专题1.10一元二次方程的应用：传播比赛数字问题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典【苏科版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

专题1.10一元二次方程的应用：传播比赛数字问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•苏州模拟）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（　　）

A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242 

C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242

【分析】根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：2（1+x）2＝242．

故选：C．

2．（2020秋•东海县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（　　）

A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91

【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．

【解析】设每个支干长出x个小分支，

根据题意列方程得：x2+x+1＝91．

故选：A．

3．（2021•南通模拟）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　）

A．1+x＝225 B．1+x2＝225 

C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225

【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程即可．

【解析】设1人平均感染x人，

依题意可列方程：（1+x）2＝225．

故选：C．

4．（2020•游仙区模拟）有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（　　）

A．14 B．15 C．16 D．25

【分析】根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225，列出方程求解即可．

【解析】设平均每天一人传染了x人，

根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，

（1+x）2＝225，

解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．

答：平均每天一人传染了14人．

故选：A．

5．（2019秋•绥德县期末）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 

C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28

【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，

根据题意得：x（x﹣1）＝4×7，

即x（x﹣1）＝28．

故选：D．

6．（2021•河南一模）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（　　）

A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931

【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有931人参与列出方程即可．

【解析】由题意，得

n2+n+1＝931，

故选：C．

7．（2020•武汉模拟）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（　　）

A．10 B．50 C．55 D．45

【分析】设每轮传染中每人传染x人，根据经过两轮传染后共有605人患流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，取其正值代入（5+5x）中即可求出结论．

【解析】设每轮传染中每人传染x人，

依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，

整理，得：x2+2x﹣120＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去），

∴5+5x＝55．

故选：C．

8．（2020春•沙坪坝区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】根据在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】依题意，得：1+x+x2＝43，

整理，得：x2+x﹣42＝0，

解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：C．

9．（2019秋•大渡口区期末）为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】依题意，得：1+n+n2＝111，

解得：n1＝10，n2＝﹣11．

故选：B．

10．（2019秋•南充期末）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　）

A．6个 B．8个 C．9个 D．12个

【分析】设有x个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案．

【解析】设有x个队参赛，

根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，

解得：x＝9或x＝﹣8（舍去），

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　12　个人．

【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．

【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

x+1+（x+1）x＝169

x＝12或x＝﹣14（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．

故答案为：12．

12．（2019秋•海陵区校级期末）某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x人，则关于x的方程为　（1+x）2＝121　．

【分析】等量关系为：1+第一轮传染的人数+第二轮传染的人数＝121，把相关数值代入即可求得所求方程．

【解析】∵1人患流感，一个人传染x人，

∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；

∴第二轮传染的人数为（1+x）x，此时患病总人数为1+x+（1+x）x，

∵经过两轮传染后共有121人患了流感，

∴可列方程为：（1+x）2＝121．

故答案为：（1+x）2＝121．

13．（2020春•哈尔滨期末）哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为　x（x﹣1）＝21　．

【分析】根据赛制为单循环形式且共安排了21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝21．

故答案为：x（x﹣1）＝21．

14．（2019秋•抚州期末）九年级8班第一小组x名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则x的值是　6　．

【分析】由8班第一小组共送出贺卡30张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝30，

解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．

故答案为：6．

15．（2021•泗洪县一模）已知3个连续整数的和为m，它们的平方和是n，且n＝11（m﹣8），则m＝　15或18　．

【分析】设连续的整数分别为a，a+1，a+2，用a的代数式分别表示出m，n，再建立关于a的方程求出a即可．

【解析】设三个整数分别为a，a+1，a+2，

所以 m＝3a+3，n＝a2+（a+1）2+（a+2）2＝3a2+6a+5，

由n＝11（m﹣8），

所以 3a2+6a+5＝11（3a﹣5），

解得a＝4或5，

则m＝15或18．

16．（2020秋•泰兴市期中）如果两个连续奇数的积是323，如果设其中较小的一个奇数为x，可得方程　x（x+2）＝323　．

【分析】设其中较小的一个奇数为x，则另一个奇数为x+2，然后再根据“两个连续奇数的积是323”列出方程即可．

【解析】设其中较小的一个奇数为x，由题意得：

x（x+2）＝323，

故答案为：x（x+2）＝323．

17．（2020秋•武进区期中）一个两位数等于它的两个数字的积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2，设个位上的数字为x，根据题意，可以列出方程　10（x﹣2）+x＝3x（x﹣2）　．

【分析】设个位上的数字为x，则十位上的数字为（x﹣2），根据这个两位数等于它的两个数字的积的3倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】设个位上的数字为x，则十位上的数字为（x﹣2），

依题意，得：10（x﹣2）+x＝3x（x﹣2）．

故答案为：10（x﹣2）+x＝3x（x﹣2）．

18．（2020•启东市三模）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了　3　人．

【分析】据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为16人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝16．即可解答．

【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

x+1+（x+1）x＝16，

x＝3或x＝﹣5（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了3个人．

故答案为：3．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•云县校级期末）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支．

【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据“一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43”即可列方程求得x的值．

【解析】设每个支干长出的小分支的数目是x个，

根据题意列方程得：x2+x+1＝43，

解得：x＝6或x＝﹣7（不合题意，舍去）．

答：每个支干长出6个小分支．

20．（2020•太仓市二模）疫情初期，某市出台《中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，该市率先示范，推出名师公益课程，为学生提供线上免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生3万人次，第三批公益课受益人数3.63万人次．

（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

【分析】（1）设这个增长率为x，根据第一批及第三批公益课受益学生人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用第四批公益课受益学生人数＝第三批公益课受益学生人数×（1+增长率），即可求出结论．

【解析】（1）设这个增长率为x，

依题意得：3（1+x）2＝3.63，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．

答：这个增长率为10%．

（2）3.63×（1+10%）＝3.993（万人次）．

答：第四批公益课受益学生将达到3.993万人次．

21．（2020•大连二模）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：

（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？

（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？

【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．

【解析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，

依题意，得：1+x+x（1+x）＝256，

解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．

（2）256×（1+15）＝4096（人）．

答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．

22．（2020春•金华期中）在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病例逐渐减少，据统计，某地区2月2日累计新冠肺炎确诊病例144例，2月16日累计新冠肺炎确诊病例36例，那么这两周确诊病例平均每周降低的百分率是多少？

【分析】根据减少率问题应用题的思路：减少率＝减少数量（原数量）×100%．如：若原数是a，每次减少的百分率为x，则第一次减少后为a（1+x）；第二次减少后为a（1﹣x）2，即 原数×（1﹣减少的百分率）2＝后来数．即可解答．

【解析】设这两周确诊病例平均每周降低的百分率是x，

由题意得：144（1﹣x）2＝36，

解得x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（舍去），

答：这两周确诊病例平均每周降低的百分率是50%．

23．（2020•揭西县模拟）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．

（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？

（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？

【分析】（1）设一个人平均感染x人，根据经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）将x＝7代入（x+1）3中即可求出结论．

【解答】（1）解：设一个人平均感染x人，可列方程：

1+x+（1+x）x＝64，

解得：x1＝7，x2＝﹣9（舍去）．

故这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人；

（2）（7+1）3＝512（人）

答：经过三轮传播后一共有512人被感染．

24．（2020春•雨花区校级期末）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：

（1）求每天增长的百分率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解析】（1）设每天增长的百分率为x，

依题意，得：500（1+x）2＝720，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：每天增长的百分率为20%；

（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，

依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，

解得：m1＝4，m2＝25．

又∵在增加产能同时又要节省投入，

∴m＝4．

答：应该增加4条生产线．