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专题1.12一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典【苏科版】
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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题1.12一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•泗阳县期末）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程解答即可．
【解析】设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540，
故选：C．
2．（2020秋•济阳区期中）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+x22=4704 D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，
故选：D．
3．（2020•秦皇岛一模）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：
①（16﹣2x）（9﹣x）＝120；
②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120；
③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120．
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．
【解析】设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；
根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝120，
或16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120
故选：C．
4．（2019秋•东昌府区期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
【分析】将六小块草坪合在一起可得出一个长方形，设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：D．
5．（2020春•上虞区期末）如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2，那么通道的宽x应该满足的方程为（ ）
A．（40+2x）（26+x）＝40×26
B．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6
C．144×6+40x+2×26x+2x2＝40×26
D．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6．
【解析】设道路的宽为xm，由题意得：
（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6．
故选：D．
6．（2020•平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为x+2和x的矩形拼接成大正方形．若四个矩形和中间小正方形的面积和为4×35+22，则根据题意能列出的方程是（ ）
A．x2+2x﹣35＝0 B．x2+2x+35＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝0
【分析】根据正方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，变形后即可得出结论．
【解析】依题意，得：（x+x+2）2＝4×35+22，
即x2+2x﹣35＝0．
故选：A．
7．（2019秋•诸城市期末）如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（ ）
A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
【分析】观察图形可知小长方形的长为（x+40−2x2）cm，根据去除阴影部分的面积为950cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x•（x+40−2x2）＝950，
整理，得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故选：D．
8．（2020春•南平期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ）
A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2
C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+8＝（x﹣3）2
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解析】设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，
故选：C．
9．（2019秋•长春期中）为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1
C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%
【分析】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，根据矩形的面积公式结合图案面积占整幅宣传版面面积的90%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，
根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）＝2×1．
故选：B．
10．（2020春•海淀区校级期末）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•东海县期中）如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏，已知墙长9m，则围成矩形的长为 8m ．
【分析】设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
【解析】设宽为xm，则长为（20﹣2x）m．
由题意，得 x•（20﹣2x）＝48，
解得 x1＝4，x2＝6．
当x＝4时，20﹣2×4＝12＞9（舍去），
当x＝6时，20﹣2×6＝8．
即：围成矩形的长为8m．
故答案为：8m．
12．（2020秋•仪征市期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为 （40﹣2x）（30﹣2x）＝600 ．
【分析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，根据纸盒的底面积为600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，
依题意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故答案为：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
13．（2020秋•滨海县期中）如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 1 cm．
【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为（3﹣x）cm，根据长方形铁盒的底面积是6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为62−x＝（3﹣x）cm，
依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，
整理得：2x2﹣11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2=92，
当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；
当x=92时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．
故答案为：1．
14．（2020秋•梁溪区校级期中）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m＝0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 46−6 ．
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解析】x2+12x+m＝0，
x2+12x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为60，
∴x2+12x＝60，
设4a＝12，
则a＝3，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，
得到大正方形的面积为60+32×4＝60+36＝96，
则该方程的正数解为96−6＝46−6，
故答案为：46−6．
15．（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为 2 s．
【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：12（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
16．（2020•新北区模拟）学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为 x（16﹣2x）＝30 ．
【分析】可设宽为x m，则长为（16﹣2x）m，根据等量关系：面积是30m2，列出方程即可．
【解析】设宽为x m，则长为（16﹣2x）m．
由题意，得 x（16﹣2x）＝30，
故答案为：x（16﹣2x）＝30．
17．（2020秋•泰兴市校级月考）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划分出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽为xm，则可列方程为 （30﹣2x）（20﹣x）=34×20×30 ．
【分析】根据剩余空白区域的面积=34矩形空地的面积可得．
【解析】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）=34×20×30，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=34×20×30．
18．（2019春•任城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D．E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．则当t＝ 52 时，四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半．
【分析】易证四边形AEFD为平行四边形，当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53−3t，根据四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】∵∠C＝30°，AB＝5，
∴DF=12CD，CF=32CD，BC=3AB＝53．
∵点E的速度为点D速度的一半，
∴AE=12CD＝DF．
又∵∠B＝90°，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53−3t，
依题意，得：AE•BF=12×12AB•BC，
即t•（53−3t）=12×12×5×53，
整理，得：4t2﹣20t+25＝0，
解得：t1＝t2=52．
故答案为：52．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•栖霞区月考）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为64m的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），花圃分为三块形状大小相同的矩形，分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边AB为多长时，花圃的面积为192m2．
【分析】设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，根据花圃的面积为192m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，
依题意得：（64﹣4x）•x＝192，
整理得：x2﹣16x+48＝0，
解得：x1＝4，x2＝12．
答：花圃的一边AB长为4m或12m时，花圃的面积为192m2．
20．（2020秋•清江浦区期末）如图，有长为23m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各0.5m的门．如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少m？
【分析】设AB的长为xm，则BC的长为（23+0.5×2﹣3x）m，根据花圃的面积为45m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】设AB的长为xm，则BC的长为（23+0.5×2﹣3x）m，
依题意得：x（23+0.5×2﹣3x）＝45，
整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，23+0.5×2﹣3x＝15＞10，不合题意，舍去；
当x＝5时，23+0.5×2﹣3x＝9＜10，符合题意．
答：AB的长为5m．
21．（2020秋•盐城期末）2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？
【分析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，根据两块绿地的面积之和为102m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，
依题意得：（20﹣3x）（8﹣2x）＝102，
整理得：3x2﹣32x+29＝0，
解得：x1＝1，x2=293（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
22．（2020秋•同心县期末）“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米？
【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解析】设AB＝x米，则BC＝（9+1﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2，
当x＝3时，AD＝4＜5，
当x＝2时，AD＝6＞5，
∵可利用的围墙长度仅有5米，
∴AB的长为3米．
答：AB的长度为3米．
23．（2020秋•台州月考）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
（3）若运动时间为t秒，当t为何值时，∠PQB＝30°．
【分析】（1）当运动时间为x秒时，PB＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，根据△PBQ的面积等于6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）不能，同（1）可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0可得出该方程无实数根，进而可得出在（1）中，△PQB的面积不能等于8cm2；
（3）分0＜t≤72及72＜t≤5两种情况考虑，理由正切的定义可得出关于t的方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）当运动时间为x秒时，PB＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意得：12（5﹣x）×2x＝6，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
答：2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6cm2．
（2）不能，理由如下：
依题意得：12（5﹣x）×2x＝8，
整理得：x2﹣5x+8＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0，
∴该方程无实数根，即在（1）中，△PQB的面积不能等于8cm2．
（3）当0＜t≤72时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∴tan∠PQB=PBBQ，即33=5−t2t，
解得：t＝103−15；
当72＜t≤5时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝7cm，
∴tan∠PQB=PBBQ，即33=5−t7，
解得：t＝5−733（不符合题意，舍去）．
答：当t为（103−15）秒时，∠PQB＝30°．
24．（2020春•越城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于82cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？
【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；
（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；
（3）根据题意表示出BP、BQ的长，再分三种情况，根据三角形的面积公式列方程即可．
【解析】根据题意知BP＝AB﹣AP＝12﹣t，BQ＝2t．
（1）根据三角形的面积公式，得
12PB•BQ＝35，
t（12﹣t）＝35，
t2﹣12t+35＝0，
解得t1＝5，t2＝7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
（2）设t秒后，PQ的长度等于82cm，根据勾股定理，得
PQ2＝BP2+BQ2＝（12﹣t）2+（2t）2＝128，
5t2﹣24t+16＝0，
解得t1=45，t2＝4．
故当t为45或4时，PQ的长度等于82cm．
（3）当0＜t≤8时，
12PB•BQ＝32，即12×2t×（12﹣t）＝32，
则t2﹣12t+32＝0，
解得t1＝4，t2＝8．
当8＜t≤12时，
则CQ＝2t﹣16，BQ＝BC﹣CQ＝16﹣（2t﹣16）＝32﹣2t，PB＝12﹣t，
则△PBQ的面积=12PB•BQ=12×（12﹣t）×（32﹣2t）＝32，
解得：t＝20或8（均舍去）；
当12＜t≤16时，
12PB•BQ＝32，
（16﹣t）（t﹣12）＝32，
t2﹣28t+224＝0，
△＝282﹣4×1×224＝﹣112＜0，
故方程无实数根．
综上所述，当t为4或8时，△PBQ的面积等于32cm2．
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题1.12一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•泗阳县期末）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程解答即可．
【解析】设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540，
故选：C．
2．（2020秋•济阳区期中）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+x22=4704 D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，
故选：D．
3．（2020•秦皇岛一模）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：
①（16﹣2x）（9﹣x）＝120；
②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120；
③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120．
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．
【解析】设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；
根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝120，
或16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120
故选：C．
4．（2019秋•东昌府区期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
【分析】将六小块草坪合在一起可得出一个长方形，设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：D．
5．（2020春•上虞区期末）如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2，那么通道的宽x应该满足的方程为（ ）
A．（40+2x）（26+x）＝40×26
B．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6
C．144×6+40x+2×26x+2x2＝40×26
D．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6．
【解析】设道路的宽为xm，由题意得：
（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6．
故选：D．
6．（2020•平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为x+2和x的矩形拼接成大正方形．若四个矩形和中间小正方形的面积和为4×35+22，则根据题意能列出的方程是（ ）
A．x2+2x﹣35＝0 B．x2+2x+35＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝0
【分析】根据正方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，变形后即可得出结论．
【解析】依题意，得：（x+x+2）2＝4×35+22，
即x2+2x﹣35＝0．
故选：A．
7．（2019秋•诸城市期末）如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（ ）
A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
【分析】观察图形可知小长方形的长为（x+40−2x2）cm，根据去除阴影部分的面积为950cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x•（x+40−2x2）＝950，
整理，得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故选：D．
8．（2020春•南平期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ）
A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2
C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+8＝（x﹣3）2
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解析】设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，
故选：C．
9．（2019秋•长春期中）为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1
C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%
【分析】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，根据矩形的面积公式结合图案面积占整幅宣传版面面积的90%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，
根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）＝2×1．
故选：B．
10．（2020春•海淀区校级期末）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•东海县期中）如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏，已知墙长9m，则围成矩形的长为 8m ．
【分析】设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
【解析】设宽为xm，则长为（20﹣2x）m．
由题意，得 x•（20﹣2x）＝48，
解得 x1＝4，x2＝6．
当x＝4时，20﹣2×4＝12＞9（舍去），
当x＝6时，20﹣2×6＝8．
即：围成矩形的长为8m．
故答案为：8m．
12．（2020秋•仪征市期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为 （40﹣2x）（30﹣2x）＝600 ．
【分析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，根据纸盒的底面积为600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，
依题意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故答案为：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
13．（2020秋•滨海县期中）如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 1 cm．
【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为（3﹣x）cm，根据长方形铁盒的底面积是6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为62−x＝（3﹣x）cm，
依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，
整理得：2x2﹣11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2=92，
当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；
当x=92时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．
故答案为：1．
14．（2020秋•梁溪区校级期中）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m＝0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 46−6 ．
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解析】x2+12x+m＝0，
x2+12x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为60，
∴x2+12x＝60，
设4a＝12，
则a＝3，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，
得到大正方形的面积为60+32×4＝60+36＝96，
则该方程的正数解为96−6＝46−6，
故答案为：46−6．
15．（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为 2 s．
【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：12（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
16．（2020•新北区模拟）学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为 x（16﹣2x）＝30 ．
【分析】可设宽为x m，则长为（16﹣2x）m，根据等量关系：面积是30m2，列出方程即可．
【解析】设宽为x m，则长为（16﹣2x）m．
由题意，得 x（16﹣2x）＝30，
故答案为：x（16﹣2x）＝30．
17．（2020秋•泰兴市校级月考）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划分出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽为xm，则可列方程为 （30﹣2x）（20﹣x）=34×20×30 ．
【分析】根据剩余空白区域的面积=34矩形空地的面积可得．
【解析】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）=34×20×30，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=34×20×30．
18．（2019春•任城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D．E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．则当t＝ 52 时，四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半．
【分析】易证四边形AEFD为平行四边形，当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53−3t，根据四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】∵∠C＝30°，AB＝5，
∴DF=12CD，CF=32CD，BC=3AB＝53．
∵点E的速度为点D速度的一半，
∴AE=12CD＝DF．
又∵∠B＝90°，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53−3t，
依题意，得：AE•BF=12×12AB•BC，
即t•（53−3t）=12×12×5×53，
整理，得：4t2﹣20t+25＝0，
解得：t1＝t2=52．
故答案为：52．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•栖霞区月考）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为64m的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），花圃分为三块形状大小相同的矩形，分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边AB为多长时，花圃的面积为192m2．
【分析】设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，根据花圃的面积为192m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，
依题意得：（64﹣4x）•x＝192，
整理得：x2﹣16x+48＝0，
解得：x1＝4，x2＝12．
答：花圃的一边AB长为4m或12m时，花圃的面积为192m2．
20．（2020秋•清江浦区期末）如图，有长为23m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各0.5m的门．如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少m？
【分析】设AB的长为xm，则BC的长为（23+0.5×2﹣3x）m，根据花圃的面积为45m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】设AB的长为xm，则BC的长为（23+0.5×2﹣3x）m，
依题意得：x（23+0.5×2﹣3x）＝45，
整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，23+0.5×2﹣3x＝15＞10，不合题意，舍去；
当x＝5时，23+0.5×2﹣3x＝9＜10，符合题意．
答：AB的长为5m．
21．（2020秋•盐城期末）2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？
【分析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，根据两块绿地的面积之和为102m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，
依题意得：（20﹣3x）（8﹣2x）＝102，
整理得：3x2﹣32x+29＝0，
解得：x1＝1，x2=293（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
22．（2020秋•同心县期末）“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米？
【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解析】设AB＝x米，则BC＝（9+1﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2，
当x＝3时，AD＝4＜5，
当x＝2时，AD＝6＞5，
∵可利用的围墙长度仅有5米，
∴AB的长为3米．
答：AB的长度为3米．
23．（2020秋•台州月考）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
（3）若运动时间为t秒，当t为何值时，∠PQB＝30°．
【分析】（1）当运动时间为x秒时，PB＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，根据△PBQ的面积等于6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）不能，同（1）可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0可得出该方程无实数根，进而可得出在（1）中，△PQB的面积不能等于8cm2；
（3）分0＜t≤72及72＜t≤5两种情况考虑，理由正切的定义可得出关于t的方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）当运动时间为x秒时，PB＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意得：12（5﹣x）×2x＝6，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
答：2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6cm2．
（2）不能，理由如下：
依题意得：12（5﹣x）×2x＝8，
整理得：x2﹣5x+8＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0，
∴该方程无实数根，即在（1）中，△PQB的面积不能等于8cm2．
（3）当0＜t≤72时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∴tan∠PQB=PBBQ，即33=5−t2t，
解得：t＝103−15；
当72＜t≤5时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝7cm，
∴tan∠PQB=PBBQ，即33=5−t7，
解得：t＝5−733（不符合题意，舍去）．
答：当t为（103−15）秒时，∠PQB＝30°．
24．（2020春•越城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于82cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？
【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；
（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；
（3）根据题意表示出BP、BQ的长，再分三种情况，根据三角形的面积公式列方程即可．
【解析】根据题意知BP＝AB﹣AP＝12﹣t，BQ＝2t．
（1）根据三角形的面积公式，得
12PB•BQ＝35，
t（12﹣t）＝35，
t2﹣12t+35＝0，
解得t1＝5，t2＝7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
（2）设t秒后，PQ的长度等于82cm，根据勾股定理，得
PQ2＝BP2+BQ2＝（12﹣t）2+（2t）2＝128，
5t2﹣24t+16＝0，
解得t1=45，t2＝4．
故当t为45或4时，PQ的长度等于82cm．
（3）当0＜t≤8时，
12PB•BQ＝32，即12×2t×（12﹣t）＝32，
则t2﹣12t+32＝0，
解得t1＝4，t2＝8．
当8＜t≤12时，
则CQ＝2t﹣16，BQ＝BC﹣CQ＝16﹣（2t﹣16）＝32﹣2t，PB＝12﹣t，
则△PBQ的面积=12PB•BQ=12×（12﹣t）×（32﹣2t）＝32，
解得：t＝20或8（均舍去）；
当12＜t≤16时，
12PB•BQ＝32，
（16﹣t）（t﹣12）＝32，
t2﹣28t+224＝0，
△＝282﹣4×1×224＝﹣112＜0，
故方程无实数根．
综上所述，当t为4或8时，△PBQ的面积等于32cm2．
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