的范围（3）由，求出，由已知得到，求得得证.【详解】(1)    是偶函数,是偶函数（2）当时 满足题意，当时 不满足题意所以（3） 因为四边形为正方形，所以 ,设 则 ，又 故存在实数当使得四边形为正方形.【点睛】本题考查函数奇偶性、不等式求参数范围及利用函数图象交点判断方程有解，属于中档题.