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专题4.4有关概率的解答题专项训练30道（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典【苏科版】
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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题4.4有关概率的解答题专项训练30道（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共30题，解答30道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 ．
【分析】（1）画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，求解即可．
【解析】（1）画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
两次摸出的球都是红球的概率为；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，
两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
解法二：
若第一次摸到红球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
若第一次摸到白球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
所求概率为，
故答案为：．
解法三：
第一次取到白球的概率为，
即一个圆的，
第二次再取到白球的概率是将上面的（扇形）再分为3等份，取到的白球的概率是的，
即，
两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
2．（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到，两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】画树状图得：
共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为．
3．（2021•淮安）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．
4．（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ；
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，
两次取出小球标号的和等于5的概率为．
5．（2018•玄武区一模）甲、乙两名同学参加1000米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分，，三组进行比赛．
（1）甲同学恰好在组的概率是 ；
（2）求甲、乙两人至少有一人在组的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是类的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解析】（1）因为共有、、三组，而甲同学在组的只有1种结果，
所以甲同学恰好在组的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
可得一共有9种可能，甲、乙两人至少有一人在组的有5种，
所以甲、乙两人至少有一人在组的概率为．
6．（2021•常州）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形是菱形；②四边形有一个内角是直角；③四边形的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 ；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形一定是正方形的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，四边形一定是正方形的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，四边形一定是正方形的结果有4种，
四边形一定是正方形的概率为．
7．（2021•泰州）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 相同 （填“相同”或“不同” ；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
【分析】（1）两种抽取方式，结果是一样的，即可求解；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率相同，
故答案为：相同；
（2）把“泰宝”和“凤娃”两种吉祥物分别记为：、，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有8种，
抽到不同图案卡片的概率为．
8．（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
取出的2张卡片数字相同的概率为；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为．
9．（2021•盐城）圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 ；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
【分析】（1）由题意得出从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字6的只有1种结果，利用概率公式求解即可；
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【解析】（1）随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，
从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字6的只有1种结果，
从的小数部分随机取出一个数字，估计是数字6的概率为，
故答案为：；
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
共有12种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有6种结果，
其中有一幅是祖冲之的概率为．
10．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为、、，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，
两次抽取的卡片图案相同的概率为．
11．甲、乙两名同学分别从《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影中随机选择一部观看．
（1）甲同学选择《夺冠》的概率是 ；
（2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率．
【分析】（1）由有三部不同的电影，恰好选择《夺冠》的有1种情况，利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两人选择同一部电影的情况，再利用概率公式求解即可．
【解析】（1）甲同学选择《夺冠》的概率是．
故答案为：．
（2）《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影分别用、、表示，列树状图如下：
共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的有3种，
则甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率是．
12．（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）丙坐了一张座位，
甲坐在①号座位的概率是；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，
甲与乙相邻而坐的概率为．
13．（2021•苏州）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用列表法列举出所有可能，进而利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【解析】（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：
0
1
3
0
1
3
1
2
2
3
5
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率乙获胜的概率，
此游戏公平．
14．（2021•秦淮区二模）在4张完全一样的纸条上分别写上1、2、3、4，做成4支签，放入一个不透明的盒子中搅匀．甲先从中任意抽出1支签，不放回，乙再从剩余的签中任意抽出1支．
（1）甲抽到写着数字“1”的签的概率是 ．
（2）乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同吗？请通过计算说明．
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）所有等可能的情况有12种，满足乙抽到写着数字“1”的签（记为事件的结果有3种，利用概率公式求解即可．
【解析】（1）支签上只有1只写有1，
甲抽到写着数字“1”的签的概率是．
故答案为：；
（2）甲、乙两人依次从中任意抽出1支签，所有可能出现的结果共有12种，
即、、、、、、、、、、、，它们是等可能的．
所有的结果中，满足乙抽到写着数字“1”的签（记为事件的结果有3种，
即、、．
所以（A）．
所以，乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同．
15．（2020•高淳区二模）在课外活动时间，小明、小华、小丽做“互相传球”游戏（球从一人随机传给另一人），球从一人传到另一人就记为1次传球．现从小明开始传球．
（1）经过3次传球后，求球仍传到小明处的概率；
（2）经过5次传球后，球传到 小华或小丽 处的可能性最大，概率是 ．
【分析】（1）用树状图表示所有可能出现的结果，再根据概率的意义进行计算即可；
（2）列举出所有可能出现的结果情况，分别求出小明、小华、小丽经过5次传球后回到自己手中的概率，得出答案．
【解析】（1）用，，分别表示小明，小华，小丽，用树状图分析如下：
经过3次传球后，共有8种可能出现的结果，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足“第3次球仍传到小明处”（记为事件的结果有2种，
所以球仍传到小明处的概率，
答：经过3次传球后，球仍传到小明处的概率为；
（2）由（1）中的树状图可知，经过5次传球后，共有32种可能出现的结果，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，
满足“第5次球仍传到小明处”（记为事件的结果有10种，
满足“第5次球仍传到小华处”（记为事件的结果有11种，
满足“第5次球仍传到小丽处”（记为事件的结果有11种，
所以球仍传到小明处的概率，
球仍传到小明处的概率，
球仍传到小明处的概率，
所以经过5次传球后，球传到小华或小丽处的可能性最大，概率是，
故答案为：小华或小丽，．
16．（2019•秦淮区校级模拟）在边长为4的正方形平面内，建立如图1所示的平面直角坐标系．学习小组做如下实验：
连续转动分布均匀的转盘（如图两次，指针所指的数字作为直角坐标系中点的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标）．
（1）转盘转动共能得到 36 个不同点，点落在正方形边上的概率是 ；
（2）求点落在正方形外部的概率．
【分析】（1）根据题意先列出图表，得出转盘转动共能得到的不同的点数和点落在正方形边上的点数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据图表得出总点数和落在正方形外部的点数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）列表如下：
1
2
3
1
2
3
根据图表可得：转盘转动共能得到36个不同点，点落在正方形边上的有12个，
则点落在正方形边上的概率是；
故答案为：36，；
（2）根据图表得出：共有36个点，其中落在正方形外部的点共有20个，
则点落在正方形外部的概率是：．
17．（2019春•南京期末）如图，一个圆形转盘被平均分成8个小扇形．请在这8个小扇形中分别写上数字1、2、3，任意转动转盘，使得转盘停止转动后，“指针落在数字1的区域”的可能性最大，且“指针落在数字2的区域”的可能性与“指针落在数字3的区域”的可能性相同．
【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比标出数字即可，答案不唯一．
【解析】答案不唯一，如下图：
这样标出“指针落在数字1的区域”的可能性最大，且“指针落在数字2的区域”的可能性与“指针落在数字3的区域”的可能性相同．
18．（2019春•溧水区期中）不透明布袋①、②、③中都装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都相同，充分搅匀．
（1）若布袋①中红球30个，黄球10个；布袋②中红球4个，黄球16个；布袋③中红球数与黄球数的比是．那么从三个袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是布袋 ① （填序号）；
（2）若布袋②中有4个红球，个黄球，请写出一个的值，使得“从布袋②中一次摸出5个球，都是黄球”这一事件是不可能事件；
（3）若布袋③中有2个红球，3个黄球．我们知道“从布袋③中一次摸出3个球，至少有一个是黄球”这一事件是必然事件．
请你模仿这个表述，设计一个关于摸球的随机事件： ．
【分析】（1）根据概率公式分别计算出从布袋①、②、③中摸出一个球是红球的可能性大小，从而得出答案；
（2）由“袋中黄球的个数小于5个时，一次摸出5个球，都是黄球”这一事件是不可能事件可得答案；
（3）根据随机事件的概念求解即可．
【解析】（1）布袋①中摸出红球的可能性为，布袋②中摸出红球的可能性为，布袋③中摸出红球的可能性为，
摸到红球可能性最大的是布袋①，
故答案为：①；
（2）根据题意当袋中黄球的个数小于5个时，一次摸出5个球，都是黄球”这一事件是不可能事件，
所以的值为1或2或3或4；
（3）“从布袋③中一次摸出两个球，一个球是黄球，一个球是红球”这一事件是随机事件，
故答案为：“从布袋③中一次摸出两个球，一个球是黄球，一个球是红球”这一事件是随机事件（答案不唯一）．
19．（2021春•秦淮区期中）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是 ①②③ （填写序号）．
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；
（2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【解析】（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；
②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①②③．
（2）将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
20．（2021春•徐州期中）一个不透明的袋中装有1个黄球、2个黑球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．
（1）我认为摸到 红 颜色的球的概率最大；
（2）怎样改变袋子中黄球、黑球和红球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？
【分析】（1）那种球的数量最多，摸到那种球的概率就大；
（2）使得球的数量相同即可得到概率相同．
【解析】（1）袋子中红球的数量最多，所以摸到红球的概率最大；
故答案为：红；
（2）只需使袋子中三种颜色球的数量相等，即放入2个黄球，1个黑球（答案不唯一）．
21．（2020春•无锡期中）由于“新冠疫情”，小红响应国家号召，减少不必要的外出，打算选择一家快餐店订外卖．他借助网络评价，选择了、、三家快餐店，对每家快餐店随机选择1000条网络评价统计如表：
等级
评价条数
快餐店
五星
四星
三星及三星以下
合计
412
388
1000
420
390
190
1000
405
375
220
1000
（1）求值．
（2）当客户给出评价不低于四星时，称客户获得良好用餐体验．请你为小红从、、中推荐一家快餐店，使得能获得良好用餐体验可能性最大．写出你推荐的结果，并说明理由．
【分析】（1）用1000减去五星和四星的条数，即可得出的值；
（2）根据概率公式先求出、、获得良好用餐体验的可能性，再进行比较即可得出答案．
【解析】（1）（条；
（2）推荐从家快餐店订外卖．
从样本看，家快餐店获得良好用餐体验的比例为，
家快餐店获得良好用餐体验的比例为，
家快餐店获得良好用餐体验的比例为，
家快餐店获得良好用餐体验的比例最高，
由此估计，家快餐店获得良好用餐体验的比例最高．
22．（2020春•江阴市期中）如图，在的正方形网格中，点、、、、、都是格点．
（1）从、、、四点中任意取一点，以这点及点、为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
（2）从、、、四点中任意取两点，以这两点及点、为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
【分析】（1）根据从、、、四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；
（2）利用树状图得出从、、、四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点、、、为顶点及以、、、为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．
【解析】（1）根据从、、、四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取点时，所画三角形是等腰三角形，
故（所画三角形是等腰三角形）；
（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
以点、、、为顶点及以、、、为顶点所画的四边形是平行四边形，
所画的四边形是平行四边形的概率．
23．（2020春•洪泽区期中）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球5个，黄球2个，小明将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）会有哪些可能的结果？
（2）若从中任意摸出一个球是白球的概率为0.5，求口袋中红球的个数．
【分析】（1）根据口袋里只装有红、白、黄三种颜色的乒乓球，所以从中任意摸出一个球，有红、白、黄三种结果；
（2）设口袋中红球的个数有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可．
【解析】（1）有红、白、黄三种结果；
（2）设口袋中红球的个数有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：袋中有3个红球．
24．（2018秋•溧水区期末）2018年“我要上春晚”进入决赛阶段，最终将有甲、乙、丙、丁4名选手进行决赛的终极较量，决赛分3期进行，每期比赛淘汰1名选手，最终留下的歌手即为冠军．假设每位选手被淘汰的可能性都相等．
（1）甲在第1期比赛中被淘汰的概率为 ；
（2）求甲在第2期被淘汰的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲在第2期被淘汰的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【解析】（1）共有甲、乙、丙、丁4名歌手进入决赛，决赛分3期进行，每期比赛淘汰1名歌手，
甲在第1期比赛中被淘汰的概率为：；
故答案为：；
（2）画出树状图得：所有可能的结果用树状图表示如下：
共有12种等可能的结果，其中甲在第二期被淘汰的结果有3种，
（甲在第二期被淘汰）；
25．（2019春•广陵区校级期中）某公司的一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下：
抽检件数
50
100
200
300
400
500
次品件数
0
4
16
19
24
30
（1）请结合表格数据直接写出这批衬衣中任抽1件是次品的概率．
（2）如果销售这批衬衣600件，至少要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客退换？
【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率；
（2）需要准备调换的正品衬衣数销售的衬衫数次品的概率，依此计算即可．
【解析】（1）抽查总体数，
次品件数，
这批衬衣中任抽1件是次品的概率为．
（2）根据（1）的结论：这批衬衣中任抽1件是次品的概率为0.06，
则（件．
答：准备36件正品衬衣供顾客调换．
26．（2018春•新城区期末）某校在汉字听写大赛活动中需要一名主持人小丽和小芳都想当主持人，小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示游戏规定：随意转动转盘，若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有赢的机会，本题中只要计算出指针指到2和指针指到3概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【解析】不会同意．
因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性是，而小丽去的可能性是，所以游戏不公平．
27．（2021•连云港）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 ；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【解析】（1）已确定甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中乙的只有1种，
恰好选中乙的概率为：．
故答案为：．
（2）画树状图如下图：
共有12种等可能的结果数，其中恰好有1名女生和1名男生的结果数为8，
女1男）．
所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．
28．（2020•无锡）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解析】（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．
29．（2020•无锡）某校举行辩论赛，现初三（1）班要从3名男生、2名女生中选送学生参加比赛．
（1）若选送1名学生参赛，则男生被选中的概率为 ；
（2）若选送2名学生参赛，求选出的恰好是1位男生、1位女生的概率（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和恰好是1位男生、1位女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）初三（1）班要从3名男生、2名女生中选送学生参加比赛，
男生被选中的概率为．
故答案为：．
（2）作出树状图如下图所示：
共有20种等可能的情况数，其中选出的恰好是1位男生、1位女生的有12种，
则选出的恰好是1位男生、1位女生的概率是．
30．（2020•南通）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．
请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
【分析】（1）假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数；
（2）分别求出两人坐到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案．
【解析】（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；
（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是；
所以两人坐到甲车的可能性一样．
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题4.4有关概率的解答题专项训练30道（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共30题，解答30道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 ．
【分析】（1）画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，求解即可．
【解析】（1）画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
两次摸出的球都是红球的概率为；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，
两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
解法二：
若第一次摸到红球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
若第一次摸到白球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
所求概率为，
故答案为：．
解法三：
第一次取到白球的概率为，
即一个圆的，
第二次再取到白球的概率是将上面的（扇形）再分为3等份，取到的白球的概率是的，
即，
两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
2．（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到，两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】画树状图得：
共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为．
3．（2021•淮安）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．
4．（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ；
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，
两次取出小球标号的和等于5的概率为．
5．（2018•玄武区一模）甲、乙两名同学参加1000米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分，，三组进行比赛．
（1）甲同学恰好在组的概率是 ；
（2）求甲、乙两人至少有一人在组的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是类的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解析】（1）因为共有、、三组，而甲同学在组的只有1种结果，
所以甲同学恰好在组的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
可得一共有9种可能，甲、乙两人至少有一人在组的有5种，
所以甲、乙两人至少有一人在组的概率为．
6．（2021•常州）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形是菱形；②四边形有一个内角是直角；③四边形的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 ；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形一定是正方形的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，四边形一定是正方形的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，四边形一定是正方形的结果有4种，
四边形一定是正方形的概率为．
7．（2021•泰州）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 相同 （填“相同”或“不同” ；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
【分析】（1）两种抽取方式，结果是一样的，即可求解；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率相同，
故答案为：相同；
（2）把“泰宝”和“凤娃”两种吉祥物分别记为：、，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有8种，
抽到不同图案卡片的概率为．
8．（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
取出的2张卡片数字相同的概率为；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为．
9．（2021•盐城）圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 ；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
【分析】（1）由题意得出从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字6的只有1种结果，利用概率公式求解即可；
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【解析】（1）随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，
从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字6的只有1种结果，
从的小数部分随机取出一个数字，估计是数字6的概率为，
故答案为：；
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
共有12种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有6种结果，
其中有一幅是祖冲之的概率为．
10．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为、、，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，
两次抽取的卡片图案相同的概率为．
11．甲、乙两名同学分别从《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影中随机选择一部观看．
（1）甲同学选择《夺冠》的概率是 ；
（2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率．
【分析】（1）由有三部不同的电影，恰好选择《夺冠》的有1种情况，利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两人选择同一部电影的情况，再利用概率公式求解即可．
【解析】（1）甲同学选择《夺冠》的概率是．
故答案为：．
（2）《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影分别用、、表示，列树状图如下：
共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的有3种，
则甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率是．
12．（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）丙坐了一张座位，
甲坐在①号座位的概率是；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，
甲与乙相邻而坐的概率为．
13．（2021•苏州）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用列表法列举出所有可能，进而利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【解析】（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：
0
1
3
0
1
3
1
2
2
3
5
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率乙获胜的概率，
此游戏公平．
14．（2021•秦淮区二模）在4张完全一样的纸条上分别写上1、2、3、4，做成4支签，放入一个不透明的盒子中搅匀．甲先从中任意抽出1支签，不放回，乙再从剩余的签中任意抽出1支．
（1）甲抽到写着数字“1”的签的概率是 ．
（2）乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同吗？请通过计算说明．
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）所有等可能的情况有12种，满足乙抽到写着数字“1”的签（记为事件的结果有3种，利用概率公式求解即可．
【解析】（1）支签上只有1只写有1，
甲抽到写着数字“1”的签的概率是．
故答案为：；
（2）甲、乙两人依次从中任意抽出1支签，所有可能出现的结果共有12种，
即、、、、、、、、、、、，它们是等可能的．
所有的结果中，满足乙抽到写着数字“1”的签（记为事件的结果有3种，
即、、．
所以（A）．
所以，乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同．
15．（2020•高淳区二模）在课外活动时间，小明、小华、小丽做“互相传球”游戏（球从一人随机传给另一人），球从一人传到另一人就记为1次传球．现从小明开始传球．
（1）经过3次传球后，求球仍传到小明处的概率；
（2）经过5次传球后，球传到 小华或小丽 处的可能性最大，概率是 ．
【分析】（1）用树状图表示所有可能出现的结果，再根据概率的意义进行计算即可；
（2）列举出所有可能出现的结果情况，分别求出小明、小华、小丽经过5次传球后回到自己手中的概率，得出答案．
【解析】（1）用，，分别表示小明，小华，小丽，用树状图分析如下：
经过3次传球后，共有8种可能出现的结果，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足“第3次球仍传到小明处”（记为事件的结果有2种，
所以球仍传到小明处的概率，
答：经过3次传球后，球仍传到小明处的概率为；
（2）由（1）中的树状图可知，经过5次传球后，共有32种可能出现的结果，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，
满足“第5次球仍传到小明处”（记为事件的结果有10种，
满足“第5次球仍传到小华处”（记为事件的结果有11种，
满足“第5次球仍传到小丽处”（记为事件的结果有11种，
所以球仍传到小明处的概率，
球仍传到小明处的概率，
球仍传到小明处的概率，
所以经过5次传球后，球传到小华或小丽处的可能性最大，概率是，
故答案为：小华或小丽，．
16．（2019•秦淮区校级模拟）在边长为4的正方形平面内，建立如图1所示的平面直角坐标系．学习小组做如下实验：
连续转动分布均匀的转盘（如图两次，指针所指的数字作为直角坐标系中点的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标）．
（1）转盘转动共能得到 36 个不同点，点落在正方形边上的概率是 ；
（2）求点落在正方形外部的概率．
【分析】（1）根据题意先列出图表，得出转盘转动共能得到的不同的点数和点落在正方形边上的点数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据图表得出总点数和落在正方形外部的点数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）列表如下：
1
2
3
1
2
3
根据图表可得：转盘转动共能得到36个不同点，点落在正方形边上的有12个，
则点落在正方形边上的概率是；
故答案为：36，；
（2）根据图表得出：共有36个点，其中落在正方形外部的点共有20个，
则点落在正方形外部的概率是：．
17．（2019春•南京期末）如图，一个圆形转盘被平均分成8个小扇形．请在这8个小扇形中分别写上数字1、2、3，任意转动转盘，使得转盘停止转动后，“指针落在数字1的区域”的可能性最大，且“指针落在数字2的区域”的可能性与“指针落在数字3的区域”的可能性相同．
【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比标出数字即可，答案不唯一．
【解析】答案不唯一，如下图：
这样标出“指针落在数字1的区域”的可能性最大，且“指针落在数字2的区域”的可能性与“指针落在数字3的区域”的可能性相同．
18．（2019春•溧水区期中）不透明布袋①、②、③中都装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都相同，充分搅匀．
（1）若布袋①中红球30个，黄球10个；布袋②中红球4个，黄球16个；布袋③中红球数与黄球数的比是．那么从三个袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是布袋 ① （填序号）；
（2）若布袋②中有4个红球，个黄球，请写出一个的值，使得“从布袋②中一次摸出5个球，都是黄球”这一事件是不可能事件；
（3）若布袋③中有2个红球，3个黄球．我们知道“从布袋③中一次摸出3个球，至少有一个是黄球”这一事件是必然事件．
请你模仿这个表述，设计一个关于摸球的随机事件： ．
【分析】（1）根据概率公式分别计算出从布袋①、②、③中摸出一个球是红球的可能性大小，从而得出答案；
（2）由“袋中黄球的个数小于5个时，一次摸出5个球，都是黄球”这一事件是不可能事件可得答案；
（3）根据随机事件的概念求解即可．
【解析】（1）布袋①中摸出红球的可能性为，布袋②中摸出红球的可能性为，布袋③中摸出红球的可能性为，
摸到红球可能性最大的是布袋①，
故答案为：①；
（2）根据题意当袋中黄球的个数小于5个时，一次摸出5个球，都是黄球”这一事件是不可能事件，
所以的值为1或2或3或4；
（3）“从布袋③中一次摸出两个球，一个球是黄球，一个球是红球”这一事件是随机事件，
故答案为：“从布袋③中一次摸出两个球，一个球是黄球，一个球是红球”这一事件是随机事件（答案不唯一）．
19．（2021春•秦淮区期中）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是 ①②③ （填写序号）．
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；
（2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【解析】（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；
②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①②③．
（2）将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
20．（2021春•徐州期中）一个不透明的袋中装有1个黄球、2个黑球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．
（1）我认为摸到 红 颜色的球的概率最大；
（2）怎样改变袋子中黄球、黑球和红球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？
【分析】（1）那种球的数量最多，摸到那种球的概率就大；
（2）使得球的数量相同即可得到概率相同．
【解析】（1）袋子中红球的数量最多，所以摸到红球的概率最大；
故答案为：红；
（2）只需使袋子中三种颜色球的数量相等，即放入2个黄球，1个黑球（答案不唯一）．
21．（2020春•无锡期中）由于“新冠疫情”，小红响应国家号召，减少不必要的外出，打算选择一家快餐店订外卖．他借助网络评价，选择了、、三家快餐店，对每家快餐店随机选择1000条网络评价统计如表：
等级
评价条数
快餐店
五星
四星
三星及三星以下
合计
412
388
1000
420
390
190
1000
405
375
220
1000
（1）求值．
（2）当客户给出评价不低于四星时，称客户获得良好用餐体验．请你为小红从、、中推荐一家快餐店，使得能获得良好用餐体验可能性最大．写出你推荐的结果，并说明理由．
【分析】（1）用1000减去五星和四星的条数，即可得出的值；
（2）根据概率公式先求出、、获得良好用餐体验的可能性，再进行比较即可得出答案．
【解析】（1）（条；
（2）推荐从家快餐店订外卖．
从样本看，家快餐店获得良好用餐体验的比例为，
家快餐店获得良好用餐体验的比例为，
家快餐店获得良好用餐体验的比例为，
家快餐店获得良好用餐体验的比例最高，
由此估计，家快餐店获得良好用餐体验的比例最高．
22．（2020春•江阴市期中）如图，在的正方形网格中，点、、、、、都是格点．
（1）从、、、四点中任意取一点，以这点及点、为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
（2）从、、、四点中任意取两点，以这两点及点、为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
【分析】（1）根据从、、、四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；
（2）利用树状图得出从、、、四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点、、、为顶点及以、、、为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．
【解析】（1）根据从、、、四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取点时，所画三角形是等腰三角形，
故（所画三角形是等腰三角形）；
（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
以点、、、为顶点及以、、、为顶点所画的四边形是平行四边形，
所画的四边形是平行四边形的概率．
23．（2020春•洪泽区期中）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球5个，黄球2个，小明将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）会有哪些可能的结果？
（2）若从中任意摸出一个球是白球的概率为0.5，求口袋中红球的个数．
【分析】（1）根据口袋里只装有红、白、黄三种颜色的乒乓球，所以从中任意摸出一个球，有红、白、黄三种结果；
（2）设口袋中红球的个数有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可．
【解析】（1）有红、白、黄三种结果；
（2）设口袋中红球的个数有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：袋中有3个红球．
24．（2018秋•溧水区期末）2018年“我要上春晚”进入决赛阶段，最终将有甲、乙、丙、丁4名选手进行决赛的终极较量，决赛分3期进行，每期比赛淘汰1名选手，最终留下的歌手即为冠军．假设每位选手被淘汰的可能性都相等．
（1）甲在第1期比赛中被淘汰的概率为 ；
（2）求甲在第2期被淘汰的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲在第2期被淘汰的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【解析】（1）共有甲、乙、丙、丁4名歌手进入决赛，决赛分3期进行，每期比赛淘汰1名歌手，
甲在第1期比赛中被淘汰的概率为：；
故答案为：；
（2）画出树状图得：所有可能的结果用树状图表示如下：
共有12种等可能的结果，其中甲在第二期被淘汰的结果有3种，
（甲在第二期被淘汰）；
25．（2019春•广陵区校级期中）某公司的一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下：
抽检件数
50
100
200
300
400
500
次品件数
0
4
16
19
24
30
（1）请结合表格数据直接写出这批衬衣中任抽1件是次品的概率．
（2）如果销售这批衬衣600件，至少要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客退换？
【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率；
（2）需要准备调换的正品衬衣数销售的衬衫数次品的概率，依此计算即可．
【解析】（1）抽查总体数，
次品件数，
这批衬衣中任抽1件是次品的概率为．
（2）根据（1）的结论：这批衬衣中任抽1件是次品的概率为0.06，
则（件．
答：准备36件正品衬衣供顾客调换．
26．（2018春•新城区期末）某校在汉字听写大赛活动中需要一名主持人小丽和小芳都想当主持人，小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示游戏规定：随意转动转盘，若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有赢的机会，本题中只要计算出指针指到2和指针指到3概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【解析】不会同意．
因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性是，而小丽去的可能性是，所以游戏不公平．
27．（2021•连云港）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 ；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【解析】（1）已确定甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中乙的只有1种，
恰好选中乙的概率为：．
故答案为：．
（2）画树状图如下图：
共有12种等可能的结果数，其中恰好有1名女生和1名男生的结果数为8，
女1男）．
所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．
28．（2020•无锡）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解析】（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．
29．（2020•无锡）某校举行辩论赛，现初三（1）班要从3名男生、2名女生中选送学生参加比赛．
（1）若选送1名学生参赛，则男生被选中的概率为 ；
（2）若选送2名学生参赛，求选出的恰好是1位男生、1位女生的概率（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和恰好是1位男生、1位女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）初三（1）班要从3名男生、2名女生中选送学生参加比赛，
男生被选中的概率为．
故答案为：．
（2）作出树状图如下图所示：
共有20种等可能的情况数，其中选出的恰好是1位男生、1位女生的有12种，
则选出的恰好是1位男生、1位女生的概率是．
30．（2020•南通）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．
请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
【分析】（1）假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数；
（2）分别求出两人坐到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案．
【解析】（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；
（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是；
所以两人坐到甲车的可能性一样．
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