专题2.13 第2章 对称图形—圆单元测试（培优提升卷）-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典【苏科版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

专题2.13对称图形—圆单元测试（培优提升卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共28题，选择10道．填空8道、解答10道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021春•兴化市期末）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是　　

A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定

【分析】根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）．

【解析】，

点与的位置关系是点在圆外．

故选：．

2．（2021秋•邗江区校级月考）下列语句中，正确的有　　

①相等的圆心角所对的弧相等；

②等弦对等弧；

③长度相等的两条弧是等弧；

④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．

【解析】①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．

②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．

③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．

④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．

故选：．

3．（2021•迁西县模拟）如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知交矩形的边于点，，已知，则球的半径长为　　

A． B． C． D．

【分析】由题意得与相切，记切点为，作直线，分别交、劣弧于点、，连接，易求得的长，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得，解此方程即可求得答案．

【解析】由题意得：与相切，记切点为，作直线，分别交、劣弧于点、，连接，如图所示：

四边形是矩形，

，

，

，

，

设的半径为，则，

在中，由勾股定理得：，

解得：，

即球的半径长为，

故选：．

4．（2021•温州二模）如图，为的外接圆的直径，若，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】连接，根据圆周角定理的推论得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理解答即可．

【解析】连接，

为的外接圆的直径，

，

，

，

由圆周角定理得，，

故选：．

5．（2020秋•柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是　　

A． B． C． D．

【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．

【解析】根据垂径定理的推论，如图，

作弦、的垂直平分线，

交点即为三角形外接圆的圆心，

且坐标是．

故选：．

6．（2021•阜宁县二模）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】先根据已知条件推出，则，再根据圆内接四边形互补，得到，即求出的度数

【解析】为中点，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故选：．

7．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为，则圆的面积约为正方形面积的　　

A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍

【分析】根据圆的直径与正方形的对角线之比为，设圆的直径，表示出正方形的对角线的长，再分别表示圆、正方形的面积即可．

【解析】设，因为，

所以，，

因此正方形的面积为，

圆的面积为，

所以圆的面积是正方形面积的（倍，

故选：．

8．（2021•盐都区二模）如图，在扇形中，于点，，将绕点点逆时针旋转，则线段扫过的图形面积为　　

A． B． C． D．

【分析】由于绕旋转到△，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．

【解析】如图，在扇形中，于点，，

，

在中，，

绕旋转到△，

△，

，

，，

．

故选：．

9．（2021•迁西县模拟）如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意和扇形面积计算公式、三角形的面积公式，可以计算出图中阴影部分的面积，本题得以解决．

【解析】由已知可得，，，

弓形的面积是：，

阴影部分的面积是：，

故选：．

10．（2021•石家庄模拟）如图，、两地相距，它们之间有一半径为的圆形绿地，绿地圆心位于连线的中点处，分别过、作的切线相交于，切点分别为、．现规划两条驾车路径：①；②（沿，则下列说法正确的是　　

A．①较长 B．②较长 C．①②一样长 D．以上皆有可能

【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即与的大小即可．

【解析】如图，①，所走的路程为：

；

②（沿，所走的路程为：

；

连接、、，如图：

，是的切线，切点分别为、，

，，

，

，，

，

，

，

即①②．

故选：．

二．填空题（共8小题）

11．（2021秋•邗江区月考）的半径为，若，则的中点在　上　．

【分析】先利用线段中点定义得到，然后比较与半径的大小即可判断点与的位置关系．

【解析】线段的长为，点为线段的中点，

，

而的半径为，

圆的半径，

点在上．

故答案为上．

12．（2021春•射阳县校级期末）如图，点、、、在上，，则　　（填“”“ ”或“” ．

【分析】根据同圆与等圆中，圆心角、弦、弧的关系得出即可．

【解析】，

，

即，

，

故答案为：．

13．（2020秋•亭湖区校级期末）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 　5　．

【分析】根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形的斜边等于其外接圆的直径可得这个三角形的外接圆的半径．

【解析】直角三角形的两条直角边长分别为6和8，

直角三角形的斜边，

所以这个三角形的外接圆的半径，

故答案为：5．

14．（2021•江都区一模）如图，四边形是的内接四边形，若，，，．则的长为 　　．

【分析】延长、交于，根据圆内接四边形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，，根据正弦的定义求出，进而得到答案．

【解析】延长、交于，

四边形是的内接四边形，，，

，，

，，

在中，，即，

解得：，

则，

，

故答案为：．

15．（2021•亭湖区一模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆经过点，过点作直线，使．若，，求图中阴影部分的面积　　．

【分析】连接，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可求得，然后根据求得即可．

【解析】连接．

，

，

，，

，

，

在中，，，

，，

，

故答案为．

16．（2021•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为 　2　．

【分析】利用扇形的弧长公式求得弧长，然后利用底面周长等于弧长列式求得底面半径即可．

【解析】扇形的圆心角为，母线长为，

扇形的弧长为，

设圆锥的底面半径为，

则，

解得：，

故答案为2．

17．（2021•泰州）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，与轴相切，点在轴正半轴上，与相切于点．若，则点的坐标为 　　．

【分析】连接，过点分别作轴、轴，利用根据圆的切线性质可知、为直角三角形，，利用直角三角形中角的性质和勾股定理分别求出、的长度，进而求出、的长度即可求得答案．

【解析】过点分别作轴于点、轴于点，连接，

当点在点是上方时，如图，

轴，轴，

四边形为矩形，

，，

与轴相切，

为的半径，

点坐标为，

，，

是切线，

，

，

，

在中，根据勾股定理得，

，

，

点在轴的正半轴上，

点坐标为，

故答案为：．

18．（2020秋•阜宁县期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 　18　．

【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．

【解析】连接，

，

，

，

，

若要使取得最小值，则需取得最小值，

连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，

过点作轴于点，

则，，

，

又，

，

，

故答案是：18．

三．解答题（共8小题）

19．（2020秋•延边州期末）如图，在平面直角坐标系中，、、．

（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为　　；

（2）这个圆的半径为　　；

（3）直接判断点与的位置关系．点在　　（填内、外、上）．

【分析】（1），利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；

（2）利用两点间的距离公式计算出即可；

（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．

【解析】（1）如图，圆心的坐标为；

（2），，

，

即的半径为；

（3），，

，

，

点在内．

故答案为；；内．

20．（2021•秦淮区二模）如图，的弦、相交于点，且．求证．

【分析】连接，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．

【解答】证明：连接．

，

，即，

，

．

21．（2021•兴平市一模）如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．

（1）请证明：是的中点；

（2）若，求的长．

【分析】（1）要证明：是的中点，只要求证，即证明即可．

（2）在直角中，根据勾股定理就可以解得的长，进而求出的长．

【解答】（1）证明：连接，如图

直径垂直于弦于点，

，

，

过圆心的线，

，即是的中垂线，

，

．

即：是等边三角形，

，

在中，，

，

点为的中点；

（2）解：在中，，

，

又，

，

，

．

22．（2021•滨海县二模）如图，是半圆的直径，、是半圆上不同于、的两点，与相交于点，是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．

（1）若，证明：；

（2）若，，求的度数．

【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据直角全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，再根据直角三角形两锐角的关系证得即可得到结果．

【解答】（1）证明：是的直径，

，

在与中，

，

；

（2）解：，

，

是半圆所在圆的切线，

，

，

由（1）知，

，

，

，

，，

，

，

．

23．（2020秋•招远市期末）已知经过四边形的、两点，并与四条边分别交于点、、、，且．

（1）如图①，连接，若是的直径，求证：；

（2）如图②，若的度数为，，，请直接写出、和之间的数量关系．

【分析】（1）连接，．理由等角的余角相等证明即可．

（2）利用三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理解决问题即可．

【解析】（1）连接、．

是的直径，

，

，

，

，

，

．

（2）结论：．

理由：如图②中，连接，．

，

，

，，

，

，，

，

．

24．（2020•江都区三模）如图，在中，，以为直径的交于点，点为的中点，连接、．

（1）求证：；

（2）若，，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接，根据圆周角定理、直角三角形的性质证明；

（2）根据扇形面积公式计算即可．

【解答】（1）证明：连接．

是的直径，

，

，

点是的中点，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2），，

，

阴影部分的面积

．

25．（2021•工业园区校级模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，是半径上一动点，连接并延长交于，过点作圆的切线交的延长线于，已知．

（1）求证：；

（2）若，求长；

（3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积．

【分析】（1）连接，由切线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，即可得出结论；

（2）设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解法长即可；

（3）过点作交的延长线于，当时，，得出，，，当时，，，即可得出结果．

【解答】（1）证明：连接，如图1所示：

是的切线，

，

，

，

、是的两条半径，

，

，

，

，

；

（2）解：，，

，

设，

，

，

，

，

，

即：，

解得：，

；

（3）解：过点作交的延长线于，如图2所示：

当时，，

，，

，

当时，，

，，

，

当从增大到的过程中，在圆内扫过的面积．

26．（2020秋•仪征市期中）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

（1）如图1，点在线段上，，．求证：点是的准外心；

（2）如图2，在中，，，，的准外心在的直角边上，试求的长．

【分析】（1）利用全等证明，由定义可知点是的准外心；

（2）先利用勾股定理计算，再进行讨论：当点在上，和当点在上，，易得对应的值；当点在上，，如图2，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程得到即此时的长．

【解答】（1）证明：，

，，

，

在和中，

，

，

，

点是的准外心；

（2）解：，，，

，

当点在上，，则；

当点在上，，则，

当点在上，，如图2，

设，则，

在中，，解得，

即此时，

综上所述，的长为或2或．